Ισχύς αντλίας και βάθος του σωλήνα εξόδου

Για την υδροδότηση ενός οικισμού με νερό, χρησιμοποιείται υδραγωγείο, τοποθετημένο σε λόφο ύψους Η από την επιφάνεια παρακείμενης λίμνης. Η δεξαμενή του υδραγωγείου διατηρείται συνεχώς γεμάτη, μέχρι ύψους h από τον πυθμένα της, με τη βοήθεια αντλίας Ρ που λειτουργεί αυτόματα όποτε χρειάζεται.

Κατά την κατασκευή του υδραγωγείου, ο μηχανικός σκέφτηκε ότι θα ήταν προτιμότερο να συνδέσει τον σωλήνα εξόδου της αντλίας στο επάνω μέρος της δεξαμενής (1), ώστε να αποφύγει τυχόν προβλήματα στεγανότητας και διαρροή νερού στο σημείο σύνδεσης.

Αναρωτήθηκε όμως μήπως, αν έκανε τη σύνδεση στο κάτω μέρος (2) της δεξαμενής, θα είχε οικονομία στη λειτουργία της αντλίας, δεδομένου ότι αυτή θα έπρεπε να ανεβάζει το νερό σε μικρότερο ύψος.

Ποιο από τα δύο σημεία σύνδεσης είναι προτιμότερο, κατά τη γνώμη σας, για την οικονομικότερη λειτουργία της αντλίας; Δώστε εξηγήσεις.

(Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό υγρό.)

Απάντηση:

Έστω  Π = Α·υ  η παροχή κατά τη λειτουργία της αντλίας, όπου Α η διατομή των σωλήνων σύνδεσης.

Οι ρευματικές γραμμές στην είσοδο της αντλίας ξεκινούν από την επιφάνεια της λίμνης με μηδενική ταχύτητα.

1) Στην περίπτωση (1) το νερό εισέρχεται στη δεξαμενή με ταχύτητα υ, αφού ανέβει κατά ύψος  Η + h, υπό πίεση Ρ₁ που είναι ίση με την ατμοσφαιρική.

Αν είναι dW/dV η ενέργεια που προσφέρει η αντλία ανά μονάδα όγκου διερχόμενου νερού, ισχύει:

P_atm + 0 + 0 + dW/dV = P_atm + ½·ρ·υ² + ρ·g·(Η + h)   →

→   dW/dV =½·ρ·υ² + ρ·g·(Η + h)   από όπου προκύπτει:

 Ρ_{αντλίας} = Π· [ ½·ρ·υ² + ρ·g·(Η + h) ]

 2) Στην περίπτωση (2) το νερό εισέρχεται πάλι στη δεξαμενή με ταχύτητα υ, αφού ανέβει κατά μικρότερο ύψος  Η, αλλά τώρα στο σημείο (2) επικρατεί μεγαλύτερη πίεση, ίση με  Ρ₂ = P_atm + ρ·g·h. Έτσι:

P_atm + 0 + 0 + dW΄/dV = (P_atm + ρ·g·h) + ½·ρ·υ² + ρ·g·Η

και μετά τις πράξεις:

Ρ΄_{αντλίας} = Π· [ ½·ρ·υ² + ρ·g·(Η + h) ]

Βλέπουμε δηλαδή ότι:     Ρ΄_{αντλίας} = Ρ_{αντλίας}