by 
Το σώμα Σ μάζας m=1kg εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, με πλάτος Α=0,5m.
i) Μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η ταχύτητα του σώματος Σ;
Ένα δεύτερο σώμα Σ1 μάζας Μ=4kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα με ταχύτητα μέτρου υ2=2m/s. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά σε μια θέση, με αποτέλεσμα το σώμα Σ να εκτελέσει μια νέα ταλάντωση με μέγιστο πλάτος.
ii) Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του Σ μετά την κρούση.
iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση.
iv) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση.
ή
Καλημέρα σε όλους.
Η ανάρτηση αυτή, είναι συνέχεια της:
Η μέγιστη κινητική ενέργεια…
Γράφτηκαν μαζί, ανάρτησα τη μια, αλλά στη συνέχεια. πότε το ένα, πότε το άλλο, πέρασαν …2 βδομάδες!!!
Διονυση καλο θεμα !
Η μεγιστοποίηση πρεπει να αναζητηθει στην αρχη διατηρηση της ενεργειας οποτε θα πρεπει ολη η ενεργεια του Σ1 πριν την κρουση να μεταφερθει στο Σ . Μετα η ΑΔΟ θα σου δωσει την υ1 και υ1΄ οποτε θα βρεις και την θεση που εγινε η κρουση . Μου αρεσε ο συνδυασμος των σχεσεων (1) με (2) για την (3) !
( Θα ηταν καλυτερα για χαρη της χρησης των συμβόλων να βαλεις αντι για Σ –> Σ1 και αντι για Σ1—> Σ2 )
Πριν καποιο καιρο με τον Β.Δουκατζη προσπαθουσαμε να στησουμε κατι σχετικο αλλα με πλαστικη κρουση !
Τοτε δημιουργηθηκε ενας προβληματισμος τον οποιο τον θέτω και στο δικο σου προβλημα .
Κατω απο ποιες συνθηκες σε μια κρουση σαν την δικη σου θα προέκυπτε νεα ταλαντωση του Σ με το
ελάχιστο πλάτος ;
Καλησπέρα Διονύση.
Ωραίο θέμα. Αυτές οι διερευνήσεις έχουν πάντα μεγάλο ενδιαφέρον.
Μια γρήγορη σκέψη στο ερώτημα του Κώστα είναι να απαιτήσουμε η ταχύτητα του Σ μετά την κρούση να είναι μηδέν, οπότε το πλάτος της νέας ταλάντωσης να είναι ελάχιστο. Θέτοντας μηδέν στη σχέση που δίνει την ταχύτητα του Σ μετά την κρούση, προκύπτει ότι η ταχύτητα του Σ πριν την κρούση θα έπρεπε να είναι 16/5 m/s, που είναι στο πεδίο ορισμού ταχυτήτων του Σ. Τώρα, αν ήταν εκτός πεδίου ορισμού… θέλει λίγο ψάξιμο
Kαλησπέρα σε όλουs.Μια σκέψη που κάνω για το ελάχιστο δυνατό πλάτοs μετά τη κρούση είναι ότι το σώμα που ταλαντώνεται πρέπει να βρίσκεται στη θέση ισορροπίαs του πριν τη κρούση και να κινείται αντίθετα από το άλλο.
Aποστόλη καλησπέρα.Αν μηδενίσω τη ταχύτητα του ταλαντωτή μετά τη κρούση βγάζω ότι πριν τη κρούση έχει ταχύτητα μεγαλύτερη από 5m/s κατά απόλυτη τιμή.
Γιάννη έχεις δίκιο, βγαίνει 16/3 m/s προς τα αριστερά και εκτός πεδίου ορισμού. Αν δεν βάλεις κάτω χαρτί και μολύβι…
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Κώστα, Αποστόλη και Ιωάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Κώστα εγώ ζητάω το μέγιστο και συ θέλεις να με καθηλώσεις, στα τάρταρα
Απ΄τα ψηλά στα χαμηλά…
Αρνούμαι να πάρω θέση
Καλησπέρα σε όλουs τουs φίλουs του δικτύου.Να εξηγήσω λίγο την αρχική μου τοποθέτηση για το ελάχιστο πλάτοs.Θα πρέπει το Σ1 να έχει τη μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια μετά τη κρούση.Επειδή αυτό δέχεται δύναμη προs τα δεξιά, αρχικά επιβραδύνεται,άρα κάποια στιγμή θα πρέπει να μηδενιστεί η ταχύτητά του και να αρχίσει να επιταχύνεται αποκτώνταs και τη μέγιστη ταχύτητά του τη στιγμή του αποχωρισμού.Κάτι τέτοιο όμωs μπορεί να συμβεί μόνο αν το σώμα που ταλαντώνεται έχει τη μέγιστη κατά μέτρο ταχύτητα πριν τη κρούση με φορά προs τα δεξιά.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Το θέμα μας παραπάνω είναι η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης και η απάντηση νομίζω ότι είναι δυνατή από ένα μαθητή.
Ο Κώστας βέβαια, «έστειλε το μπαλάκι» στο άλλο άκρο, αναζητώντας την ελάχιστη ενέργεια ταλάντωσης μετά την κρούση.
Οπότε ας πω μια γνώμη.
Η ταχύτητα του σώματος Σ1), που κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ2=2m/s, μετά την κρούση, έχει τιμή:
Αυτό που μας ενδιαφέρει, είναι αυτή η ταχύτητα να έχει κατά το δυνατόν μεγαλύτερο μέτρο, αφού έτσι το σώμα που ταλαντώνεται θα έχει κερδίσει, το ελάχιστο δυνατόν ποσό ενέργειας.
Αν η ταχύτητα του σώματος Σ πριν την κρούση, υ1 έχει θετική τιμή, τότε η ταχύτητα υ2΄ θα παίρνει τιμές από -1,2m/s, μέχρι 0,8m/s.
Αν όμως τη στιγμή της κρούσης το σώμα που ταλαντώνεται έχει ταχύτητα προς τα αριστερά με τιμή , ας πούμε, υ1=-1,99m/s, δηλαδή ελαφρώς μικρότερου μέτρου, από το μέτρο της ταχύτητας του Σ1, τότε οι ταχύτητες των δύο σωμάτων θα μεταβληθούν ελάχιστα και ουσιαστικά δεν θα κερδίσει ενέργεια το ταλαντούμενο σώμα.
Συμπέρασμα. Το ελάχιστο πλάτος ταλάντωσης που μπορεί να έχει το σώμα Σ μετά την κρούση, είναι οριακά ίσο με Α=0,5m. Στην πραγματικότητα ελάχιστα μεγαλύτερο από το αρχικό πλάτος ταλάντωσης.
Καλημέρα Διονύση
πολύ ωραίο θέμα!!
Νομίζω ότι ερώτημα για το ελάχιστο πλάτος ξεφεύγει λίγο σε σχέση με το μέσο όρο δυσκολίαςτων θεμάτων
Καλημέρα Γιάννη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Το ερώτημα με το ελάχιστο πλάτος, προβλημάτισε εμάς, άρα; Άρα είναι ακατάλληλο για μαθητές!
Καλημερα !
Εθχες που εθεσα το ερωτημα , οπως αλλωστε ειπα , ηταν κατι που με ειχε απασχολησει απο καιρο ! Ειχα κανει καποιες σκεψεις οι οποιες ειχαν μπει στο χαρτι αλλα δεν με ικανοποιούσε η λυση – σκεψεις που ειχα κανει ,ειχα αμφιβολιες !
Η πρωτη σκεψη ξεκινα απο το οτι Ετ(νεο) = 0.5mu1'^2 + 0.5kx^2 . Θελουμε να ειναι ελαχιστη η Ετ(νεο) αρα ας μηδενισω πρωτα τον ενα ορο να δω τι θα παρω και μετα τον αλλον.
Φυσικα απο την ελαστικη κουση εχουμε : u1' = -(0.6u1 + 3.2) (1) και u2' = 0.4u1 – 1.2 (2)
Εστω χ=0 τοτε u1=ω*Α = +5m/s τοτε απο την (1) u1'= – 6.2m/s και Αmin = |u1'| / ω = 0.62 m .
Για u1'= 0 τοτε απο την (1) u1= – 5.3 m/s δηλαδη δεν μπορει να γινει η κρουση !
Να πουμε εδω βεβαια οτι για να γινει η κρουση πρεπει να βρισκονται τα σωματα στην ιδια θεση και |u1|<|u2| .
Υπηρξε και μια αλλη σκεψη που ηταν πιο μαθηματικη . Η ελαχιστοποιηση του αθροισματος ,εφοσον οι οροι του αθροισματος ειναι ομοσημοι αριθμοι εδω θετικοι , οδηγει στον να ειναι μεταξυ τους ισοι! Δηλαδη στο προβλημα μας να εχουμε Κινητικη = Δυναμικη οποτε το Αmin = x * sqrt(2) . ποιο ειναι ομως το χ ? Εδω εχει πραξεις αρκετες !
Εφοσον λοιπον Κ=U ==> (u1')^2 = (ω*χ)^2 (3)
Ετ(αρχ) = 0.5*mu1^2 + 0.5k*x^2 = 0.5*mu1^2 + 0.5*mu1' ^2 ==> u1'^2 + u1^2 = (ω*Α) ^2 =25 (4) τοτε με την βοηθεια της (1) θα καταληξουμε στο τριωνυμο : 34u1^2 + 96u1-369 =0 ===> u1=+2.17m/s {u1=-5m/s απορριπτεται}
Τοτε απο την (1) u1'=-4.5m/s και απο την (3) χ=0.45m αρα Αmin = 0.45*sqrt(2) m = 0.64 m περιπου . Που ειναι μεγαλυτερο απο αυτο που βρηκα με την προηγουμενη σκεψη .
Επομενως κρατω το πρωτο αλλα καπου κατι δεν με ικανοποιούσε !
Θεωρω οτι η σκεψη του Διονυση ,αυτη που διατύπωσε σημερα το πρωι, ειναι προς την σωστη κατευθυνση ή πιο καλα να το πω ειναι η σωστη !
Για να γινει η κρουση φυσικα πρεπει να βρισκονται στην ιδια θεση αλλα δεν ειναι απαραιτητο να κινουνται αντιρροπα !Μπορει να κινουνται ομορροπα με το σωμα που κανει ταλαντωση να εχει ελαφρως μικροτερη σε μετρο ταχυτητα σε σχεση με αλλο σωμα !
Τοτε , οπως ειπε και ο Διονυσης , απο την u2' = 0.4u1 -1.2 (2) θα πρεπει να δωσουμε τιμες στην u1 στο διαστημα
-2m/s < u1 =< +5m/s τοτε για το u2' εχουμε : -2m/s < u2' =< 0.8 m/s .
Αυτο σημαινει οτι εχουμε ενα ενδεχομενο να γινει η κρουση με u1= -1.99m/s και u2 = -2m/s τοτε απο (1) ,(2) θα εχουμε :
u1'= -2.006 m/s και u2' = -1.996 m/s η θεση που εγινε η κρουση ειναι χ=0.459 m και το Α=Αmin= 0.5009 m .
Εκτιμω λοιπον οτι αυτο πρεπει να κρατησουμε ως λυση !
Καλό μεσημέρι Κώστα.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις αναλύσεις που μας έδωσες.
Διονύση πολύ ωραία άσκηση- θέμα Δ θα έλεγα. Μπορεί να τεθεί σε εξετάσεις για να ..ξεχωρήσει η ήρα από το στάρι!
Ευρηματικότητα!