by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 14 Αύγουστος 2012 και ώρα 16:30
Ο αγωγός ΑΓ του διπλανού σχήματος μάζας 0,1kg, μήκους l=1m και αντίστασης r=0,1Ω, αφήνεται να κινηθεί κατακόρυφα, χωρίς τριβές, σε επαφή με δυο κατακόρυφους μεταλλικούς στύλους, χωρίς αντίσταση. Τα δύο πάνω άκρα των αγωγών συνδέονται μέσω αντιστάτη με αντίσταση R=0,3Ω, ενώ το σύστημα βρίσκεται κάθετα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1Τ.
i) Να γίνει η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii) Να βρεθεί η ηλεκτρική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα στο κύκλωμα, μέχρι τη στιγμή που ο αγωγός αποκτά (πρακτικά) οριακή ταχύτητα.
Δίνεται g=10m/s2.
ή
Διονύση καλησπέρα.’Ομορφη περίπτωση αλλά έχω μία απορία.Ο χρόνος που κάνει για να πιάσει την οριακή ταχύτητα θεωρητικά είναι άπειρος.Πως λοιπόν το ολοκλήρωμα για χρόνο 5τ δίνει για θερμότητα το ίδιο αποτέλεσμα με την ΑΔΕ;Mήπως το αποτέλεσμα χάνεται στα δεκαδικά;
Χρήστο, δες το σχόλιο του Γιάννη Φιορεντίνου, στην προηγούμενη αντίστοιχη ανάρτηση.
Διονύση πολύ όμορφη άσκηση. (Νομίζω ότι σ΄αυτήν αναφερόσουν στο σχόλιό σου στην προηγούμενη ανάρτηση).
Χρήστο, στην προηγούμενη ανάρτηση του Διονύση, έκανα την λύση χωρίς την προσέγγιση του Διονύση, κατέληξα σε μια εκθετική (που μάλλον δεν λύνεται αναλυτικά), και αναζητώντας αριθμητική λύση (με το Mathematica) δεν βρήκα διαφορά ούτε στο έκτο δεκαδικό ψηφίο, από τη λύση του Δονύση!
Συμφωνώ στο περίπου αλλά όχι στο ακριβώς.Ποιος είναι αυτός που μας επιβάλλει το 5τ και όχι το π.χ. το 6τ;
Επίσης εδώ θα μπορούσαμε Διονύση με την βοήθεια του ΘΩΟ να βρούμε το φορτίο
0 + Ωβ -ΩFL=mUoρ mgdt -BILdt=mUoρ mgdt -BdqL=mUoρ
βέβαια το φορτίο θα μπορούσε να βγεί εύκολα με το νόμο του Νιούμαν dq=dΦ/Roλ ή dq=BLH/Roλ
Χρήστο, νομίζω ότι η επιλογή του 5τ, έγινε με βάση το γεγονός ότι τότε το εκθετικά μεταβαλλόμενο μέγεθος απέχει λιγότερο από 1% από την τελική του (οριακή) τιμή. (Ακριβέστερα απέχει γύρω στο 6 στα χίλια).
Γιάννη αν θυμάμαι καλά όμως στο παλιό βιβλίο των δεσμών στην γραφική παράσταση είχε και την τιμή 6τ.Το 6τ δεν είναι πιο κοντά στην τελική του τιμή;
Χρήστο δυστυχώς δεν θυμάμαι καθόλου το παλιό βιβλίο των δεσμών. Σίγουρα το 6τ είναι καλύτερη προσέγγιση από το 5τ, αλλά και το 7τ είναι καλύτερο του 6τ κο.κ.
Έτσι από περιέργεια έκανα πράξεις και είδα ότι για να επιτύχουμε προσέγγιση ίση με αυτή που έχουμε όταν βάζουμε το π ίσο με 3,14 αντί 3,14159…πρέπει να περιμένουμε 7 με 8 σταθερές χρόνου. Επίσης το 5τ μας εξασφαλίζει την ίδια προσέγγιση (περίπου) με αυτή που έχουμε αν πάρουμε το e περίπου 2,72 αντί της τιμής 2,71828…
Συμφωνώ Γιάννη.Αλλά επιμένω ότι το παραπάνω αποτέλεσμα δεν είναι ακριβές αλλά προσέγγιση.Και όταν μπαίνουμε σε προσεγγίσεις καλό είναι να είμαστε προσεκτικοί….
Ρε παιδιά πιάστε και κανά … κομπιουτεράκι!
Εντάξει Αύγουστος αλλά δεν είναι δα κι ασήκωτο 🙂
Α=Α0(1-e-t/τ):
t=4τ → A=0,981A0, απόκλιση ~1,9%
t=5τ → A=0,993A0, απόκλιση ~0,67% , δηλαδή κάτω από 1%
t=6τ → A=0,997A0, απόκλιση ~0,25%
t=7τ → A=0,9991A0, απόκλιση ~0,09% , δηλαδή κάτω από 1‰
κλπ.
Καλημέρα Χρήστο. Ο Γιάννης απέδειξε με το mathematika ότι το σφάλμα που γίνεται, στον υπολογισμό του ύψους, είναι στο 6ο δεκαδικό.
Όμως και στους δύο διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού της θερμότητας που έδωσα, υπάρχει η προσέγγιση του 5τ. Συνεπώς αν γίνεται κάποιο σφάλμα στον ένα τρόπο, υπάρχει και στον άλλο.
Αν δηλαδή, υπολογίσεις για χρόνο 6τ την θερμότητα, θα βρεις άλλη τιμή προφανώς, αλλά όση υπολογίσεις με τον ένα τρόπο θα υπολογίσεις και με τον άλλο.
Και για να σου δώσω και δουλειά για το σπίτι!!! δοκίμασέ το.
Διονύση καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους όσους γιορτάζουν.Δεν διαφωνώ πουθενά αλλά λέω ότι εκεί που ολοκληρώνεις για να βρεις την θερμότητα λες ότι η θερμότητα είναι “ίση”.Νομίζω πως πρέπει να πεις ότι είναι “περίπου ίση”.Ευχαριστώ για τη δουλειά που μου έδωσες στο σπίτι αλλά δεν θα πάρω!!!
Χρήστο στο ερώτημα ζητάω την θερμότητα που αναπτύσσεται στο κύκλωμα μέχρι τη στιγμή που ο αγωγός αποκτά (πρακτικά) την οριακή του ταχύτητα. Συνεπώς μέχρι τη στιγμή 5τ.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Ένας μικρός προβληματισμός.
Αν υπολογίσουμε την ταχύτητα τις στιγμές 5τ, 6τ, 7τ θα βρούμε τιμές οι οποίες με καλή προσέγγιση είναι ίσες. Για t>=5τ η ταχύτητα είναι πρακτικά ίση με την οριακή.
Αν κάνουμε το ίδιο για την θερμότητα τότε τα αποτελέσματα διαφέρουν πολύ (λόγω του όρου
~ t στην ολοκλήρωση του τετραγώνου του ρεύματος)
Έτσι το ερώτημα πόση είναι η θερμότητα μέχρι να αποκτήσει ο αγωγός οριακή ταχύτητα νομίζω ότι οδηγεί σε αυθαίρετα αποτελέσματα που διαφέρουν έως και 100%.
Νομίζω ότι η δευτερη ερώτηση θα πρέπει να τροποποιηθεί ως:
Να βρεθεί η θερμόοτητα μέχρι την στιγμή που η ταχύτητα είναι το 99,3% (1-e-5) της μέγιστης τιμής της.
Βαγγέλη, ζητάω τη θερμότητα μέχρι τη στιγμή που ο αγωγός αποκτά (πρακτικά) την οριακή ταχύτητα, ενώ στο πρώτο κείμενο (η ανάρτηση αυτή είναι συνέχεια 3 άλλων) έχω ορίσει ότι η φράση αυτή αναφέρεται στην στιγμή 5τ.