by 
Δημοσιεύτηκε από τον/την Διονύσης Μάργαρης στις 12 Αύγουστος 2012 και ώρα 18:21
Ένα κιβώτιο μάζας 20kg αφήνεται να πέσει από ένα ελικόπτερο, το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα, σε ύψος h=500m από το έδαφος. Αν κατά την κίνησή του το κιβώτιο δέχεται δύναμη αντίστασης από τον αέρα της μορφής F=-bυ= -10υ (μονάδες στο S.Ι.), ζητούνται:
i) Η οριακή ταχύτητα την οποία θα αποκτήσει το κιβώτιο.
ii) Σε πόσο χρόνο το κιβώτιο θα φτάσει στο έδαφος;
Δίνεται g=10m/s2
ή
Πτώση με αντίσταση αέρα ανάλογης της ταχύτητας
Πολύ καλή Διονύση.
(δυστυχώς, όμως, αν δεν κάνω λάθος, και η αντίσταση στον αέρα δεν διδάσκεται πλέον…)
Όχι βέβαια Βαγγέλη.
Απλά είπα να κάνω ένα ταξίδι σε διαφορετικά φαινόμενα με την ίδια διαφορική εξίσωση…
Αυτή η εκθετική αύξηση μου άρεσε πολύ.
Μονάχα ελπίζω τα κιβώτια της ανθρωπιστικής βοήθειας – αχρείαστα να είναι, αλλά – να τα αφήνουν στο μέλλον από ύψος πολύ μικρότερο των 160 m… .
Διονύση πολύ καλή! Μου άρεσε πολύ ο τρόπος λύσης που προτείνεις.
Νομίζω ότι ταιριάζει και με την ανάρτηση του έτερου Διονύση στα χρονοκυκλώματα (ίδια μαθηματικά διαφορετικά φαινόμενα όπως πολύ εύστοχα γράφεις).
Από περιέργεια είπα να λύσω το πρόβλημα με ολοκλήρωση ως προς t της ταχύτητας για να βρω το χρόνο που θα κάνει να διανύσει το h. Καταλήγει σε μια εκθετική εξίσωση που δεν μπορεσα να λύσω αναλυτικά (δεν ξέρω καν αν λύνεται αναλυτικά) και έτσι κατέφυγα στο Mathematica. Για να πάρω την αριθμητική λύση 27 s, δηλαδή ακριβώς την απάντηση που δίνεις πράγμα φυσικά αναμενόμενο, αλλά το βρήκα εκπληκτικό ότι δεν διαφέρουν καθόλου οι δύο λύσεις.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ
Καλημέρα Δημήτρη, Δημήτρη και Γιάννη.
Ο τρόπος λύσης που πρότεινα Γιάννη, είναι “δανεισμένος” από αντίστοιχο τρυκ, που κάναμε στις δέσμες. Πού; Στο επόμενο επεισόδιο….
Πράγματι η “κανονική” λύση, είναι αυτή που δίνεις με την εκθετική εξίσωση της απομάκρυνσης, αλλά επειδή είμαι ….πολλά χρόνια φυσικός (όπως έγραψα σε άλλο σχόλιο χθες), φορτώνομαι διάφορα τρυκ των φυσικών και για να αντέχω (και να μην κλατάρω), ξεφορτώνομαι αντίστοιχα βάρη μαθηματικών!!!
Ωραια υπενθυμιση των εκθετικων Διονυση. Θυμαμαι οτι τοτε στις Δεσμες λεγαμε για την σταθερα χρονου τ οτι ειναι ο χρονος που θα χρειαζοταν για να “πιασει την max τιμη του το μεγεθος αν ακολουθουσε συναρτηση της μορφης ψ=αχ κι οχι εκθετικη
εχοντας αρχικο ρυθμο μεταβολης ιδιο μ’ αυτον της εκθετικης (να εχουν δηλαδη την ιδια κλιση στο 0)
Καλημέρα Μιχάλη. Σωστή η παρατήρησή σου, το είχε επισημάνει πρώτος ο Διονύσης (Μητρ) στην πρώτη σχετική ανάρτηση εδώ.
_
Πολύ ωραία Διονύση, για να ξεφύγουμε και λίγο από τα κυκλώματα.
Ενδιαφέρον εδώ έχει να παρατηρήσουμε δυο πράγματα:
1) Η σταθερά χρόνου τ = m/b αλλά και η οριακή ταχύτητα υορ = m∙g/b = g∙τ εξαρτώνται από το πόσο βαρύ είναι ένα σώμα (m), π.χ. πέτρα-πούπουλο, αλλά και από το αεροδυναμικό ή μη σχήμα του και τη μετωπική επιφάνεια (b), π.χ. σφαίρα-αλεξίπτωτο.
Τελικά δηλαδή όλα τα σώματα αποκτούν οριακή ταχύτητα κατά την πτώση τους στον αέρα, αλλά το πηλίκο m/b θα καθορίσει σε πόση ώρα (πρακτικά) και πόσο μεγάλη θα είναι.
2) Η επιτάχυνση ενός σώματος που πέφτει στον αέρα σε σχέση με την ταχύτητά του είναι:
α = g – (b/m)∙υ ή αλλιώς α = g – υ/τ
Όλα δηλαδή τα σώματα αρχίζουν να πέφτουν με επιτάχυνση g και στη συνέχεια η επιτάχυνση μειώνεται καθώς αυξάνεται η ταχύτητα του σώματος. Η κλίση όμως είναι -b/m. Έτσι, για τα πιο βαριά και πιο αεροδυναμικά σώματα η απόκλιση από το g συμβαίνει αισθητά σε πιο μεγάλες ταχύτητες.
Άριστα Διονύση!
“Φωνάζω” χρόνια ότι είχε δίκιο, κατ’ αρχήν, ο Αριστοτέλης!
Τα βαριά σώματα πέφτουν γρηγορότερα από τα ελαφριά αν έχουν το ίδιο σχήμα και αφεθούν ελεύθερα από το ίδιο ύψος, λόγω της αντίστασης του αέρα.
(από την εξίσωση που γράφεις φαίνεται καθαρά ότι το βαρύ σώμα έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση)
Επομένως, αν πράγματι ο Γαλιλαίος έκανε το πείραμα στον Πύργο της Πίζας, έκανε μαζί και μια μικρή απάτη, πιθανόν αφήνοντας τη βαριά σφαίρα να πέσει λίγο μετά την ελαφριά.
Θεωρητικά σωστό Βαγγέλη!
Δεν ξέρω μόνο από πόσο διάστημα και μετά αρχίζει να γίνεται αισθητή η διαφορά, αν το σώμα έχει μικρό b/m. Πρέπει ίσως να εκφράσουμε την επιτάχυνση σε σχέση με το διάστημα πτώσης για να πάρουμε μια ιδέα.
… Υπάρχουν βέβαια και διάφορες μέθοδοι … εξαπάτησης!
Στην τάξη π.χ. τοποθετώ μια κόλλα χαρτιού πάνω από το βιβλίο της Φυσικής και μόλις το αφήσω πέφτουν μαζί 🙂
…κι αν το’ χεις, στα μουλωχτά, καρφώσει και με μια πινέζα…
Πετυχαίνει πάντα, αρκεί να μην … εξέχει πολύ από τα πλάγια 🙂
Καλημέρα Βαγγέλη και Διονύση. Τι πισωγυρίσματα είναι αυτά; Έχουμε περάσει επαγωγή και βλέπω σχόλια στην πτώση σώματος!!!
Σωστά βέβαια τα σχόλιά σας….
Έξυπνο Διονύση που πήγες πίσω στη διαφορική και ολοκλήρωσες. Παρέκαμψες την ταχύτητα και μαζί της πολλά και δύσκολα, όπως είπε και ο Γιάννης. Μ΄ άρεσε.
Διονυση καλημερα. Δεν ειχα δει το σχολιο του συναδελφου Δ. Μητροπουλου για την σταθερα τ που ομολογουμενως ειναι πληρες.
Θρασύβουλε και Μιχάλη, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Έχω μερικές παρατηρήσεις στην λύση του Διονύση:
Παρακολουθώντας την πορεία της λύσης, η εντύπωση που σχημάτισα ήταν ότι ουσιαστικά δεν γίνεται χρήση του γεγονότος ότι t1=5τ.
Η εντύπωση μου αυτή επιβεβαιώθηκε δοκιμάζοντας διαφορετικές τιμές για το t1.
Αντικαθιστώντας στις σχέσεις που εξάγει t1=τ, 2τ, 3τ, 6τ το αποτέλεσμα για τον συνολικό χρόνο είναι πάντα το ίδιο. Ο συνολικός χρόνος για να διανύσει τα 500m είναι 27s..
Από την άλλη ο θέση του Γιάννη του Φιορεντίνου ότι το mathematica, λύνοντας την υπερβατική εξίσωση που προκύπτει, δίνει την τιμή 27s, άρχισε να με προβληματίζει.
Αποφάσισα λοιπόν να εξετάσω τι κρύβεται από πίσω.
Να είσαι καλά Βαγγέλη, να μας πηγαίνεις πάντα ένα βήμα μπροστά. Σε ευχαριστώ.
Πράγματι Βαγγέλη,
έχεις απόλυτο δίκιο!