by 
Με αφορμή ένα τεθέν ερώτημα, ας δούμε λίγο αναλυτικά τι σημαίνει κύλιση ενός τροχού και τι συμβαίνει με την ασκούμενη δύναμη τριβής.
Ας δούμε αρχικά, τι γράφει το σχολικό βιβλίο:
Για να δούμε, πώς «μεταφράζονται» από μια άλλη οπτική γωνία τα παραπάνω.
Η κύλιση του τροχού μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη κίνηση, αποτελούμενη από μια μεταφορική με ταχύτητα υcm και μια στροφική με γωνιακή ταχύτητα ω. Αλλά τότε αν εστιάσουμε στο σημείο Α, σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος (πρώτο σχήμα), αυτό έχει τις ταχύτητες του διπλανού σχήματος, όπου υγρ=ωR. Αλλά τότε με βάση την παραπάνω σχέση του βιβλίου υcm=ωR, έχουμε ότι υγρ=υcm=ωR.
Αλλά τότε το σημείο του τροχού Α δεν έχει ταχύτητα ή αν προτιμάτε έχει την ίδια ταχύτητα με το σημείο επαφής Α΄ του εδάφους.
Θα μπορούσαμε λοιπόν να ορίσουμε ως κύλιση, την κίνηση εκείνη, όπου δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ των σημείων επαφής Α-Α΄ του τροχού και του εδάφους.
Ας δούμε πώς εφαρμόζονται τα παραπάνω σε διάφορες περιπτώσεις, αλλά και πώς και αν η κύλιση συνδέεται με την άσκηση δύναμης τριβής, με τη βοήθεια κάποιων εφαρμογών.
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Οι τροχοί αυτοί, αν είναι λεπτοί, κυλίονται;
Χαίρομαι που το θέμα προκάλεσε ενδιαφέρουσα συζήτηση. Θα ήθελα να κάνω μερικές παρατηρήσεις.
1. Το θέμα με απασχόλησε όταν μια μέρα στο αμφιθέατρο, έχοντας κάνει διάφορες ασκήσεις με την μπάλα του μπιλιάρδου (χτύπημα στην οριζόντια ευθεία προς το ΚΜ, πι πάνω, πιο κάτω) ένας φοιτητής με ρώτησε: “Τι θα γίνει αν δώσουμε τη μποίλια πλάγιο φάλτσο;” (το παιδί ήξερε μπιλιάρδο!). Δεν του απάντησα αμέσως. Όταν στο σπίτι σκέφθηκα το πρόβλημα είδα ότι θα έχουμε αυτή την εικόνα
Το σημείο επαφής κι εδώ είναι πάντα ακίνητο. Είναι όμως κύλιση; Προφανώς όχι (Γι’ αυτό έδωσα αυτό το πείραμα στην προηγούμενη ανάρτηση). Τι γίνεται; Τελικά η απάντηση είναι η εξής:
Ένα (τρισδιάστατο) στερεό μπορεί να εκτελεί κινήσεις 3 ειδών . α) Μεταφορική, β) περιστροφική γύρω από σταθερό άξονα και γ) περιστροφική γύρω από σταθερό σημείο. Αυτή η τελευταία είναι η κίνηση του στρόβου (σβούρας) που απεικονίζεται παρακάτω.
Προφανώς μπορούμε να έχουμε και συνδυασμό αυτών των κινήσεων. Τότε όμως παρατηρούμε, ότι για κύλιση μπορούμε να μιλάμε ΜΟΝΟ στην περίπτωση συνδυασμού μεταφοράς και περιστροφής γύρω από άξονα. Η περίπτωση γ) μόνη της ή σε συνδυασμό με μεταφορά μελετάται με αρκετά πιο σύνθετα μαθηματικά (γωνίες Euler) και εκεί πλέον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη ροπή αδράνειας ως τανυστή (είναι τανυστής) και όχι ως μονόμετρο μέγεθος. Οι περιπτώσεις β) όπως επισημαίνει κάποιος συνάδελφος πιο πάνω είναι “επίπεδη κίνηση”. Στην περίπτωση γ) τα σημεία του σώματος κινούνται επάνω σε σφαιρική επιφάνεια.
2. Ο Διονύσης έχει δίκιο όταν λέει ότι η κίνηση εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς.
3. Δεν πρέπει να μπερδεύουμε το “επίπεδο στερεό” με την “επίπεδη κίνηση”. Επίπεδη κίνηση είναι είναι αυτή στην οποία όλα τα σημεία του σώματος έχουν ταχύτητες παράλληλες προς ένα επίπεδο. Έτσι σε μια σφαίρα που κυλίεται όλα τα σημεία της έχουν ταχύτητες παράλληλες προς το επίπεδο κίνησης, αλλά η σφαίρα δεν είναι επίπεδο στερεό.
4. Όσον αφορά το αλώνι. Εδώ είναι μια πολύ ειδική περίπτωση της σβούρας. Επομένως κύλιση με την έννοια που την εξετάζουμε κει τη μελετάμε συνήθως δεν υπάρχει. Αν το ψάξετε λιγάκι θα δείτε ότι το πρόβλημα στο επίπεδο του Λυκείου (και των πρώτων ετών του Πανεπιστημίου) μπορεί να εξετασθεί μόνο ενεργειακά και όχι δυναμικά.
5. Όσο για το παράδειγμα με τη ράβδο που αναφέρει ο Διονύσης λίγο πιο πανω, η κίνησή της είναι επίπεδη, αλλά δεν είναι κύλιση. Κανείς δεν είπε ότι ΚΑΘΕ επίπεδη κίνηση είναι κύλιση, αλλά ότι ως κύλιση μπορεί να μελετηθεί ΜΟΝΟ η επίπεδη κίνηση (επίπεδων και μη σωμάτων).
Ελπίζω να διευκρίνισα κάποια πράγματα
Κ. Τρικαλινέ καλησπέρα.
Καταλαβαίνω το ότι το αλώνι είναι ειδική περίπτωση σβούρας.
Ένας λεπτός τροχός (λεπτός ώστε να πατάει σε ένα σημείο και όχι για να είναι επίπεδο σώμα) κυλίεται, όταν το όχημα στο οποίο ανήκει κάνει στροφή, σχετικά κλειστή;
Γιατί το ρωτώ αυτό;
Αν απαραίτητη προϋπόθεση για την κύλιση είναι το να είναι επίπεδη κίνηση τότε ο ανωτέρω τροχός δεν κυλίεται.
Μπορεί να κυλίεται μόνο ένας τροχός οχήματος που κινείται ευθύγραμμα;
Καλησπέρα κ. Τρικαλινέ.
Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου, για το αναλυτικό σχόλιο-απάντηση.
Για μένα ήταν διαφωτιστικό, αλλά και η όλη παρέμβαση αφορμή προβληματισμού.
Γιάννη, με βάση τον ορισμό της επίπεδης κίνησης, που μας έδωσε και ο Χρήστος Τρικαλινός. ο τροχός δεν… δικαιούται να στρίβει, αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί στην αντιμετώπιση ενός προβλήματος.
Άλλο αν συνήθως προσεγγίζουμε κάποια πράγματα, απλοποιώντας τα…
Ποια είναι η ποσοτική διαφορά;
Είχα γράψει το 2010 για τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας:
tensor
Με την βοήθεια του τανυστή αδράνειας υπολογίζεται ως κινητική ενέργεια η:
αντί της:
που ισχύει σε μια κλασική περίπτωση κύλισης συμπαγούς και ομογενούς δίσκου.
Αν η στροφή είναι ανοιχτή τότε οι δύο τιμές είναι παραπλήσιες.
Σε κλειστή στροφή διαφέρουν. Ίσως είναι αυτός ο λόγος που δεν χαρακτηρίζεται η δεύτερη περίπτωση ως κύλιση.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Επανέρχομαι για να διατυπώσω ένα προβληματισμό.
Τι σημαίνει ότι ορίζουμε ένα είδος κίνησης; Όταν λέμε ότι ένα υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση;
Σημαίνει ότι την έχουμε μελετήσει, ξέρουμε τους νόμους οι οποίοι περιγράφουν την κίνηση αυτή, οπότε όταν μας πουν για μια τέτοια κίνηση, χωρίς άλλη σκέψη γράφουμε π.χ. υ=υ0+α∙Δt.
Υπάρχει μια αντίστοιχη κίνηση που λέγεται κύλιση;
Νομίζω πως όχι. Προσωπικά λέγοντας κύλιση, καταλαβαίνω ότι ουσιαστικά δίνουμε μια συνθήκη και τίποτα περισσότερο. Ένα σύνδεσμο, που λέγαμε.
Η αναφορά σε κύλιση, δεν με οδηγεί να εφαρμόσω ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων για την μελέτη της κίνησης. Αν έχουμε επίπεδη ή όχι κίνηση στερεού, βλέπω να είναι άλλο θέμα.
Όπως άλλο θέμα είναι αν η ροπή αδράνειας θα υπολογιστεί ως μονόμετρο μέγεθος ή ως τανυστής.
Η επίπεδη κίνηση, που χαρακτηρίζουμε ως κύλιση, μελετάτεαι ως σύνθετη κίνηση εφαρμόζοντας τη «οπτική» της μεταφοράς και της περιστροφής γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του στερεού.
Αλλά οι ίδιοι νόμοι ισχύουν και στην περίπτωση που ο τροχός ολισθαίνει. Δεν έχουμε άλλους νόμους, ούτε εφαρμόζουμε άλλη «ειδική» θεωρία. Απλά στην κύλιση προσθέτουμε και έναν επιπλέον σύνδεσμο (μια ειδική συνθήκη).
Οπότε, αν ο χαρακτηρισμός της κίνησης του στερεού ως κύλισης, οδηγεί απλά στην πληροφορία, ότι τα σημεία τα οποία έρχονται σε επαφή με την επιφάνεια, δεν έχουν σχετική ταχύτητα, ως προς τα σημεία της επιφάνειας, με τα οποία έρχονται σε επαφή, δεν βλέπω γιατί δεν θα πρέπει να ονομαστεί «κύλιση» και μια κίνηση όπως αυτή του σχήματος:
Άσχετα με βάση ποια θεωρία θα μελετηθεί η κίνηση αυτή.
Καλημέρα Διονύση.
Η συγκεκριμένη περίπτωση μοιάζει με την:
Δεν ξέρω αν καταλαβαίνεις τι εννοώ.
Τσουλάμε ένα γεμάτο βαρέλι που δεν θέλουμε να σηκώσουμε, ούτε να ξαπλώσουμε έτσι. Ο πάτος-βάση σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο επίπεδο. Είναι κύλιση;
Η περίπτωση της σφαίρας είναι ίδια.
Γιατί τις θεωρώ ίδιες περιπτώσεις;
Ορίστε ο κύλινδρος ως τμήμα της σφαίρας:
Η μελέτη μιας τέτοιας κίνησης (κυλίνδρου ή σφαίρας) είναι δύσκολη αν το Κ.Μ. εκτελεί οριζόντια κυκλική τροχιά.
Θέλει τανυστή αδράνειας. Είναι δυσκολότερη από αυτήν που παρέθεσα σε προηγούμενο σχόλιό μου.
Όμως δεν σε απασχολεί αυτό, απ' ότι διάβασα. Αντιμετωπίζεται όπως αντιμετωπίζεται. Εύκολα ή δύσκολα.
Κύλιση είναι;
Καλημέρα Γιάννη.
Αυτό ακριβώς το ερώτημα έβαλα παραπάνω, άσχετα με το αν η κίνηση είναι επίπεδη ή όχι και χωρίς να με απασχολεί, με βάση ποια θεωρία και με ποια μαθηματικά θα επιλυθεί ένα παρόμοιο πρόβλημα.
Το παράδειγμά σου με το βαρέλι, ακόμα καλύτερο από τη σφαίρα…
Διονύση ένα ακόμα παράδειγμα:
Δεν μοιάζει με το βαρέλι και την σφαίρα;
Καλησπέρα σας και πάλι.
Νόμιζα ότι η συζήτηση είχε τεελιώσει, αλλά φαίνεται ότι δεν έχουν διευκρινισθεί.
Προφανώς τα πάντα στην κλασική μηχανική αντιμετωπίζονται με τη χρήση των 3 νόμων του Νεύτωνα όπως κι αν ονομάσουμε τα φαινόμενα που εξετάζουμε. Η ονομασία μια κίνησης απλά ορίζει τους κανόνες που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να τη μελετήσουμε. Έτσι για κινούμενο σώμα μπορούμε να γράψουμε F=dp/dt και στη συνέχεια να δούμε τι γίνεται με την F, τι γίνεται με το m, και τι με το υ. Όμως εμείς λέμε π.χ. "ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση", "συστήματα μεταβλητής μάζας", "κυκλική κίνηση" κ.ο.κ. Το ζήτημα λοιπόν με την κύλιση είναι η σύμβαση που κάνουμε και κατά πόσο αυτή μας βοηθάει να λύσουμε το συγκεκριμένο πο΄ρόβλημα.
Με την έννοι αυτή τόσο η κινούμενη με φάλτσο μπάλα του μπιλιάρδου όσο και η σβούρα (που υπακούουν στον κανόνα ακίνητο σημείο επαφής), θα μπορούσαμε να τις ονομάσουμε κύλιση. Τι το κοινό όμως έχει η μελέτη τους με την κύλιση που συνήθως εξετάζουμε; Στην τελευταία, χωρίς να σκεφτούμε γράφουμε υ=ωR, ενώ για τις άλλες;;;;; Φυσικά για όλες τις περιπτώσεις ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα. Το αν θα θεωρήσουμε τη ροπή αδράνειας μονόμετρο μέγεθος ή τανυστή είναι πράγματι μεθοδολογικό, απλά στην κύλιση μπορούμε να τη θεωρούμε μονόμετρο, ενώ για τη σβούρα όχι. Επομένως οι φυσικοί (σ' ολόκληρο τον κόσμο) όταν χρησιμοποιούν τον όρο κύλιση (roll, качение) εννοούν πάντα την ΕΠΙΠΕΔΗ κίνηση και αυτό το κάνουν για να χρησιμοποιήσουν τη συγκεκριμένη μεθοδολογία που συνοψίζεται στο υ=ωR.
"Επομένως οι φυσικοί (σ' ολόκληρο τον κόσμο) όταν χρησιμοποιούν τον όρο κύλιση (roll, качение) εννοούν πάντα την ΕΠΙΠΕΔΗ κίνηση και αυτό το κάνουν για να χρησιμοποιήσουν τη συγκεκριμένη μεθοδολογία που συνοψίζεται στο υ=ωR."
Νομίζω ότι είναι μια ρεαλιστική θέση. Είναι θέμα "συμφωνίας" την οποία είμαστε υποχρεωμένοι να σεβαστούμε.
Άλλωστε σε επίπεδο Λυκειακής Φυσικής, μόνο επίπεδη κίνηση διδάσκουμε.
Καλημέρα
Δείτε ένα κομμάτι από σημειώσεις παραδόσεων στο ΜΙΤ ( https://1drv.ms/b/s!AlBgzI0M_An0jxwFpmNWdd1Ajglv )
και μια διάλεξη από τον Walter Lewin lecture 24 μετά το 58 sec ( https://www.youtube.com/watch?v=N92FYHHT1qM&t=58s )