by 
Διαθέτουμε ένα μικρού πάχους (b) ομογενή και ισοπαχή δίσκο (Ο,R) ,μάζας Μ.
Α) Θέλουμε να αφαιρέσουμε ένα δισκάκι (Κ, R/2) με το κέντρο του σε κατάλληλη θέση,την οποία ζητούμε, ώστε το υπόλοιπο του δίσκου να έχει ως προς το κέντρο Ο του αρχικού δίσκου:
1) min ροπή αδράνειας και 2) max ροπή αδράνειας .
Η συνέχεια και η λύση … εδώ
Σχόλιο από τον/την Νεκτάριος Πρωτοπαπάς στις 25 Μάρτιος 2016 στις 1:43
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα Παντελή. Πανέμορφο και πανέξυπνο θέμα. Μου άρεσε ιδιαίτερα το 1ο και 2 ερωτημα καθώς και το γεγονός ότι πάντρεψες τον υπολογισμό της ροπή αδράνειας με κανονική ενεργειακή μελέτη του ”υπολοίπου” στη συνέχεια. Μπράβο.
Υ.Γ. Στον υπολογισμό του Ι στο α ερώτημα σου έχουν ”φύγει” δύο τετράγωνα στο R.
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Παντελή. Πολύ καλό θέμα. Ο κλασικός ( ουχί εκ του κλασικού … ) Παντελής.
Υ.Γ. Διόρθωσε στη λύση του Β3 το 1/4 σε 3/4 και το αποτέλεσμα σε 1/8
Διαγραφή σχολίου
Καλημερα Παντελη
Ωραια η διερευνηση μεγιστης ελαχιστης ροπης αδρανειας. Μου αρεσε πολυ ο εμμεσος προσδιορισμος του κεντρου μαζας, μεσω του νομου στροφικης.
Να εισαι καλα!
Διαγραφή σχολίου
Νεκτάριε και Γρηγόρη καλημέρα και χρόνια πολλά.
Και ενώ πάντα υπάρχει προσπάθεια αποφυγής…δύσκολο
να τ’αποφύγεις και τ’αριθμητικά, ξαναδιαβάζοντας τα γραμμένα.
Ένας τρόπος που μπορεί να τα ξετρυπώσει είναι η εκ νέου
γραφή της λύσης που απαιτεί ολίγον κουράγιο …και τη συνιστώ
στους μαθητές όταν ψάχνουν πιθανό λάθος.
Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια και τις επισημάνσεις.
Να ‘στε πάντα καλά.
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Παντελή
Πολύ ενδιαφέρον θέμα. Θα επανέλθω όταν μελετήσω καλύτερα κάποιο σημείο.
Διαγραφή σχολίου
Ευχαριστώ Αποστόλη.
Είναι γεγονός πως όταν μου’ ρθε (χθες) η ιδέα
αιφνιδιάστηκα …έκανα πάντα την εύρεση
της Ι χωριστά ,μετά από αφαίρεση ομόκεντρου
και μετά απο αφαίρεση εφαπτομενικού και μάλιστα ζητούσα
να προβλέψουν σε πια περίπτωση έχουμε μικρότερη Ι
(από την κατανομή μάζας)
Καλημέρα Αποστόλη και χρόνια πολλά
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Μανώλη και χρόνια πολλά.
Ελπίζω το σημείο μελέτης να βγάλει ”λαγό”
και όχι ”ποντικό” …από τη τρύπα!
Ευχαριστώ που… σε κεντρίζει το θέμα.
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα και Χρόνια Πολλά Παντελή.
Ωραία η αφαίρεση του κύκλου και καλός ο συνδυασμός, τόσο με το θεμελιώδη νόμο, όσο και με ενέργειες.
Ένα πλούσιο πιάτο!
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Διονύση και
χρόνια πολλά
Σ’ευχαριστώ πολύ ,
να’σαι καλά
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα και χρόνια πολλά
Πολύ ωραία και δομημένα σωστά τα ερωτήματα. Όπως αναφέρει ο Παντελής έκανα την εύρεση
της Ι χωριστά ,μετά από αφαίρεση ομόκεντρου και μετά απο αφαίρεση εφαπτομενικού κομματιού. Διαισθητικά πίστευα όπως και ο Παντελής ότι την ελάχιστη ροπή αδράνειας θα την είχαμε στην αφαίρεση του ομοαξονικού κομματιού αλλά διαψεύστηκα. Πολύ ωραίος ο τρόπος εύρεσης του κέντρου μάζας. Στη συνέχεια ενεργειακές προσεγγίσεις…
Το Β4 πολύ ωραίο ερώτημα… Διόρθωσε σε 1/8 και όχι 1/24 μπροστά απο το MgRσυνθ
Συνοψίζοντας ένα 4ο ωραίο θέμα.
Σχόλιο από τον/την Κυριακόπουλος Γιάννης στις 25 Μάρτιος 2016 στις 10:01
Διαγραφή σχολίου
Συγχαρητήρια Παντελή.
Πες μου κάτι. Πως ξέρουμε ότι η επιτάχυνση θα είναι 4g/13 ;
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Γιάννη και χρόνια πολλά. Την απορία αυτή είχα και εγώ. Στη συνέχεια όμως χωρίς να το κάνω, πίστευω οτι ο Παντελής το έλυσε αρχικά αντίστροφα δηλ. με εύρεση αρχικά του κέντρου μάζας, βρήκε την αρχική γωνιακή επιτάχυνση και στη συνέχεια δίνοντας γνωστή αυτή ζητούσε το σημείο του cm
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Γιάννη και χρόνια πολλά.
Η ερώτησή σου …βέλος στο στόχο!
Η ιστορία ξεκίνησε με σκέψεις πως μπορούμε να βρούμε
cm στερεού ή συστήματος πέρα από τον κλασσικό με
Στcm =0 ,οπότε λέω… αν ξέρω την αγ και την Ι μπορώ να βρώ
τη θέση του cm.
Έτσι βρήκα πρώτα το cm με σύνθεση παράλληλων και αντίρροπων
δυνάμεων (από το βάρος του δίσκου αφαίρεσα το βάρος του αφαιρούμενου)
και ευρέθη σε απόσταση R/6 εκτός του ευθυγράμμου τμήματος των κέντρων
Ο και Κ .
Μετά πήρα Στ=Ιοαγ και βρήκα την αγ !!
Μετά πήρα το δρόμο ανάποδα …θεωρώντας ,όπως λέω στην εφώνηση,
ότι εχει υπολογιστεί η αρχική αγ …
Στα ‘πα αναλυτικότερα απ’ότι θα χρειαζόσουν για να καταλάβεις τη που…!
Δε ξέρω αν η μέθοδος κτισίματος είναι φυσικά τίμια … ,πες μου.
Να’σαι καλά
Διαγραφή σχολίου
Αμάν πάλι δεν είδα…όπως τα λες Χρήστο.
Σ’ευχαριστώ και χρόνια πολλά
Διαγραφή σχολίου
Παιδιά χρόνια Πολλά.
Μου διέφυγε το ότι δόθηκε στην εκφώνηση το δεδομένο.
Λέμε στους μαθητές να διαβάζουν προσεκτικά την εκφώνηση αλλά …. δάσκαλε που δίδασκες.
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Παντελή και συνάδελφοι και χρόνια πολλά.
Παντελή ωραία η άσκηση με την τρύπα, γιατί οι μαθητές πρέπει να έχουν το νου τους, για να μην πέσουν μέσα και γίνει …μαύρη.
Δες και έναν άλλο τρόπο εύρεσης του κέντρου μάζας, χωρίς να ξέρεις την αρχική γωνιακή επιτάχυνση. Βέβαια, για έναν μαθητή, ο ενδεδειγμένος τρόπος είναι ο δικός σου, να του δοθεί δλδ η επιτάχυνση, γιατί δεν μπορούμε να απαιτήσουμε να κινηθεί με χρήση μαθηματικών…
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Γιώργο ,χρόνια πολλά.
Είναι γεγονός πως πολλά ξετρύπια βγάζουν…στο ζητούμενο.
Και η παραγώγιση από το μαθητή που έχει μάθει να χρησιμοποιεί
αυτά που μαθαίνει στα μαθηματικά, γιατί όχι…
Να’σαι καλά
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα Παντελή και συγχαρητήρια για τη νέα δημιουργία σου!
Έκανες μια άσκηση προσιτή σε υποψηφίους, δίνοντας την αρχική γωνιακή επιτάχυνση. Ακολούθησες την αντίστροφη πορεία και έχτισες την άσκηση μέσα στα πλαίσια του επιτρεπτού για εξετάσεις. Να σαι καλά.
Διαγραφή σχολίου
Καλό απόγευμα και Χρόνια Πολλά.Παντελή ένα ωραίο θέμα που πρωτοτυπεί πάνω σ΄ένα γνωστό μοτίβο.Ερωτήματα σε σχέση με τον υπολογισμό μέγιστης ταχύτητας έχουν διαχρονικό ενδιαφέρον.
Σε σχέση με τον υπολογισμό του έργου στο τελευταίο ερώτημα, θα προσέθετα για “τα πρακτικά”, ότι αν η γωνία περιστροφής είναι τέτοια που δεν δημιουργεί συμμετρία στο διάγραμμα , ώστε να είναι εύκολος ο υπολογισμός του εμβαδού, παραμένει πάντα σε ισχύ η δυνατότητα υπολογισμού του ζητούμενου έργου , ως έργου συντηρητικής δύναμης.
Να είσαι καλά.
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα Παντελή
Πολύ ωραίο θέμα!
Τώρα σχετικά με το σημείο που ανέφερα: Το κέντρο μάζας του δίσκου μετά την αφαίρεση του δίσκου ώστε να έχουμε ελάχιστη ροπή αδράνειας δε βρίσκεται πάνω σε άξονα συμμετρίας και έτσι θα πρέπει να διορθωθεί ή σχέση που παρέχει τη γωνιακή επιτάχυνση λαμβάνοντας υπόψη και τις αδρανειακές φυγόκεντρες δυνάμεις. Όμως τελικά στην περίπτωση που μελετάς το σώμα δεν έχει αρχίσει να στρέφεται και έτσι δεν έχουν “προλάβει” να αναπτυχθούν φυγόκεντρες δυνάμεις και όλα είναι μια χαρά.
Σχόλιο από τον/την Παπαδάκης Παντελεήμων στις 26 Μάρτιος 2016 στις 9:50
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Ξενοφώντα ,καλημέρα Μανώλη.
Ολίγο αργοπορημένα είδα τα σχόλιά σας και ευχαριστώ πολύ.
Ναι Ξενοφώντα …ώθησα στον υπολογισμό του W ροπής
(αντί δύναμης) για αξιοποίηση του διαγράμματος ,
που γεγονός είναι πως αν λείψει η συμμετρία που λες
ο βατός δρόμος είναι της συντηρητικής…
Την τελευταία ανάρτησή σου περί ‘’εφαρμογών από τη φυσική…’’
δεν ολοκλήρωσα ακόμη όμως μπορώ να επαναλάβω
του Δογραματζάκη την ‘’οπτική’’ :
” Όσες φορές μπόρεσα να ”φέρω ” την φυσική έννοια μέσα στην καθημερινή εμπειρία
είδα φωτισμένα τα πρόσωπα των παιδιών.”
Μανώλη, τελικά βγήκε λαγός από τη τρύπα αλλά ευτυχώς,
δε πρόλαβε να …‘’κοσκινίσει’’ το σώμα, όπως θα έκανε
στη συνέχεια λόγω του ότι το cm είναι έξω από άξονα συμμετρίας
και θα έχουμε ‘’κραδασμούς’’ στο σώμα και τον άξονα περιστροφής
λόγω του αιτίου που λες…
Συμπτωματικά ,προχθές κουβέντιαζα μ’ένα ανήψιο και μου’λεγε
για το τιμόνι που κοσκίνιζε σ’ένα ταξίδι του και οφείλονταν στη κακή
ζυγοστάθμιση των τροχών όταν άλλαξε λάστιχα.
Προφανώς ο άξονας περιστροφής δεν ήταν σε σύμπτωση με τον
άξονα συμμετρίας.
Να ‘στε καλά
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα Παντελή!
Ωραίο το τρύπιο στερεό και με απρόσμενο αποτέλεσμα!
Να σου πω και γω περίμενα ελάχιστη την ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο, αλλά ….
Μετά από ώριμη σκέψη (από την αρχική έκπληξη) θεωρώ το αποτέλεσμα λογικό μιας και για δεδομένη μάζα (που απέμεινε) μεταφέραμε μάζα στο κέντρο και πήγαμε το “κενό” μακριά που δεν μας “κοστίζει” και σε ροπή αδράνειας έτσι καταφέραμε την μείωση!!!
Καλό και να φανταστείς έχω ετοιμάσει και ένα σχεδιο σαν το pacman το δικό σου αλλά με 4 συμμετρικές τρύπες σε οριζόντιο επίπεδο που ασκούμε εφαπτομενική δύναμη και δεν μου πήγε καν το μυαλό να μελετήσω τη ροπή αδράνειας!!!
Υ.Γ. Ελπίζω να προλάβω να το βγάλω!!!
Διαγραφή σχολίου
Ευχαριστώ Βασίλη.
Στο βιβλίο συναντάμε την 4.22 που εξ’αρχής έχουμε διαφορετική κατανομή ίδιας μάζας
και η λύση της απαιτεί σύγκριση των Ι μέσω κατανομής μάζας.
Στη περίπτωση της αφαίρεσης τμήματος απο διαφορετική θέση στερεού έχουμε και διαφορετική κατανομή μάζας στο απομένων και…
πάντα ζητούσα να συγκριθούν οι Ι …με φραστική εξήγηση
Όταν αφαιρούμε μάζα κεντρικά μένει η περιφεριακή ,κατανομή μακρυά του άξονα , μεγάλη Ι
Όταν αφαιρούμε ,μάζα περιφερειακά (σχετικά) μένει η κεντρική κατανομή κοντά στο άξονα.μικρή Ι
Αναμένουμε την ”4trupes”!
Διαγραφή σχολίου
Μπράβο Παντελεήμονα …( εδέησα κι εγώ να την διαβάσω )
Εξαιρετικό το στήσιμο …
( αφού άνοιξαν άλλοι και την προσθαφαίρεση στερεών μάλλον όλοι δουλεύου δυο τρεις )
Οι απορίες μου λύθηκαν διαβάζοντας και τα σχόλια αλλά …
… αφού είχα φτιάξει κάτι,
για πες μου θεωρείς
δύσκολο και εκτός ύλης αυτό ;
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα Μήτσο.
Με τον κατάλληλο λόγο σου ανοίγεις τη πόρτα για εντός…νομίζω.
Τώρα να συνθέσω κάπως:
πρώτος ο Μαντάς σε προηγούμενο σχόλιό του πρότεινε μια μέθοδο για εύρεση του cm μεσω Ιmin
με την εντός ύλης (!) παραγώγιση.
Δεύτερος εσύ και ο Ψυλάκος (στη ”ιδιωτική”γραμμή σύνδεσης) προτείνετε την παραπάνω (στο σχόλιό σου) που τη βλέπω σαν τη ποιό νορμάλ και ακολουθεί ένας
τρίτος ,εγώ, με την παρακάτω:
σκέψη, ψάχνω το cm του υπολοίπου, που αν το στήριζα εκεί αυτό θα ισορροπούσε ακίνητο
καθόσον στο cm θα ασκείται το βάρος 3Μg/4 του υπολοίπου (νομίζω εντός ύλης σκέψη ,ε 😉
Τώρα για να μη μπλέξω με θεώρημα ροπών για το που είναι αυτό το cm λέω…μα πρέπει να
είναι εκτός της ΟΚ προς το μέρος της μεγαλύτερης αφου η ροπή ως προς αυτό θα είναι μηδέν και συγχρόνως μηδενική ροπή μπορούν να δώσουν οι δύο συνιστώσες ,πράγμα που δεν θα συνέβαινε αν το cm ήταν μεταξύ Ο και Κ.
Έτσι : Στcm=0→Mg x- (Μg/4)(x+R/2)=0→ x=R/6
Τελικά δικό σου το συμπέρασμα ,πάντως δύσκολο δεν το θεωρώ μπροστά σε άλλα ”βουνά”.
Μήτσο σε’φχαριστώ
Διαγραφή σχολίου
Καλησπέρα συνάδελφοι,
Παντελή τα συγχαρητήριά μου για την ιδέα και την υλοποίησή της !
Υπάρχει και η τακτική του … κάβουρα για να βρούμε το νέο κέντρο μάζας: 🙂
Αν φανταστούμε το αρχικό στερεό ως δύο τμήματα με βάρη ¾Mg και ¼Mg στα σημεία Κ′ και Κ αντίστοιχα, τότε η συνισταμένη τους πρέπει να είναι Mg και να εφαρμόζεται στο Ο.
Οπότε:
¾Mg∙(ΟΚ′) = ¼Mg∙(R/2) → (ΟΚ′) = R/6.
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα κι από μένα ..Την τακτική “κάβουρα” που λέω ο Διονύσης Μητρ. εφαρμόζω συνήθως αλλά την ονομάζω τακτική “επανατοποθέτησης” της μάζας που αφαιρέσαμε έτσι προκύπτει ξανά το αρχικό στερεό (πλήρες).
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Διονύση.
“Η τακτική του … κάβουρα ” ωραίο …, οπως ο Μήτσος και ο Ψυλάκος ”’ελάλησαν”.
Ίσως θα είχε κάποιο ενδιαφέρον η αρχή …η σπίθα
της ιδέας που άλλοτε βγαίνει από μια εικόνα
άλλοτε από ένα μουσικό κομμάτι …που άλλο έψαχνα και άλλο βρήκα εδώ 🙂 ,
άλλοτε μέσα από στάχτες που σκέπαζαν ιδέες άλλων…
Σ’ευχαριστώ, να’σαι καλά
Διαγραφή σχολίου
Καλημέρα Γιάννη.
Είναι προφανής η προτίμηση της τακτικής του ”κάβουρα”
ή της “επανατοποθέτησης”.
Να’σαι καλά