by 
Αφορμή για το παρόν πόνημα η παρατήρηση του καθηγητή κ. Τρικαλινού εδώ:
“Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα ρευστά.”
Αφιερώνεται σ’ αυτόν.
Ποια είναι η υπόθεση;
Ξέρουμε ότι η άνωση, σε μη επιταχυνόμενο περιβάλλον, είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού. Ξέρουμε εμπειρικά πως το ίδιο ισχύει και στα αέρια.
Έτσι μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς, πρακτικά επαρκείς, με αερόστατα.
Λόγου χάριν πόσο όγκο πρέπει να έχει ένα αερόστατο ηλίου ώστε να σηκώσει εμένα;
Όμως η απόδειξη δεν είναι ίδια. Η προέλευση των δύο πιέσεων δεν είναι ίδιας φύσης.
Η υδροστατική πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού, ενώ η πίεση των αερίων σε ανελέητο βομβαρδισμό από κινούμενα μόρια.
Ας τις δούμε διαδοχικά.
Οι φωτογραφίες είναι από το αριστούργημα του Αλμπέρ Λαμορίς "Το κόκκινο μπαλόνι", παραγωγής 1956.
Αγαπητέ Γιάννη, ευχασριστώ για την αφιέρωση. Πράγματι έτσι αποδεικνύεται αυτό που είχα γράψει. Θα σου πρότεινα μάλιστα να εξετάσεις άλλη μια περίπτωση. Όταν ο κύλινδρος είναι γεμάτος με ελαφρύ αέριο, αλλά ανοιχτός από κάτω, όπως συμβαίνει σε πολλά σύγχρονα αερόστατα.
Θα μου επιτρέψεις όμως να σου κάνω μια παρατήρηση που στους φοιτητές μου στοίχιζε κάμποσες μονάδες.
Γράφεις σε ένα σημείο pV=NkT=>p=(N/V)kT=>p=nkT=>p=n0exp(-mgh/kT)kT.
Αυτό δυστυχώς δεν είναι σωστό. Ο τύπος p=nkT ισχύει ΣΕ ΚΑΘΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, ενώ ο τύπος pV=NKT ΜΟΝΟ για ομογενή κατανομή των μορίων του αερίου (κατάσταση ισορροπίας), δηλαδή στην προκειμένη περίπτωση ΔΕΝ ισχύει. Μόνο στην περίπτωση της ομογενούς κατανομής n=dN/dV=N/V
Ευχαριστώ.
Θα κάνω την διόρθωση άμεσα.
Γιαννη Καλησπερα !
Πολυ ενδιαφερουσα η αναλυση σου .
Μου εφερε στο μυαλο μια αποδειξη που κανει ο Αλεξοπουλος στο βιβλιο του
ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ στο κεφαλαιο της Αεροστατικης .
Εκει αποδεικνυει τον βαρομετρικο τυπο που δινει την εξαρτηση της πιεσης απο το υψος h.
Θεωρωντας οτι η πιεση οφειλεται αποκλειστικα στο πεδιο βαρυτητας.
Τελικα η εξαρτηση αυτη εχει εκθετικη μορφη μιας και τα αερια ειναι συμπιεστα οποτε η πυκνοτητα τους εξαρταται απο την μεταβολη της πιεσης .
Το εχω ετοιμασει Ε Δ Ω
Ευχαριστώ Κώστα.
Είχα ξεχάσει την απλή αυτήν απόδειξη του Αλεξόπουλου (1975-1976 μ.Χ. γαρ).
Το ερώτημα του κ. Τρικαλινού έχει όντως ενδιαφέρον.
Δεν έπιασα χαρτί και μολύβι ακόμα αλλά σκέφτομαι δυο πράγματα.
Έχουμε μια σακούλα, γεμάτη με ελαφρύ αέριο, ανοιχτή από κάτω.
Ας είναι υδρογόνο ή ήλιον. Ας έχει την ίδια θερμοκρασία με τον περιβάλλοντα αέρα.
Τα μόρια του ελαφρού αερίου έχουν, κατά μέσον όρο, μεγαλύτερες ταχύτητες από αυτές των μορίων του αέρα με τα οποία «γειτονεύουν». Κάποια από αυτά «δραπετεύουν» από την ανοικτή κάτω επιφάνεια της σακούλας.
Επειδή η πίεση θα μειωνόταν, εισβάλλουν μόρια αέρα στην σακούλα.
Η άνωση μειώνεται.
Ο ρυθμός μείωσης πρέπει λογικά να εξαρτάται από τον αριθμό των μορίων που δραπετεύουν και να είναι ανάλογος της επιφάνειας της τρύπας.
Αν είχαμε στην σακούλα θερμό αέρα, θα δραπέτευαν μόρια «γρήγορα» και θα «έμπαιναν» μόρια «αργά». Αυτό θα σήμαινε μείωση της θερμοκρασίας και ταυτοχρόνως της άνωσης.
Δεν είμαι σίγουρος αν οι σκέψεις μου είναι σωστές.
Καλησπέρα στην παρέα.
Γιάννη πολύ καλή η απόδειξη μετά από την προτροπή του κ. Τρικαλινού.
Ομολογώ ότι σε μένα ήρθε η σκέψη του Κώστα, αφού το βιβλίο αυτό το είχα …κάποτε διδαχθεί.
Αλλά να μου επιτρέψετε παραπέρα και μια σκέψη- προβληματισμό.
Αν μιλάμε ότι θέλουμε να μελετήσουμε την ατμοσφαιρική πίεση από την επιφάνεια της Γης, μέχρι το ύψος των 200km την εκθετική μείωση, με τη μία ή την άλλη μορφή, δεν πρόκειται να την αποφύγουμε.
Αλλά αν μιλάμε για ένα δοχείο ύψους 0,5m ή 2m είναι απαραίτητη η παραπάνω διαδικασία;
Θέλω να πω, ποια διαφορά παρουσιάζει η καμπύλη εκθετικής μείωσης με την ευθεία, που περνά από δυο σημεία σε ύψος h h+0,5m;
Μήπως τελικά το να υποστηρίξει κάποιος ότι η πίεση μειώνεται γραμμικά είναι μια πολύ καλή προσέγγιση; Και αν ναι, μήπως οδηγούμαστε σε λογικές ίδιες με το ασυμπίεστο υγρό;
Έχεις δίκιο.
Κάνε την απόδειξη χωρίς χρήση της εκθετικής συνάρτησης. Πάρε μια συνάρτηση πρώτου βαθμού.
Στο τέλος θα προκύψει το ίδιο όταν ολοκληρώσουμε για να βρούμε το πλήθος των μορίων.
Πράγματι για σχετικά μικρές διαφορές ύψους ( mgh << kT ) μπορούμε να αντικαταστήσουμε το εκθετικό με γραμμική συνάρτηση: exp(-mgh/kT) = 1-mgh/kT. Πάντως πρέπει να ξέρουμε ότι ο σωστός τύπος είναι ο εκθετικός (όπως π.χ στηθερμική διαστολή και αλλού), διότι χωρίς αυτό μπορούμε να καταλήξουμε σε παράλογα πράγματα (π.χ. αν θεωρήσω ότι p=p0(1-uh), όπου u σταθερά, ξεκινήσω από ένα σημείο, ανέβω κατά h και γυρίσω ξανά στο αρχικό σημείο θα διαπιστώσω ότι η πίεση μεταβλήθηκε!!!)
Μια μελέτη της άνωσης στα αέρια (με τη γραμμική προσέγγιση) παρουσιάζεται ΕΔΩ
Καλησπέρα κ. Τρικαλινέ.
Σας ευχαριστώ για την απάντηση, αλλά και για τη μελέτη που δώσατε.
Ενδιαφέρον το αποτέλεσμα.
Αυτό όμως που δεν κατάλαβα, είναι γιατί αν δεχθούμε γραμμική μεταβολή πιέσεως με το ύψος, θα οδηγηθούμε σε παράλογα αποτελέσματα.
Δηλαδή αν σε ένα σημείο στο έδαφος η πίεση έχει τιμή Ρο και ανέβω 0,5m θα βρω μια τιμή Ρ, αν ξανακατέβω δεν θα βρω ξανά Ρο;
Τονίζω ότι και σε παραπάνω σχόλιό μου, μίλησα για μικρά ύψη, όπως 0,5-2m, αφού η συζήτηση ξεκίνησε από μια τοποθέτηση για τον αέρα σε ένα δοχείο.