by 
Πάνω σε μια ζυγαριά έχουμε έναν ψηλό κυλινδρικό σωλήνα που περιέχει νερό.
Η μάζα του νερού είναι 40 kg και του σωλήνα αμελητέα.
Μια μπάλα μάζας 10 kg αφήνεται να πέσει μέσα στον σωλήνα.
Έχει όγκο 1 λίτρου.
Η μπάλα αποκτά σύντομα την οριακή της ταχύτητα:
Σχεδιάστε ποιοτικά την ένδειξη της ζυγαριάς συναρτήσει του χρόνου.
Αν η διατομή του σωλήνα είναι 200 τ.εκ. σχεδιάστε ποιοτικά την μεταβολή της πίεσης συναρτήσει του χρόνου, στον πυθμένα.
Διατηρώ κάποια αμφιβολία για την αρχική ένδειξη της ζυγαριάς.
Είμαι (σχεδόν) σίγουρος για την τελική.
Η μαθηματική εξίσωση όταν καταλαμβάνει δύο γραμμές δεν φαίνεται.
Επαναλαμβάνω
Εφαρμόζοντας τον 2ο νόμο του Newton για την σφαίρα προκύπτει ότι:
\[mg-A-F=ma\Rightarrow (m-\rho V)g=(m+\frac{1}{2}\rho V)a\Rightarrow \]
$Mg+A+F=Mg+\rho Vg+\frac{1}{2}\rho Va=400+10+4.25=414.25N$
Πάλι τα έκανα μούσκεμα.
Πως σβύνουμε ένα σχόλιο;
Η επιταχυνόμενη κίνηση της σφαίρας έχεις σαν αποτέλεσμα μεταβίβαση ορμής στο περιβάλλον ρευστό. Η μεταβίβαση αυτή συνεπάγεται δύναμη αντίστασης ( όχι λόγω ιξώδους)
$F=\frac{1}{2}\rho Va$
Το μόνο λάθος του Φυσικού 1 ήταν ότι δεν έβαζε το ½
Εφαρμόζοντας τον 2ο νόμο του Newton για την σφαίρα προκύπτει ότι:
\[mg-A-F=ma\Rightarrow (m-\rho V)g=(m+\frac{1}{2}\rho V)a\Rightarrow\]
\[a = \frac{{10 – 1}}{{10 + 0.5}}10 = \frac{{90}}{{10.5}} = 8,5\frac{m}{{{s^2}}}\]
Η συνολική δύναμη που ασκείται στην ζυγαριά είναι:
$Mg+A+F=Mg+\rho Vg+\frac{1}{2}\rho Va=400+10+4.25=414.25N$
Χρόνια Πολλά Βαγγέλη.
Πως βγάζεις την εξίσωση
Ειδικά το 1/2;
Γιατί το πείραμα του Γιάννη Μήτση δεν επιβεβαίωσε κάτι τέτοιο;
Γιάννη Καλησπέρα
Η σχέση αυτή είναι στο τέλος της σελίδας 3 ( λίγο πριν τις παρατηρήσεις) στην μελέτη του Δημήτρη Σκλαβενίτη.
Μπορεί επίσης να προκύψει ολοκληρώνοντας την σχέση (13) στης σελίδας 19 της δικής μου μελέτης
Ιδανικά ασυμπίεστα ρευστά
Τα βρήκα Βαγγέλη.
Εν τοιαύτη περιπτώσει θα πρέπει μόλις κόβουμε τον σπάγκο που κρατάει την σφαίρα να έχουμε μια αύξηση και στην ένδειξη ενός μανομέτρου που μετράει την πίεση κοντά στον πάτο του δοχείου. Δεν υπάρχει κάποια ροή την στιγμή μηδέν.
Θεωρώ ότι πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί όσον αφορά την εφαρμογή αυτών των εξισώσεων που αφορούν την λύση των εξισώσεων Euler.
Η μελέτη του Δ. Σκλαβενίτη αφορά σφαίρα που αφήνεται να βυθιστεί στο Κρητικό πέλαγος.
Η εξίσωση Lapl;ace έχει επιλυθεί με μοναδική συνοριακή συνθήκη τον μηδενισμό της ταχύτητας στο άπειρο και την εξίσωση ακτινικών συνιστωσών υγρού -σφαίρας στην επιφάνεια της σφαίρας.
Έχω την εντύπωση ότι τα δεδομένα της άσκησης δεν είναι σύμφωνα με το μοντέλο αυτό ( το νερό είναι λίγο)..
Σε κάθε περίπτωση φαίνεται να έχεις δίκιο, καθώς το πεδίο πιέσεων στην αρχή της σελίδας 3 περιέχει ένα όρο ανάλογο της επιτάχυνσης της σφαίρας, ο οποίος θα δώσει μια συνεισφορά στην πίεση στον πυθμένα.
ΥΓ Ο Δημήτρης Σκλαβενίτης στις παρατηρήσεις εξηγεί το αποτέλεσμα του πειράματος του έτερου Δημήτρη.
Καλώς λοιπόν διετήρησα επιφυλάξεις για τα 410Ν.
Να υποθέσω ότι θεωρείς τις ασκήσεις άνωση-ταλάντωση που κυκλοφορούν ως λανθασμένα λυμένες.
Προφανώς, αλλά δεν ξέρω να τις λύσω σωστά.
Κάτι συμπληρωματικό
Σε παλαιότερη ανάρτησή σου είχα εκφράσει την υποψία μου ότι η μεταφορά ορμής στο υγρό έχει σαν αποτέλεσμα μια αντίσταση στην κίνηση του σώματος (ανεξάρτητη του ιξώδους). Όμως δεν μπορούσα να την ποσοτικοποιήσω.
Όταν με παρέπεμψες στην «τρύπα στο νερό» και στο πείραμα του Γιάννη Μήτση δεν έφτασα στο τέλος των σχολίων με αποτέλεσμα να μην δω το σχόλιο του Δημήτρη Σκλαβενίτη.
Όμως το παράδοξο του D’ Alembert ( το γεγονός ότι η δύναμη που συζητάμε δεν υπάρχει αν η ταχύτητα είναι σταθερή) μου δημιουργούσε αμφιβολίες.
Έτσι όταν είδα την ανάρτηση και την αναφορά σου στην άποψή μου, αποφάσισα ότι πρέπει να ξεκαθαριστεί το θέμα.
Ξύπνησα σήμερα το πρωί με σκοπό να λύσω το πρόβλημα της αστρόβιλης ροής με επιταχυνόμενη σφαίρα. Πριν το κάνω αυτό αποφάσισα να ξαναδώ όλα τα σχόλια.
Ήταν ευχάριστη έκπληξη το γεγονός ότι την δουλειά την είχε κάνει πριν 2 χρόνια ο Δημήτρης ( αν την είχα δει τότε δεν θα καταλάβαινα λέξη) .
Ξανακοιτάζοντας το «ιδανικά ασυμπίεστα ρευστά» διαπίστωσα ότι όλη η δουλειά ήταν και για μεταβλητή ταχύτητα σφαίρας. Έτσι συμφώνησα τα αποτελέσματα του Δημήτρη με τα δικά μου.
Καλημέρα Βαγγέλη.
Αντιλαμβάνεσαι προφανώς τις συνέπειες. Στον πάτο του δοχείου η πίεση δεν είναι ρ.g.h.
Ο γενικευμένος νόμος Bernoulli πως εφαρμόζεται; Ποιο είναι το ολοκλήρωμα της (θυ/θt).ds ;
Ας αφήσουμε αυτά. Πάμε στο πείραμα μέτρησης του ιξώδους. Όταν πέφτει η μπάλα και αποκτά οριακή ταχύτητα λέμε ότι το βάρος της είναι ίσο με το άθροισμα του βάρους του νερού που εκτοπίζει (άνωση) και της δύναμης 6πnrυ.
Γίνεται λάθος;
Το λάθος έχει απαλοιφεί διότι έχουμε σταθερή ταχύτητα;
Τόσοι υπολογισμοί είναι άκυροι;
Άκυρο το τελευταίο Βαγγέλη. Δεν πρόσεξα το ότι η δύναμη 0,5.ρ.V.α μηδενίζεται όταν έχουμε οριακή ταχύτητα.
Μια χαρά είναι το πείραμα.
Καλημέρα Βαγγέλη και Γιάννη και Χρόνια Πολλά.
Το θέμα που επαναφέρατε στην επιφάνεια, με έστειλε να δω την ανάρτηση:
Μια τρύπα στο νερό και η Αρχή του Αρχιμήδη
διαπιστώνοντας και "κακή" μεταφορά των σχολίων, οπότε κάθησα να βελτιώσω την εικόνα.
Έτσι υποχρεωτικά ξαναείδα και το τι είχε γραφτεί.
Έτσι το συμπέρασμα ήταν ότι ο 3ος Φυσικός (λέγε με Δημήτρη Σκλαβενίτη…) είχε δίκιο