by 
Στερεό Σ, με κυκλική διατομή ακτίνας r, αφήνεται από τυχαίο σημείο ημικυλινδρικού ακίνητου οδηγού ακτίνας R. Κάποια στιγμή και πριν φτάσει στο κατώτερο σημείο Κ του οδηγού, το στερεό κυλίεται.
- Να αποδείξετε ότι ανεξάρτητα αν το στερεό είναι σφαίρα, δακτύλιος, δίσκος, ή κύλινδρος όταν περνά από το σημείο Κ του οδηγού το μέτρο της στατικής τριβής είναι μηδέν. Να θεωρηθεί ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης ο άξονας περιστροφής του στερεού είναι παράλληλος στο οριζόντιο επίπεδο, διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας, στην οποία έχει σχεδιαστεί η τομή του συστήματος ( Η τομή του ημικυλίνδρου με το κατακόρυφο επίπεδο είναι ημικύκλιο κέντρου Ο) .
- Αν υποθέσουμε ότι G είναι το κέντρο μάζας του στερεού να βρεθεί η σχέση που συνδέει τη γωνιακή μετατόπιση Δθ του στερεού από τη στιγμή που αρχίζει να κυλίεται και πριν φτάσει στο κατώτερο σημείο Κ, με τη γωνία Δφ που έχει διαγράψει το ευθύγραμμο τμήμα ΟG στην ίδια χρονική διάρκεια.
*Οποιαδήποτε ένσταση υπάρχει για τη λύση είναι ( φυσικά ) αποδεκτή Ν.Κ.
Απάντηση : Drive, OneDrive, Dropbox
Καλησπέρα Νίκο.
Όσον αφορά το πρώτο σου ερώτημα θα μπορούσαμε να το ''αποδείξουμε'' και ως εξής:
Κατά τη διάρκεια της καθοδικής κίνησης και επειδή το στερεό επιταχύνεται μεταφορικά με την επίδραση του βάρους, λόγω Κύλισης χωρίς ολίσθησης η στατική τριβή μπαίνει ''προς τα πίσω'' για να εξασφαλίζει την επιταχυνόμενη στροφική κίνηση.
Μόλις περάσει το σημείο Κ και το στερεό αρχίσει να ανεβαίνει, επειδή το βάρος θα αρχίσει να το επιβραδύνει μεταφορικά θα πρέπει η φορά της στατικής τριβής να αντιστραφεί προκειμένου το στερεό να αρχίσει να επιβραδύνεται και στροφικά (άρα η στατική τριβή μπαίνει ''προς τα πάνω'').
Για να συμβεί η αντιστροφή της κατεύθυνσης της στατικής τριβής θα πρέπει σε κάποιο σημείο να μηδενιστεί. Και αυτό το σημείο είναι το σημείο Κ.
Καλησπέρα Νίκο, καλησπέρα Νεκτάριε.
Μιας και αρχίσαμε τις …εναλλακτικές, να προσθέσω και γω μια
Όταν το στερεό φτάσει στο σημείο Κ, κυλιόμενο, ισχύει η σχέση υcm=ωr.
Αν υποθέσουμε ότι ασκείται τριβή προς τα αριστερά, αυτή θα μείωνε την ταχύτητα του κ.μ. και θα αύξανε την γωνιακή ταχύτητα, με αποτέλεσμα να πάψει η κύλιση.
Αν υποθέσουμε ότι η στατική τριβή είναι προς τα δεξιά, θα είχαμε αντίθετα: Αύξηση της ταχύτητας του κέντρου μάζας και μείωση της γωνιακής ταχύτητας, οπότε και πάλι θα "καταστρεφόταν" η κύλιση!
Και το ένα και το άλλο, χωρίς να υπάρχει κάποιος λόγος να πάψει το στερεό να κυλίεται, δεν μπορεί να συμβεί.
Το μόνο που μένει είναι να μην υπάρχει τριβή.
Καλημέρα.
Νεκτάριε και Διονύση σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Ναι μπορεί να απαντηθεί το πρώτο ερώτημα και με λογικές σκέψεις χωρίς πράξεις, όπου και αυτός ο τρόπος προσέγγισης είναι ωραίος!
Το 2ρο ερώτημα δε νομίζω ότι μπορεί να απαντηθεί με αντίστοιχο τρόπο όπως το 1ο.
Καλημέρα Νίκο
πάντα οι ημικυκλικοί οδηγοί είναι λίγο πονοκέφαλος για τους μαθητές. ωραίο θέμα
Καλημέρα Νίκο όμορφη η αναρτηση σου!
Και στον οδηγό ανακυκλωσης με αντίστοιχη μελέτη προκύπτει και στο ανώτερο σημειο ότι Tστ=0 ,λόγω ημφ=0 άρα φ=0 ή φ=180.
Να είσαι καλά!
Καλημέρα Νίκο.
Πολύ καλό όπως και ο πλουραλισμός λύσεων
Μας θυμίζει το Δ θέμα του 2015 για το οποίο είχε γίνει αρκετή συζήτηση για το πότε αρχίζει η κύλιση
αν αφήσουμε το σφαιρίδιο από το χείλος του οδηγού, με εκτενή μελέτη από το Βαγγέλη Κορφιάτη
που τον χάσαμε πρόσφατα…όμως τον θυμόμαστε. Η δουλειά του βρίσκεται …εδώ
Τάσο καλημέρα.
Πονοκέφαλος δε λες τίποτα! Το πρόβλημα ξεκινά από τη Β λυκείου που δε "θέλουν" καθόλου την κυκλική κίνηση. Η κατάσταση έγινε καλύτερη πάντως εφόσον μετακινήθηκε από την ύλη της Α στη Β!
Ευχαριστώ για την κατάθεση της άποψής σου.
Δημήτρη καλημέρα και σε ευχαριστώ. Έχεις απόλυτο δίκιο, αλλά θέλοντας να δέσει το 1ο με το 2ο ερώτημα δεν αναφέρθηκα στο σημείο αυτό. Καλά έκανες και το έθιξες όμως.
Παντελή ( σύντεκνε) καλημέρα και ευχαριστώ.
Τον κ. Κορφιάτη δεν τον ήξερα προσωπικά, θαύμαζα από εδώ όμως τις γνώσεις του. Οι αναλύσεις του με "ανάγκαζαν" να διαβάζω πράγματα που ομολογώ είχα ασχοληθεί ελάχιστα. Λυπήθηκα πάρα που πολύ που "έφυγε" τόσο αιφνίδια. Πάντως είναι τρομερό να θαυμάζεις κάποιον, χωρίς να τον έχεις συναντήσει από κοντά! Την ανάλυση του δεν την είχα δει. Φυσικά και θα τη διαβάσω.
Όμως ήθελα να δείτε το εξής: Λέμε ένα από τα χαρακτηριστικά της κύλισης είναι ότι η μετατόπιση του κέντρου μάζας είναι ίση με το μήκος του τόξου που διαγράφει ένα σημείο στην περιφέρεια και κάνουμε το παρακάτω σχήμα ( νομίζω οι περισσότεροι από εμάς), δηλαδή: $latex \displaystyle \Delta {{\chi }_{cm}}=\Delta {{S}_{arc}}$, όπως στο παρακάτω σχήμα
Στο θέμα που έθιξα ( νομίζω ) δεν ισχύει, δείτε το παρακάτω σχήμα στο οποίο $latex \displaystyle \Delta {{\chi }_{cm}}=\overset\frown{GG'}$ και όχι το $latex \displaystyle \overset\frown{\Delta \Delta '}$
Γεια σου Νίκο.
Είναι προφανές πως δεν ισχύει η έκφραση που λες αν δεν προσθέσεις " …της κύλισης σε ευθεία .."
Θα έπρεπε r=0.
Αυτό ακριβώς Παντελή. Τα δύο μήκη συμπίπτουν μόνο για ευθύγραμμη τροχιά, κάτι που φυσικά το σχολικό ΔΕΝ αναφέρει. Έχει δύο εικόνες μόνο για ευθύγραμμη τροχιά σε οριζόντιο και σε κεκλιμένο επίπεδο!
Όντως είναι πολύ όμορφη ανάρτηση.
Όντως το GG΄ είναι ίσο με το διαγραφέν τόξο. Με βολεύει η ισότητα ταχυτήτων σε παρόμοιες περιπτώσεις.
Όσον αφορά την στατική τριβή, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι μηδενική διότι η επιτρόχιος οφείλει να είναι μηδενική.
Είναι δε μηδενική η επιτρόχιος διότι έχουμε ακρότατο (ταχύτητα μέγιστη).
Γιάννη καλησπέρα. Συμφωνώ είναι όμορφα θέματα αυτά! Οι κινηματικοί σύνδεσμοι με τις ταχύτητες είναι η πιο ασφαλής επιλογή. Ναι όντως έχουμε ακρότατο. Σ' ευχαριστώ για την κατάθεση της άποψής σου.