by 
Δύο χάντρες αμελητέας ακτίνας και με μάζα m η κάθε μία, ( όπως σ’ ένα κομπολόι ) είναι περασμένες σε λεπτό σύρμα, το οποίο έχει τη μορφή κυκλικής στεφάνης. Το κυκλικό στεφάνι έχει μάζα Μ, ακτίνα R και στέκεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Αρχικά το όλο σύστημα ισορροπεί με τις χάντρες να εφάπτονται στην κορυφή του στεφανιού. Κάποια στιγμή σπρώχνουμε τις χάντρες με αμελητέα ώθηση προς αντίθετες κατευθύνσεις και αρχίζουν να πέφτουν γλιστρώντας χωρίς τριβές στο σύρμα της στεφάνης. Να αποδείξετε ότι υπάρχει δυνατότητα για κατάλληλη σχέση των μαζών m και Μ η στεφάνη να χάσει την επαφή της με το δάπεδο οπότε και θα ανασηκωθεί . Δίνονται: m, Μ και να θεωρηθεί μηδέν κάθε είδους τριβής με το σύρμα και η αντίσταση από τον αέρα.
Η Ενδεικτική λύση: εδώ
Υ.Γ.: Μία διευκρίνηση στη λύση. Αρχικά υπολογίζω τη Ν’y. Μετά η αντίδραση της στη στεφάνη είναι Νy=-N’y. Μέσα στον υπολογισμό της ΣFy εμφανίζεται η -Νy=-(-N’y)=N’y και για αυτό άφησα τη συνάρτηση ίδια, κάτι το οποίο όμως δεν εξήγησα αναλυτικά. Δηλαδή θα έπρεπε να είχα γράψει το εξής : ΣFy =F-Mg-2Ny=F-Mg-2(-N’y)=F-Mg+2N’y. Η υπόδειξη που είχε κάνει ο Δημήτρης Γκ. ήταν σωστή.
Γεια σου Νίκο.
Πολύ ωραία άσκηση και ωραία διαπραγμάτευση.
Συγχαρητήρια.
Ευχαριστώ Διονύση!
Συγχαρητήρια!
Να είσαι καλά Γιάννη!
Εξαιρετική Νίκο.
Είχα δει παρόμοιες αλλά …αυτή είναι η καλύτερη εκδοχή και με την πιο μεθοδική ΄λύση.
Παρατήρηση : Στη σχέση ισορροπίας της στεφάνης έγραψες τις συνιστώσες Νy επί της στεφάνης ως θετικές δηλαδή προς τα πάνω … αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν οι χάνντρες αρχίσουν να κινούνται στο κάτω τεταρτημόριο .
Έστι για παράδειγμα αν η σχέση μαζών είναι Μ=m/2 (δηλαδή η κάθε χάντρα έχει διπλάσια μάζα από το στεφάνι ) τότε πρέπει συνφ=-1/3 και άρα πρέπει η φ να είναι 109,5 μοίρες ( και όχι 70,5 )
Έλεγξέ το και ΑΝ έχω δίκιο και αν μπορείς πρόσθεσε τις αναγκαίες εξηγήσεις
Και πάλι ΜΠΡΑΒΟ
Δημήτρη καλησπέρα. Ευχαριστώ για το σχόλιο και την υπόδειξη. Θα δω αναλυτικά αυτό που λες, όμως να πω ότι το σημείο αυτό με προβλημάτισε και εμένα πως να το παρουσιάσω και το σκέφτηκα ως εξής: Ας αναφερθώ στη σφαίρα στο αριστερό ημικύκλιο όπως κοιτάμε το σχήμα στην οθόνη. Αρχικά ( 0 <=φ<=90) η Ν'y πάνω στη σφαίρα είναι προς τα επάνω, οπότε η Νy στο σύρμα είναι προς τα κάτω. Αυτό αν κοιτάξεις προσεκτικά προκύπτει, το είναι προς τα κάτω προκύπτει από τη σχέση που τη δίνει, δηλαδή το (-) προκύπτει αυθόρμητα με την αντικατάσταση, όμως θα δω αυτό που λες και αν χρειαστεί αναπροσαρμόζω τη λύση.
Ευχαριστώ και πάλι!
Νίκο όταν αντικαθιστάς για να βρεις τη σχέση 5 … το συνφ είναι θετικό ή αρνητικό ; Με βάση ποιο σχήμα αντικαθιστάς ;
Αν αντικαθιστάς με βάση το σχήμα σου τότε το συνφ είναι θετικό και η Ν προς τα κάτω ….
καλή η άσκηση Νίκο,
αλλά έχει δημοσιευτεί εδώ, από εμένα, πριν μερικά χρόνια
(εννοείται και δεν μπορώ να την ξαναβρώ…)
έχε, επίσης, δημοσιευτεί, στο περιοδικό "Φυσικός Κόσμος" της ΕΕΦ,
όταν ήμουν μέλος της Συντακτικής Επιτροπής του
συνέχεια…
μόνο τη λύση έχω διασώσει (ίσως ο Κυρ θα μπορούσε να την ξαναβρεί)
https://drive.google.com/file/d/0B53agaskaj5RdFc3bWlYMmVySHM/view?usp=sharing
(η οποία και προϋποθέτει γνωστή την άσκηση όπου σώμα αφήνεται στην εξωτερική πλευρά του δακτυλίου
από το mail στο κάτω μέρος εκτιμώ ότι γράφτηκε πριν 6-7 χρόνια)
στο περιοδικό την άσκηση είχε προτείνει ο συνάδελφος Γιάννης Γλυκός, φροντιστής στη Νάξο (;) και Δήμαρχος της πόλης
Δημήτρη και Βαγγέλη θα δω ό,τι μου έχετε γράψει λίγο πιο μετά ( είμαι σε μαθήματα) .
Υ.Γ. Είχα ξεχάσει τον υπολογιστή ανοιχτό χωρίς να έχω βγει από το λογαριασμό στο υλικο και φαινόταν ότι ήμουν σε σύνδεση αλλά δεν ήμουν
Δημήτρη πιστεύω ότι είναι εντάξει η συνάρτηση της Νy, και της F. θα το ξαναδώ όμως.
Για παράδειγμα όταν φ=0, ( είναι η στιγμή που ξεκινάνε την κίνηση τους οι χάντρες) τότε Νy=-mg, δηλαδή φορά προς τα κάτω.
Προσοχή η $latex {{{\mathrm N}}_{y}}=2mg\sigma \upsilon \nu \varphi -3mg\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\varphi =mg\sigma \upsilon \nu \varphi (2-3\sigma \upsilon \nu \varphi )$ δίνει την αλγεβρική τιμή της δύναμης που δέχεται η στεφάνη από την κάθε σφαίρα!
Γεια σου Βαγγέλη, σ' ευχαριστώ για το σχόλιο. Δεν ήξερα για την ανάρτηση αυτή. Διάβασα όμως την ανάλυση από το σύνδεσμο που έδωσες.
Υ.Γ. Επειδή είμαι πολύ νέο μέλος στο yliko δεν έχω δει όλες τις αναρτήσεις ασκήσεων που έχουν ανέβει, οπότε θα ξανασυμβεί αυτό, δηλαδή να ανεβάσω άσκηση που να έχει μπει ή παρόμοιά της.
Αν υποθέσουμε ότι $latex {\mathrm M}=\frac{2}{3}m$ , δηλαδή την οριακή κατάσταση προκύπτει ότι $latex \sigma \upsilon \nu \varphi =\frac{1}{3}$ και η γωνία είναι 70.528779365509 ( μοίρες)
To γράφημα της Νy ( ποιοτικά ) διαιρώντας τις τιμές της με τον παράγοντα mg
Μία μεγέθυνση της περιοχής από 0 μέχρι π/2 ( 90 μοίρες).
Βλέπουμε ότι από 0 μέχρι 48,18 μοίρες η Νy<0 και μετά γίνεται θετική. Στις 70,5 μοίρες που χάνεται η επαφή έχει τη μέγιστη τιμή της και φορά προς τα επάνω,απόλυτα λογικό αφού χάνεται η επαφή, άρα μηδενίζεται η F, οπότε οι 2 Νy, πρέπει να έχουν φορά προς τα επάνω για να ανασηκώσουν το στεφάνι!
Κάπως έτσι φαντάζομαι να συμβαίνει στο μέσα μέρος της χάντρας, με το κόκκινο να είναι το σύρμα, φ η γωνία σε μοίρες.
Το κόκκινο διάνυσμα είναι αυτό που δέχεται η στεφάνη από τη χάντρα και το μαύρο αυτό που δέχεται η χάντρα από τη στεφάνη.