by 
Από το ίδιο σημείο Ο, με δυο αβαρή νήματα ίδιου μήκους ℓ, κρέμονται δυο μικρές σφαίρες Α και Β με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα. Εκτρέπουμε τις δύο σφαίρες, όπως στο σχήμα, σε οριζόντιες αποστάσεις, (ως προς την κατακόρυφο που περνά από το Ο), x=0,2m και y=0,1m και τις αφήνουμε να κινηθούν. Δίνεται ότι ℓ>>x.
Μετά από την κεντρική και ελαστική μεταξύ τους κρούση, οι σφαίρες επιστρέφουν στις αρχικές θέσεις εκτροπής τους.
- Ποιος ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών m2/m1;
- Αν m2=4m1 η περίοδος των κρούσεων, σε σχέση με την αντίστοιχη περίοδο της i) περίπτωσης, θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει σταθερή;
Ποιες οι απαντήσεις σας;
Καλησπέρα Γιάννη.
Μιλάμε για το μοντέλο του απλού εκκρεμούς που δεχόμαστε ότι εκτελεί ΑΑΤ ή για το τι δείχνει το i.p.;
Αν μιλάμε για ΑΑΤ, δεν πρόκειται να την προσπεράσει αλλά θα συγκρούεται πάντα στην κατακόρυφη που έχουμε δέσει τα νήματα.
Αν βάλουμε το i.p. το τι θα δείξει θα εξαρτηθεί:
1) Από το βήμα υπολογισμού. άλλο πράγμα θα δεις αν βάλεις 200 υπολογισμούς το sec και άλλο αν βάλεις 2.000
2) Η κίνηση προσεγγίζεται ως ΑΑΤ. Προφανώς η προσέγγιση εισάγει κάποιο σφάλμα το οποίο αν το δεις στη χρονική διάρκεια 20 κρούσεων θα σου βγάλει…παππάδες!
Αποκλείεται να συγκρουσθούν μεν στην Θ.Ι. αλλά ένα από τα δύο να συνεχίσει την κίνησή του;
Αν συμβεί αυτό που θα γίνει η νέα κρούση;
Καταλαβαίνεις ότι αν η m2 ήταν πολύ μεγάλη θα συνέχιζε να κινείται με ίδια ταχύτητα.
Εννοείς μετά την κρούση να κινηθούν και τα δύο προς την ίδια κατεύθυνση;
Αν μιλάμε για ΑΑΤ, δεν μας ενδιαφέρει.
Ξανά στην ίδια θέση ισορροπίας θα συγκρουστούν.
Με λόγο μαζών 1/4 και ταχυτήτων 2/1 αρχικά ανακρούονται. Φτάνουν όμως σε άλλες θέσεις. Ξαναφτάνουν μαζί στην Θ.Ι. αλλά με άλλες ταχύτητες. Θα συμβεί και με αυτές τις ταχύτητες αλλαγή φοράς;
Έστω ότι συμβαίνει κάποιες φορές. Θα συμβαίνει πάντοτε αλλαγή φοράς όταν συγκρούονται στην Θ.Ι. , ή κάποια στιγμή, κάποια (η βαριά;) θα περάσει στην άλλη μεριά και θα καταστραφεί η περιοδικότητα των κρούσεων;
Γιατί Γιάννη βλέπεις "καταστροφή" της περιοδικότητας όταν περάσει στην "άλλη πλευρά".
Η περιοδικότητα συνεχίζεται… Θα πάνε προς την ίδια κατεύθυνση, το μπροστινό θα πάει πιο μακρυά, θα σταματήσουν ταυτόχρονα και θα επιστρέψουν επίσης ταυτόχρονα στη θέση ισορροπίας.
Κατάλαβα.
Θα συγκρούονται πάντα στην Θ.Ι. όποια φορά και αν έχουν οι ταχύτητές τους.
Ότι και να συμβεί μόνο εκεί θα συγκρουσθούν.
Ακριβώς!
Καλησπέρα συνάδελφοι
Νομίζω
Γιάννη … το i.p. προσεγγίζει την λύση λύνοντας προσσεγγιστικά το ελλειπτικό ολοκλήρωμα και άρα οι περίοδοι που υπολογίζει για διαφορετικά πλάτη ίναι διαφορετικά . ( Δες την ανάρτηση του Γιάννη Φιορεντίνου ΕΔΩ υπήρχε και στο παλιό ΥΦΧ)
Ο Διονύσης έχει ηδη γράψει πολλές φορές πως δουλεύει με την προκείμενη πως για μικρές γωνιες οι περίοδοι είναι ίσες ( όχι περίπου ) και έτσι είναι με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων για γωνίες μικρότερες των 5 μοιρών …
Την μικ΄ρη διαφορά στις περιόδους μπορεί κανέις να παρατηρήσει με το αντίστοιχο Pendulum από το Phet …
το οποίο ο Κυριακόπουλος ξέρει καλύτερα από μένα.
Σε όλη την δευτεροβάθμια εκπαίδευση το εκκρεμές μελετάται ως έχον σταθερή περίοδο και η ανάρτηση του Διονύση είναι πέρα για πέρα αποδεκτή .
Μήτσο συμφωνώ. Οι κρούσεις θα γίνονται πάντα στην Θ.Ι. ακόμα και αν δεν αλλάξει η φορά.
Καλησπέρα Μήτσο.
Το θέμα το έβαλα, γιατί παραπέμπει σε κάτι, που δεν είναι τόσο αυτονόητο.
Αυτές οι κρούσεις στη θέση ισορροπίας, μου φάνηκαν “ζόρικες” κάποτε
Πότε; Τα πρώτα χρόνια της δεκαετίας του 70, όταν διάβαζα για τις εισαγωγικές (νομίζω έτσι τις λέγαμε, πριν γίνουν πανελλήνιες και μετά πανελλαδικές…).
Είχε πέσει ένα τέτοιο θέμα κάποτε στις εξετάσεις για το Πολυτεχνείο (μάλλον λίγα χρόνια νωρίτερα) και με είχε…ζορίσει.
Παιδικές …αναμνήσεις
Διονύση είναι ακριβώς όπως τα λες διότι για γωνίες μικρότερες των 5 μοιρών δεχόμαστε περίοδο ανεξάρτητη του πλάτους και της μάζας αφού η απόκλιση είναι μη παρατηρίσιμη (στην πρώτη κρούση )
Στην πράξη όμως αργά η γρήγορα μετά από κάποιες κρούσεις για διαφορετικά λίγο πλάτη η ελάχιατη απόκλιση εκδηλώνεται
Σωστά Μήτσο.
Το έγραψα και παραπάνω σε σχόλιο.
Ότι μετά από 20 κρούσεις θα έχουμε …παππάδες
Κάποια στιγμή στην απόδειξη ότι η κίνηση είναι Α.Α.Τ. κάνουμε το εξής:
$latex \displaystyle \Sigma {{F}_{x}}=m\alpha =mg\eta \mu \theta =mg\frac{x}{R}$
Οπότε φανερά : $latex \displaystyle \eta \mu \theta =\frac{\chi }{R}\Rightarrow x=R\eta \mu \theta =R.(\theta -\frac{{{\theta }^{3}}}{3!}+\frac{{{\theta }^{5}}}{5!}-\frac{{{\theta }^{7}}}{7!}+…)\Rightarrow $
$latex \displaystyle x=R.\theta +R.(-\frac{{{\theta }^{3}}}{3!}+\frac{{{\theta }^{5}}}{5!}-\frac{{{\theta }^{7}}}{7!}+…)={{S}_{\tau \xi o\upsilon }}-R.(\frac{{{\theta }^{3}}}{3!}-\frac{{{\theta }^{5}}}{5!}+\frac{{{\theta }^{7}}}{7!}-…)$
και μερικοί υπολογισμοί που δείχνουν την απόκλιση από τη γραμμικότητα:
Νίκο ακριβώς αυτό.
Βλέπουμε ότι ακόμα και για 7 μοίρες η απόκλιση της προσέγγισής μας είναι 6 τάξεις μεγέθους μικρότερη από την πραγματική τιμή …
Να προσθέσω ότι αυτό εγώ νομίζω το πρόσεξα για πρώτη φορά στην Μαθηματική Φυσική του Γ έτους … και ομολογώ ότι ακόμα θυμάμαι ότι δέχτηκα σοκ … . Iσως να ήταν και στο Δ έτος δεν είμαι σίγουρος. Μου είχε δανείσει o βοηθός Β.Γ. το βιβλίο της Mary Boas … το οποίο τελικά ακόμα χρησιμοποιώ γιατί ποτέ δεν επέστρεψα … το φέρω βαρέως στην συνείδησή μου διότι είναι η μόνη φορά που δεν επέστρεψα βιβλίο … Μου το έχουν ανταποδώσει άλλοι και πολλές φορές … Ελπίζω τουλάχιστον τα βιβλία να χρησιμοποιούνται από όσους τα … "οικειοποιούνται" … )