by 
Έστω ότι σε ένα ελαστικό μέσο, μια χορδή, έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα με εξίσωση:
Όπως αυτό που μελετά το σχολικό βιβλίο.
Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής θα έχει κινητική ενέργεια, εξαιτίας της ταχύτητας ταλάντωσης και μια δυναμική ενέργεια, εξαιτίας της παραμόρφωσης που υπόκειται.
Με βάση την αντίστοιχη μελέτη πάνω σε ένα τρέχον κύμα, που έγινε στην ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα», για τις ενέργειες αυτές θα έχουμε:
Κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής μήκους dx και μάζας m1=dm=μdx έχει κινητική ενέργεια:
Διαβάστε τη συνέχεια...
ή
Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.
Οι ενέργειες σε ένα στάσιμο κύμα.
Για την χορδή, γενικά.
Καλημέρα σε όλους και καλή ξεκούραση.
Παρακολουθώ μεν την κουβέντα, σχεδόν από την αρχή, αλλά σε κατάσταση ελαττωμένων δυνατοτήτων απάντησης, ειδικά όσον αφορά τον μαθηματικό φορμαλισμό, έχοντας ένα tablet μόνο (από αυτά που θα φορολογηθούν λέει). Τώρα που είμαι σπίτι να πω μερικά σχετικά, νομίζω, γύρω από το θέμα.
ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Καλησπέρα Άρη.
Τέλειωσαν οι διακοπές, ή κάνεις "διακοπή";
Σε ευχαριστώ για την παρέμβαση και το κείμενο που μας έδωσες.
Γειά σου Διονύση.
Ακόμα και η απάντηση στο ερώτημα “Τέλειωσαν οι διακοπές, ή κάνεις “διακοπή”; ” δεν απαντιέται εύκολα.
Προς το παρόν κάνω “διακοπή” λόγω Κωνσταντίνου, μετά θα φύγει η Φωτεινή άρα πάλι εδώ, μετά…βλέπουμε.
Καλώς δέχτηκες το γιο! Καλά να περάσετε…
Διονύση καλημέρα
Αυτή τη στιγμή είμαι σε διακοπές. Στη βασιλική Λευκάδας. Δεν έχω καλο δίκτυο. Πάντως το πρόβλημα που συζητάμε έχει ενδιαφέρον και θα συνεχιστεί η συζήτηση.
Καλά να περνάς Νίκο.
Χαιρετίσματα από λίγο νοτιότερα, αφού εγώ βρίσκομαι Ζάκυνθο
Επιστρέφων από διακοπές μιας εβδομάδος σε Βασιλική Λευκάδας, ας καλωσορίσω πρώτα-πρώτα την παρέα του υλικονετ. Και, έστω κι αν έχουμε αφήσει λίγο πίσω τη συζήτηση που ξεκινήσαμε, προτείνω να τη συνεχίσουμε, έστω κι αν πριν λίγο καιρό παραδέχτηκα ότι η δημοκρατική αρχή της επικράτησης της πλειοψήφιας με καταδικάζει να έχω άδικο. Αν όντως έτσι έχουν τα πράγματα, η συνέχιση της συζήτησης θα με βοηθήσει να καταλάβω που έχω άδικο.
Το επίμαχο σημείο της κουβέντας είναι η καθετότητα. Για να ξεκαθαρίσω: αυτό που πρέπει να μας απασχολήσει είναι, όχι ακριβώς αν η εγκάρσια κίνηση των σημείων της χορδής είναι ή δεν είναι κάθετη στον άξονα της χορδής, αλλά αν οι ούτως ή άλλως μικρές αποκλίσεις των ταλαντώσεων των σημείων της χορδής από την ορθή γωνία πρέπει να ληφθούν υπ΄ όψη. Γι΄ αυτό θα θεσω το εξής ερώτημα:
Έστω κάποιος παίζει απαλή μουσική με την κιθάρα του. Κάποιος άλλος, χρησιμοποιώντας ένα ευαίσθητο οπτικό όργανο, διαπιστώνει ότι οι ταλαντώσεις των σημείων της χορδής είναι σχεδόν κάθετες με τον άξονα, υπάρχει όμως μια απόκλιση φ=0,01 rad από την καθετότητα (δηλ. λιγότερο από μια μοίρα). Μπορούμε να χαρακτηρίσουμε αυτή την απόκλιση αμελητέα;
Καλημέρα και καλή επιστροφή Νίκο!
Ελπίζω να πέρασες καλά και να ξεκουράστηκες δεόντως.
Όσον αφορά το ερώτημά σου, εξαρτάται τι θέλεις να κάνεις και τι ακρίβεια επιθυμείς.
Ο δικός μου στόχος δεν είναι να υπολογίσω "ακριβώς" την κίνηση ενός σημείου της χορδής, αλλά να "διαφωτίσω" ένα πρότυπο, με βάση το οποίο μπορεί να διδαχτεί η διάδοση του κύματος. Το πρότυπο αυτό:
1) Δεν πρέπει να απέχει πολύ από την πραγματικότητα (πράγμα που σημαίνει ότι αποδέχομαι ότι μπορεί να εισάγεται κάποιο σφάλμα κατά τον υπολογισμό κάποιου μεγέθους)
2) Να είναι απλό και κατανοητό.
Αν ο δικός σου στόχος είναι η εύρεση της ακριβούς σχέσεως από την οποία θα υπολογίσεις την ταχύτητα ή την επιτάχυνση ενός σημείου, προφανώς θα αντιμετωπίσεις το πρόβλημα με άλλη συλλογιστική, αφού το παραμικρό λάθος σε απομακρύνει από το στόχο σου.
Συνάδελφε Νικό, καλή σου μέρα.
Απαντώντας στο ερώτημά σου θα έλεγα απλά δεν είναι πλήρες.
Άλλη νομίζω θα ήταν η απάντηση αν αυτή η χορδή έπρεπε να τοποθετηθεί (νοητικό πείραμα) στον επιταχυντή LHC όπου για λειτουργήσει πρέπει χιλιάδες σημεία του να συγχρονίζονται μέσα σε διάστημα εκατομμυριοστου του δευτερολέπτου, και άλλη αν ήταν αυτή που χρειάζεται ένας κατασκευαστής μουσικών οργάνων, ακόμη και αν προσπαθούσε να φτιάξει βιολιά sradivarius.
Όταν δημοσιεύτηκαν τα πρώτα αποτελέσματα του COBE του πρώτου διαστημοπλοίου που μέτρησε την ανισοτροπία της μικροκυματικης ακτινοβολίας υποβάθρου, όλοι χαιρετησαν το επίτευγμα και τα αποτελέσματα. Πολύ σημαντικά για την περίσταση.
Όμως αυτοί που "ήξεραν" ξεκίνησαν αμέσως να φτιάχνουν το WMAP που ήταν 45 φορές πιο ευαίσθητο, με 33 φορές μεγαλύτερη γωνιακή αναλυση από το COBE. Αυτά η NASA. Γιατί η ESA ξεκίνησε και έφτιαξε το διαστημόπλοιο Planck με μεγαλύτερη ανάλυση και ευαισθησία από το WMAP και έχοντας 9 κανάλια συχνοτήτων αντί για τα 5 του WMAP.
Ήταν σωστό ή λάθος ή κατασκευή του COBE; Απλά ήταν το καλλίτερο δυνατό τότε. Πιο σημαντικό νομίζω ήταν ότι ξέροντας τα όρια κάθε κατασκευής, οι άνθρωποι που ασχολήθηκαν με το θέμα, προσπάθησαν και βελτίωσαν όργανα μετρήσεις και υπολογισμούς για να έχουν όλο και πιο ακριβή αποτελέσματα.
Η ερώτηση που έκανα, Διονύση και Άρη, ήταν του τύπου των ερωτήσεων που κάνουμε ενώ αναπτύσσουμε ένα επιχείρημα και το επιχείρημα θα αναπτυσσόταν καλύτερα αν οι απαντήσεις ήταν κατηγορηματικές. Βέβαια θα μου πείτε δεν το έθεσα με σαφήνεια. Ας το θέσω με μεγαλύτερη σαφήνεια.
Κατά την δόνηση της χορδής θα εστιάσουμε σε δυο γωνιακά μεγέθη:
Η ερώτηση είναι η εξής: αν και τα δύο αυτά γωνιακά μεγέθη ήταν πολύ μικρά μεν αλλά της ίδιας τάξης μεγέθους θα καταλήγαμε σε ένα έστω και κατά προσέγγιση ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που κατέληξε ο Διονύσης θεωρώντας ότι η απόκλιση της κίνησης του Α από την καθετότητα είναι 0;
Προφανώς για να δωθεί απάντηση πρέπει να γίνουν κάποιοι υπολογισμοί. Ας γίνουν αυτοί οι υπολογισμοί και ας δούμε τι βγάζουν. Δηλαδή:
Έστω ότι το ΑΒ είναι στην αρχή παράλληλο με τον άξονα και σε κάποιο χρόνο μετακινείται στο Α'Β'. Έστω φ η γωνία του ΑΒ και του Α'Β'. Επίσης έστω φ η γωνία του ΑΑ' αλλά και του ΒΒ' από την κάθετο. Το Α'Β' είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του ΑΒ και πόσο;
Καλημέρα Νίκο.
Μάλλον δεν διαβάζεις τα άλλα σχόλια!
Διάβασε τι λέει παραπάνω ο Άρης, για το τι σημαίνει σωστό και λάθος…
Αλλά και στο δικό μου σχόλιο έγραψα:
"Αν ο δικός σου στόχος είναι η εύρεση της ακριβούς σχέσεως από την οποία θα υπολογίσεις την ταχύτητα ή την επιτάχυνση ενός σημείου, προφανώς θα αντιμετωπίσεις το πρόβλημα με άλλη συλλογιστική, αφού το παραμικρό λάθος σε απομακρύνει από το στόχο σου."
Να το πω αλλιώς. Αν νομίζεις ότι πρέπει να γίνει…κάντο!
Διονύση, η απάντηση στο πρόβλημα που έθεσα είναι ότι το Α'Β' είναι μικρότερο του ΑΒ. Τώρα είναι η σειρά σου. Όταν κάποιος βγάζει αποτέλεσμα αντίθετο από το δικό σου τότε, αν το σωστό είναι το δικό σου, πρέπει να βρεις που κάνει το λάθος. Μήπως η απόκλιση από την καθετότητα είναι πολύ μικρότερη από αυτή; μήπως έκανα κάποιο λανθασμένο υπολογισμό;
Καλημέρα Νίκο.
Δεν καταλαβαίνω για ποιο υπολογισμό μιλάς και ποιο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο και πόσο είναι η απόκλιση….
Σε ποια σύγκριση αποτελεσμάτων θα πρέπει να εστιάσω για να υποστηρίξω ή να τροποποιήσω το πρότυπο που έχω δώσει…
Μάλλον εσύ πρέπει να αναδείξεις ποια είναι η διαφορά στην τιμή που προκύπτει, μεταξύ ενός υπολογισμού που κάνεις και του αντίστοιχου υπολογισμού με βάση το πρότυπο και να δούμε μετά αν άξιζε τον κόπο…
Αλλά να πάμε και στην ουσία.
Έστω ότι παίρνοντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, εφαρμόζεις εναλλακτικές ιδέες και υπολογίζεις κάποιο μέγεθος η τιμή του οποίου είναι κατά 10% διαφορετική από αυτή θα που προβλέπει το πρότυπο. Και λοιπόν; Τι σημαίνει αυτό; Θα απορρίψουμε το πρότυπο και θα το αντικαταστήσουμε από τι;
Σε όλο το προηγούμενο διάστημα, προσωπικά χρησιμοποίησα το πρότυπο του εγκάρσιου κύματος σε χορδή για να ερευνήσω τι γίνεται με τις ενέργειες. Μήπως θυμάσαι πόσες αντιρρήσεις είχες και πόσες φορές έψαξες να βρεις "άλλες δυναμικές ενέργειες" για να διαφοροποιηθείς;
Προσωπικά, στο έχω ξαναγράψει, δεν με αφορά αν η ταχύτητα ενός σημείου της χορδής έχει επιτάχυνση και ταχύτητα οι οποίες μπορεί να παρεκκλίνουν κατά 1 μοίρα από την κάθετη. Δεν με αφορά…
Αν εσύ με βάση αυτή την παρέκκλιση, μπορείς να αποδείξεις ότι υπάρχει άλλη δυναμική ενέργεια ή ότι κάθε υλικό σημείο της χορδής εκτελεί ΑΑΤ, κάντο….
Διονύση εγώ έθεσα ένα σαφέστατο πρόβλημα:
Έστω ότι το ΑΒ είναι στην αρχή παράλληλο με τον άξονα και σε κάποιο χρόνο μετακινείται στο Α'Β'. Έστω φ η γωνία του ΑΒ και του Α'Β'. Επίσης έστω φ η γωνία του ΑΑ' αλλά και του ΒΒ' από την κάθετο. Το Α'Β' είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του ΑΒ και πόσο;
Στη επόμενη απάντηση έγραψα:
Διονύση, η απάντηση στο πρόβλημα που έθεσα είναι ότι το Α'Β' είναι μικρότερο του ΑΒ.
Εσύ μου απάντησες:
Δεν καταλαβαίνω για ποιο υπολογισμό μιλάς και ποιο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο και πόσο είναι η απόκλιση….
Αφού δεν κατάλαβες σου απαντώ άμεσα: το Α'Β' που στο δικό σου πρότυπο, με την μηδενική απόκλιση των κινήσεων των σημείων από την καθετότητα είναι >ΑΒ, στους δικούς μου υπολογισμούς, με πολύ μικρή απόκλιση από την καθετότητα, είναι <ΑΒ. Τουλάχιστον ο ένας από τους δυο μας κάνει λάθος. Μήπως εγώ Κύριε; (που έλεγε ο μαθητής του Ιησού στο ανέκδοτο).
Γεια σου και πάλι Νίκο.
Μόλις γύρισα από τη θάλασσα και βρήκα να με περιμένει το νέο σου σχόλιο, το οποίο δεν λαμβάνει καθόλου υπόψη του, όσα σου έγραψα παραπάνω.
Αλήθεια δεν καταλαβαίνω ούτε τι λες, ούτε πού το πας!
Πού είναι αυτό το τμήμα ΑΒ που έχει μειωθεί το μήκος του σε σχέση με το μήκος που είχε, στη διεύθυνση x της χορδής;
Το ψάχνω και δεν βρίσκω τίποτα!!!! Είναι τόσο δύσκολο να βάλεις την απόδειξη, για να μην χαθούμε στη μετάφραση;
Προσπαθώντας να βρω μια απόδειξη που να στηρίζει τα λεγόμενά σου, βρήκα αυτή εδώ.
Νομίζω ότι με βάση αυτή συνεχίζεις τη συζήτηση. Αλλά τι ακριβώς λες; Για να δούμε:
Βγάζεις την εξίσωση
Αντί για την "κλασσική" εξίσωση του κύματος. Στη συνέχεια ορίζεις:
για να καταλήξεις ότι:
Λύνεται η εξίσωση και προσδιορίζεται…
Τόσες μέρες σου λέω κάντο να το δούμε!!!
Το να γράφεις εξισώσεις στον αέρα, δεν μου λέει τίποτα. Σου ζήτησα να μου πεις πόσο σφάλμα γίνεται στο κλασσικό πρότυπο. Το να καταλήγεις σε μια πολύπλοκη άλυτη εξίσωση, εμένα προσωπικά δεν με αγγίζει.
Αλλά επιτέλους διάβασε αυτό που έγραψα παραπάνω. Το τονίζω ξανά μήπως και το διαβάσεις:
Σε όλο το προηγούμενο διάστημα, προσωπικά χρησιμοποίησα το πρότυπο του εγκάρσιου κύματος σε χορδή για να ερευνήσω τι γίνεται με τις ενέργειες. Μήπως θυμάσαι πόσες αντιρρήσεις είχες και πόσες φορές έψαξες να βρεις "άλλες δυναμικές ενέργειες" για να διαφοροποιηθείς;
Προσωπικά, στο έχω ξαναγράψει, δεν με αφορά αν η ταχύτητα ενός σημείου της χορδής έχει επιτάχυνση και ταχύτητα οι οποίες μπορεί να παρεκκλίνουν κατά 1 μοίρα από την κάθετη. Δεν με αφορά…
Αν εσύ με βάση αυτή την παρέκκλιση, μπορείς να αποδείξεις ότι υπάρχει άλλη δυναμική ενέργεια ή ότι κάθε υλικό σημείο της χορδής εκτελεί ΑΑΤ, κάντο….