by 
Μια μικρή σφαίρα Α κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ0 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας, μάζας Μ=2m. Στο σχήμα (σε κάτοψη) βλέπετε τρεις διαφορετικές εκδοχές. Στην (α) η σφαίρα Β είναι ελεύθερη να κινηθεί. Στην (β) η σφαίρα είναι κολλημένη στο άκρο αβαρούς ράβδου μήκους l, στο άλλο άκρο της οποίας έχει προσθεθεί μια άλλη σφαίρα Γ επίσης μάζας Μ και η ταχύτητα υ0 έχει διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Στο (γ) σχήμα ισχύουν τα ίδια, με τη διαφορά ότι η σφαίρα Δ έχει μάζα mΔ= 2Μ=4m.
Για τις ταχύτητες που θα αποκτήσει η σφαίρα Β, αμέσως μετά την κρούση, στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις, ισχύει:
α) υα=υβ=υγ, β) υα > υβ = υγ, γ) υα > υβ > υγ.
Τι λέτε συνάδελφοι;
ΥΓ
Οι σφαίρες να θεωρηθούν υλικά σημεία, αμελητέας ακτίνας.
Καλημέρα σε όλους,
Διονύση κάθε άλλο, προσωπικά … συμπαθώ πολύ τις αβαρείς ράβδους
Να τα πάρουμε όμως με τη σειρά:
1) Για τις περιπτώσεις (β) και (γ) γράφεις ότι «προσοχή όμως, δεν είναι απόδειξη να θεωρήσουμε ότι μια αβαρής ράβδος κλπ.»
Συμφωνώ στο ότι «θέλει προσοχή»!
Θεώρησα δεδομένο (μια και το έχουμε δείξει πολλές φορές παλαιότερα) ότι αν μια λεπτή αβαρής ράβδος δέχεται δυνάμεις σε δύο μόνο σημεία της, τότε μπορεί να αντιδράσει μόνο κατά τον διαμήκη άξονά της.
Θα έπρεπε κανονικά να το αποδείξω, κάτι που γίνεται όμως εύκολα.
Έστω F1, F2 οι μοναδικές δυνάμεις που ασκούνται σε δύο σημεία της. Τότε θα ισχύει,
Διανυσματικά: ΣF = m·α → F1 + F2 = m·α
και επειδή m ≈ 0 → F1 = –F2
Δηλαδή, οι F1, F2 μπορεί να α) είναι συγγραμικές πάνω στο διαμήκη άξονα της ράβδου, ή β) αποτελούν ζεύγος ροπής τ.
Αν όμως αποτελούσαν ζεύγος, τότε από τ = Ιcm·αγων για Ιcm ≈ 0 προκύπτει ότι η ράβδος θα αποκτούσε άπειρη γωνιακή επιτάχυνση, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί εφόσον η ράβδος είναι σε επαφή στα δύο σημεία με σώματα μη μηδενικής μάζας που ασκούν τις δυνάμεις F1, F2 και κινείται μαζί με αυτά.
Επομένως, αν μια λεπτή αβαρής ράβδος αλληλεπιδρά σε δύο μόνο σημεία της με άλλα σώματα τότε οι δύο δυνάμεις που δέχεται (άρα και ασκεί) είναι πάντα αντίθετες και κατά μήκος της ράβδου.
Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, η (μικρή) σφαίρα Β στις περιπτώσεις (β) και (γ) θα μπορούσε να δεχτεί από τη ράβδο μόνο δύναμη κάθετη στην κρουστική δύναμη, κάτι που δεν έχει λόγο να συμβεί, γι’ αυτό η ράβδος δεν ασκεί τελικά καμία δύναμη κατά την κρούση.
(Στη συνέχεια βέβαια η σφαίρα Β αρχίζει να απομακρύνεται από την επάνω, οπότε η ράβδος αρχίζει κι αυτή να αντιδρά ώστε να διατηρήσει το μήκος της).
Συνεχίζω σε λίγο …
2) Σχετικά τώρα με την παραλλαγή που έκανα τοποθετώντας τον δακτύλιο στο πάνω μέρος, αντί της σφαίρας Δ, ας την ονομάσουμε περίπτωση (γ'), η διαφορά που προκύπτει είναι η εξής:
Στην περίπτωση (γ) η (μικρή) σφαίρα Δ που έχεις βάλει μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο, όπως και η σφαίρα Β. Έτσι έχουμε δύο μόνο σημεία αλληλεπίδρασης της ράβδου με άλλα σώματα.
Ο δακτύλιος όμως που έβαλα αντί της μικρής σφαίρας έχει δύο διαφορετικά σημεία σύνδεσης με τη ράβδο, το Δ και το Κ.
(Η σύμπτωση του Κ με το μέσο της ράβδου είναι τυχαία, το διάλεξα έτσι για να είναι εύκολος ο υπολογισμός των ροπών αδράνειας.)
Η αβαρής ράβδος λοιπόν τώρα αλληλεπιδρά σε τρία συνολικά σημεία της (και όχι μόνο δύο) με άλλα σώματα (Δ, Κ και Β), οπότε μπορεί να ασκεί δυνάμεις και εκτός του διαμήκη άξονά της. Αυτή ήταν η διαφορά που ήθελα να αναδείξω.
Πιο συγκεκριμένα, κατά την κρούση, η σφαίρα Β δέχεται από τη ράβδο τη δύναμη F1 (σχήμα), ενώ ο δακτύλιος τις δυνάμεις F2 και F3.
Αν χρησιμοποιήσουμε τους τύπους (
):
υΑ = (j-μ)·υο/(j+μ) , υΒ = 2·j·υο/(j+μ) και υΚ = υcm = 2·υο/(j+μ)
έχουμε (για r = ℓ/4 και Μ = 2,5m)
Ιcm = IK = 2Mr² + 2Mr² + M(2r)² = 8Mr²
IB = 2Mr² + 2M(3r)² = 20Mr²
j = ΙΒ/ΙΚ = 2,5
και
μ = 3Μ/m = 7,5
οπότε:
υΑ = –υο/2 = –0,5·υο , υΒ = +0,5·υο και υcm = +υο/5 = 0,2·υο
Εύκολα προκύπτει ότι το σημείο Δ κινείται τώρα προς τα πίσω (υΔ = –0,1·υο), ενώ το κέντρο Ο του δακτυλίου κινείται προς τα εμπρός.
Και η απόδειξη για την (γ) κρούση, όπως μου την έστειλε ο Κώστας Ψυλάκος
Καλησπέρα Νίκο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γράφεις: «Το γεγονός ότι η συνολική ταχύτητα του σημείου Γ είναι μηδέν δε σημαίνει ότι δεν επηρεάστηκε από την κρούση.»
Και όμως δεν επηρεάστηκε. Οι ταχύτητες υcm και ωR που ΕΜΕΙΣ σχεδιάζουμε για το σημείο Γ, δεν υπάρχουν. Το ότι μετά από ελάχιστο χρόνο το κέντρο της σφαίρας Γ θα έχει ταχύτητα, δεν σημαίνει ότι την απέκτησε στη διάρκεια της κρούσης. Στη διάρκεια της κρούσης δεν ασκήθηκε καμιά δύναμη μέσω της αβαρούς δοκού στη σφαίρα Γ και δεν διαδόθηκε καμιά «πληροφορία».
Καλησπέρα Ιωάννη. Χαίρομαι που οδηγήθηκες στη σωστή λύση, «αποκαλύπτοντας» και το λάθος που εύκολα μπορεί να γίνει.
Οπότε ας αποκαλύψω και το αρχικό μου ερέθισμα.
Ασχολούμενος με την οργάνωση των προσωπικών ιστολογίων, έπεσε το μάτι μου σε μια ανάρτηση, όπου διάβασα, για μια ανάλογη περίπτωση:
(όπου σφαίρα Α, παραπάνω είναι η Β)
Σκέφτηκα ότι στην πρόταση αυτή (αν και σωστή) κρύβεται μεγάλη λακκούβα, που μπορεί κάποιος εύκολα να πέσει. Τι ακριβώς συμβαίνει με τη στροφορμή;
Η αλήθεια είναι αυτή που αναφέρεις παραπάνω Ιωάννη, για χάριν της οποίας μπήκε το θέμα και για το οποίο θα επανέλθω…
ΥΓ
Είδατε στο μενού την νέα επιλογή με τα «Ιστολόγια»; Είναι μια παρέμβαση του Βασίλη Δουκατζή, η οποία κάνει πολύ καλύτερη την πρόσβαση σε αυτά.
Να τον ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή.
3) Πάμε τέλος Διονύση στις περιπτώσεις (β') και (β'').
Η (β'') είναι εύκολη, έχουμε κρούση μεταξύ δύο «σημειακών» μαζών κινούμενης – ακίνητης:
mA = m και mB + mΓ = 2Μ = 4m
οπότε:
υΑ = –3·υο/5 , υΒ = +2·υο/5 (και φυσικά ω = 0)
Στην περίπτωση (β') θα ρισκάρω … ταρζανιά
!!
Έστω φ η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την κάθετη στην ταχύτητα υο της σφαίρας Α.
Επιλέγουμε άξονες x κάθετο στη ράβδο και y κατά μήκος της.
Η υο αναλύεται σε συνιστώσες υο·συνφ, υο·ημφ στους x και y άξονες αντίστοιχα.
Στον x άξονα χρησιμοποιούμε τους … γνωστούς τύπους
:
υΑ = (j-μ)·υο·συνφ/(j+μ) , υΒ = 2·j·υο·συνφ/(j+μ)
με j = 2 και μ = 4, οπότε
υΑx = –υο·συνφ/3 , υΒx = +2·υο·συνφ/3
Στον y άξονα έχουμε την … προηγούμενη περίπτωση (β'')
:
υΑy = –3·υο·ημφ/5 , υΒy = +2·υο·ημφ /5 (και υΓ = υΒy)
Ας ελπίσω ότι κάποιος θα τις … επαληθεύσει
Καλησπέρα Διονύση και σε ευχαριστώ για τις δύο παραπάνω παρεμβάσεις.
Για τις οποίες, δεν έχω να διαφωνήσω σε τίποτα, επί της ουσίας. Θα μπορούσα να πω:
Ναι, σε όλα!
Επί της …διαδικασίας βέβαια έχω άλλη «ιδεολογική άποψη»!!! Προτιμώ αντί να στηρίζομαι σε πορίσματα, να προβάλω τα θεωρήματα!!!
Όπου «πόρισμα» είναι το συμπέρασμα ότι «αν η αβαρής ράβδος συνδέεται με ένα σημείο με κάθε σφαίρα, τότε ασκεί δύναμη μόνο στη διεύθυνσή της», ενώ «θεώρημα» είναι να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα ως κρούση υλικού σημείου με στερεό και να μην ασχοληθούμε με τη ράβδο, εφαρμόζοντας απλά ΑΔΟ, ΑΔΣ και Κινητική ενέργεια.
Το γιατί, ελπίζω να φανεί στα επόμενα…
Και μέχρι να το γράψω, έκανες και 3η …ταρζανιά!
Συμφωνώ κι εγώ σ' αυτό που λες Διονύση, αλλά …
έλα που μ' αρέσουν και τα … μονοπάτια που κόβεις δρόμο
Εσύ Διονύση μου κόβεις δρόμο, κάποιος άλλος με μικρότερη εμπειρία (πολύ περισσότερο ένας μαθητής…) …χάνει το δρόμο
Ας έρθουμε λοιπόν στη στροφορμή και στο απόσπασμα που έβαλα παραπάνω, ασχολούμενοι με την (β) κρούση.
Εφαρμόζουμε ΑΔΣ ως προς το κέντρο της σφαίρας Β.
Το πρώτο που έχουμε να ξεκαθαρίσουμε είναι το αν έχουμε κρούση δύο υλικών σημείων (κρούση της σφαίρας Α με την σφαίρα Β) ή κρούση υλικού σημείου (σφαίρα Α) με το στερεό s που έδωσα παραπάνω (σφαίρες Β και Γ μαζί με τη ράβδο).
Lαρχ=LΒ+LΓ+Lρ → 0=0+ΜΓ∙uΓ+0 → uΓ=0
Αφού η Β σφαίρα θα κινηθεί στη διεύθυνση της αρχικής ταχύτητας υ0 και υποχρεωτικά η Γ, θα πρέπει να κάνει το ίδιο, αφού σε διαφορετική περίπτωση θα μεγαλώσει ή θα μικρύνει το μήκος l της ράβδου.
Έστω τώρα ότι αντιμετωπίζουμε την κρούση σφαίρας με στερεό και εμείς θέλουμε να πάρουμε ΑΔΣ ως προς το κέντρο της σφαίρας Β. Θα έχουμε:
Αν όμως πάρουμε την κρούση (β΄) του σχήματος, τότε
Η ΑΔΣ θα δώσει με τον πρώτο τρόπο:
Lαρχ=LΒ+LΓ+Lρ → 0=0+ΜΓ∙uΓ,1+0 → uΓ,1=0
Όπου uΓ,1=ucm,1-υγρ η ταχύτητα του Γ η κάθετη στην ράβδο. Χάνουμε δηλαδή την συνιστώσα ucm,2 και εύκολα λέμε ότι η Γ σφαίρα μένει ακίνητη, πράγμα που δεν συμβαίνει.
Αν όμως αντιμετωπίσουμε την κρούση ως κρούση μεταξύ σφαίρας και στερεού, τότε δεν πρόκειται να κάνουμε το λάθος, αφού θα γράφαμε:
Αποτέλεσμα που οδηγεί ότι η ταχύτητα της Γ σφαίρας είναι η ucm∙συνφ, όπου φ η γωνία μεταξύ αρχικής ταχύτητας και ράβδου.
Συμπέρασμα;
Νομίζω ότι αν αντιμετωπίσουμε το στερεό (δύο σφαίρες και ράβδο) ως στερεό και όχι ως σύστημα, δεν θα κάνουμε το λάθος…
Μπορούμε να πούμε ότι μετά την ολοκλήρωση της κρούσης η μάζα στο σημείο Β , αλλά και κάθε σημείο της ράβδου θα κάνει κυκλική κινηση με κέντρο το Δ, δηλαδή όλο το σύστημα θα κάνει στροφική περί το Δ;
Η ερώτηση αφορούσε τις αρχικές περιπτώσεις β και γ
Ναι Νίκο.
Τη στιγμή αυτή το στερεό s (που έχω γράψει παραπάνω) έχει στιγμιαίο άξονα περιστροφής τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της σφαίρας Γ ή Δ.
Αλλά δεν θα το συνιστώσα, αφού όπως έγραψα παραπάνω και στο Διονύση, έχω "ιδεολογική διαφωνία"
Ωραία ευχαριστώ Διονύση,
Διονύση επανέρχομαι χωρίς να θέλω να γίνω φορτικός και συγγνώμη αν γίνομαι.
Υπάρχει λοιπόν περίπτωση να σκεφτούμε ότι σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να υπάρχει κεντρομόλος δύναμη, το ρόλο της οποίας παίζει η ακτινική δύναμη του άκρου της ράβδου και έτσι να πούμε " να ο ρόλος της στο φαινόμενο" ;