by 
Μια μικρή σφαίρα Α κινείται (χωρίς να περιστρέφεται) σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ0 και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα Β, ίσης ακτίνας, μάζας Μ=2m. Στο σχήμα (σε κάτοψη) βλέπετε τρεις διαφορετικές εκδοχές. Στην (α) η σφαίρα Β είναι ελεύθερη να κινηθεί. Στην (β) η σφαίρα είναι κολλημένη στο άκρο αβαρούς ράβδου μήκους l, στο άλλο άκρο της οποίας έχει προσθεθεί μια άλλη σφαίρα Γ επίσης μάζας Μ και η ταχύτητα υ0 έχει διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Στο (γ) σχήμα ισχύουν τα ίδια, με τη διαφορά ότι η σφαίρα Δ έχει μάζα mΔ= 2Μ=4m.
Για τις ταχύτητες που θα αποκτήσει η σφαίρα Β, αμέσως μετά την κρούση, στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις, ισχύει:
α) υα=υβ=υγ, β) υα > υβ = υγ, γ) υα > υβ > υγ.
Τι λέτε συνάδελφοι;
ΥΓ
Οι σφαίρες να θεωρηθούν υλικά σημεία, αμελητέας ακτίνας.
Συνεχίζοντας λίγο την ενασχόληση με την κρούση σφαίρας και στερεού, όπου εδώ, το στερεό αποτελείται από σημειακά υλικά σημεία στα άκρα αβαρούς ράβδου.
Kαλησπέρα Διονύση.Λύνονταs το β σχήμα βγάζω ότι η ταχύτητα που θα αποκτήσει η β σφαίρα είναι ίδια με του πρώτου σχήματοs,σαν να μην υπήρχε καθόλου η άλλη μάζα.Συγκεκριμένα βγάζω 2Uo/3
Kαλησπέρα και πάλι.Επανέρχομαι με μια δεύτερη σκέψη.Παίρνονταs την αρχή διατήρησηs τηs στροφορμήs για το σύστημα ωs προs το σημείο σύγκρουσηs βρίσκουμε ότι η σφαίρα που βρίσκετε στη θέση Γ ή στο Δ στο τελευταίο σχήμα δε θα κινηθεί.Άρα ουσιαστικά έχουμε την αρχή διατήρησηs τηs ορμήs και τηs κινητικήs ενέργειαs για το σύστημα των σφαιρών Α και Β.Οπότε σε όλεs τιs περιπτώσειs η σφαίρα Β αποκτά την ίδια ταχύτητα.Μια εξήγηση που μπορώ να δώσω είναι ότι η ράβδοs είναι αβαρήs άρα δέχεται και ασκεί δυνάμειs στη διεύθυνσή τηs.
Καλησπέρα Ιωάννη και σε ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Να το προχωρήσω λίγο. Αν αντί το (β) είχαμε το (β΄)
θα ήταν ίδια η κατάσταση;
Καλησπέρα Διονύση.Δε θα αλλάξει κάτι.Εξακολουθεί η σφαίρα Γ να είναι ακίνητη λόγω διατήρησηs στροφορμήs ωs προs το σημείο σύγκρουσηs.
Kαλησπέρα Διονύση.Στο τελευταίο πλάγιο σχήμα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η ράβδοs δεν ασκεί καθόλου δυνάμειs στα σώματα Β και Γ.
Καλησπέρα
Να πω όπως το σκέφτηκα αρχικά
( σκέφτομαι : Κρούση ελαστική = δεν έχουμε απώλεια Κινητικής ενέργειας = σχετικές ταχύτητες αντίθετες )
Άρα
α) υα = υβ = υγ
Αν άλλαζε η μάζα της σφαίρας Β θα είχαμε διαφοροποίηση ταχυτήτων ( άλλη η θέση και η ταχύτητα του κέντρου μάζας των Α και Β ) αλλά τώρα δεν βλέπω κάποιο λόγο να διαφοροποιηθούν οι ταχύτητες
Υπάρχουν και άλλα επιχειρήματα υπέρ της απάντησης α) … τώρα που το ξανασκέφτομαι
αλλά ας σταματήσω εδώ
Καλησπέρα σε όλους,
Διονύση μας έχεις βάλει για τα καλά στην πρίζα με τις κρούσεις αυτού του είδους
Μερικές σκέψεις κι από μένα:
Οι μικρές σφαίρες που είναι κολλημένες στα άκρα της αβαρούς ράβδου θεωρούνται υλικά σημεία.
Επομένως η όποια αλληλεπίδραση της κάθε μίας από αυτές με τη ράβδο συμβαίνει σε ένα μοναδικό σημείο, το σημείο συγκόλλησης.
Η ράβδος μπορεί επομένως να δέχεται στα άκρα της από τις σφαίρες δύο μοναδικές δυνάμεις και, αφού είναι αβαρής, οι δύο αυτές δυνάμεις θα είναι αντίθετες μεταξύ τους και πάνω στον διαμήκη άξονά της, όπως πολύ σωστά επισημαίνει και ο Γιάννης Τσιφτελής σε προηγούμενο σχόλιό του!
Έτσι η κάθε σφαίρα από τις Β και Γ (ή Δ) μπορεί να δεχτεί κατά την κρούση μόνο δυνάμεις κατα μήκος της ράβδου.
Μα οι κρουστικές δυνάμεις μεταξύ των Α, Β είναι κάθετες στη ράβδο. Η ράβδος επομένως δεν "αντιδρά" στην κρούση.
Ή αλλιώς, η επάνω σφαίρα δεν "παίρνει χαμπάρι" ότι έγινε κρούση, και μπορούμε να την αγνοήσουμε στις περιπτώσεις (β), (γ).
Έτσι, και στις τρεις περιπτώσεις (α), (β), (γ), η σφαίρα Α θα αποκτήσει μετά την κρούση ταχύτητα υΑ = -υo/3,
ενώ η σφαίρα Β (που είναι και το ζητούμενο) αποκτάει ταχύτητα υΒ = 2·υo/3.
Διονύση μπήκα στον πειρασμό να χρησιμοποιήσω και τις σχέσεις με τους λόγους j και μ που είχαν προκύψει στην προηγούμενη ανάρτησή μου (ΕΔΩ):
Για τη σφαίρα Α: υΑ = (j-μ)·υο/(j+μ)
και για τη Β: υΒ = Vcm + ω·d = j·Vcm → υΒ = 2·j·υο/(j+μ)
Ευτυχώς … βγήκε το ίδιο αποτέλεσμα
Στην περίπτωση (α) έχουμε j = 1 και μ = 2,
στη (β) είναι j = 2 και μ = 4,
ενώ στην (γ) είναι j = 3 και μ = 6.
Καλημέρα σε όλους,
Διονύση ελπίζω να μην έχεις αντίρρηση να προσθέσω μια τροποποιημένη εκδοχή της δικής σου περίπτωσης (γ), ώστε να φανεί η διαφορά στο ρόλο της αβαρούς ράβδου.
Στη θέση της μικρής σφαίρας Δ ας τοποθετήσουμε ένα δακτύλιο μάζας mΔ = 2·Μ και ακτίνας r = ℓ/4, τον οποίο συγκολλάμε στην αβαρή ράβδο μήκους ℓ, στα σημεία Δ και Κ, όπως στο σχήμα.
Το Δ είναι το πάνω άκρο της αβαρούς ράβδου και το Κ είναι το μέσο της, το οποίο και συμπίπτει με το κέντρο μάζας του στερεού που δημιουργήσαμε.
Η κάτω (μικρή) σφαίρα Β έχει μάζα mB = M.
Για ευκολία στις πράξεις, ας θεωρήσουμε ότι η κινούμενη σφαίρα Α έχει μάζα mΑ = = m = ⅖·M (ή αλλιώς Μ = 2,5·m).
Η ταχύτητα υο είναι κάθετη στη ράβδο και η κρούση είναι ελαστική.
Ζητούνται οι ταχύτητες των σφαιρών Α και Β μετά την κρούση.
Αν είχαμε απλά ελαστική κρούση μεταξύ της κινούμενης σφαίρας Α και της ακίνητης Β, με σχέση μαζών Μ = 2,5·m, οι ταχύτητες που θα προέκυπταν μετά την κρούση θα ήταν αντίστοιχα:
υΑ = – 3/7·υο και υΒ = + 4/7·υο
Είναι όμως έτσι τα πράγματα;
Καλημέρα συνάδελφοι και φίλοι και καλή βδομάδα.
Μήτσο και Διονύση σας ευχαριστώ για το σχολιασμό, (παρότι Μήτσο δήλωνες ότι δεν θα…το κάνεις
)
Δεν θα πάρω ακόμη θέση, αφού νομίζω ότι αξίζει να ασχοληθούμε λίγο ακόμη…
Ιωάννη, βάζεις δύο διαφορετικά θέματα στις απαντήσεις σου.
1) Δεν ασκούνται δυνάμεις από την αβαρή ράβδο. Αυτό γιατί να το δεχτούμε; Δηλαδή τι είναι η ράβδος; Ένα νήμα; Να θυμίσω εδώ παλιότερη αντίστοιχη ενασχόληση:
Και τελικά η αβαρής ράβδος είναι ένα «ειδικό» νήμα;
η οποία συνδέεται και με δυο άλλες προηγούμενες.
Αλλά για να προχωρήσω λίγο τη σκέψη μας, να δώσω ένα ακόμη σχήμα. Αντί για το (β) είχαμε το (β΄΄).
Θα κινηθεί τώρα μόνο η Β σφαίρα; Θα ασκήσει δύναμη η ράβδος;
2) Η διατήρηση της στροφορμής ως προς οποιοδήποτε σημείο, οπότε και ως προς το κέντρο της Β. Προφανώς η διατήρηση της στροφορμής ισχύει για κάθε σημείο, αλλά θα έλεγα να υπολογίσουμε την στροφορμή ως προς το Β, για την περίπτωση του στερεού (β΄), το οποίο μετά την κρούση έχει αποκτήσει ταχύτητα κέντρου μάζας u και γωνιακή ταχύτητα ω. Ο υπολογισμός θα μπορούσε να γίνει αντιμετωπίζοντάς το ως στερεό και ως σύστημα σωμάτων.
Διονύση το περίμενα να εφαρμόσεις τους γενικούς τύπους που είχες βγάλει στην προηγούμενη ανάρτησή σου, αλλά δεν θα σου δώσει απάντηση για το σχήμα (β΄)!
Όσον αφορά το τελευταίο σου ερώτημα βάζεις σημείο του δακτυλίου στο κέντρο μάζας; Αυτό το ρημάδι αποκτά ταχύτητα, αλλά το αντίστοιχο σημείο του δακτυλίου μένει ακίνητο;
Νομίζω ότι θέλεις να πεις, ότι τα παιχνίδια με τις αβαρείς ράβδους καιρό να τελειώνουν;
Έχουμε κρούση μιας σφαίρας Α με ένα στερεό s και όχι με τη σφαίρα Β. Για την κρούση αυτή έχουμε:
ΑΔΟ: mυ0=mυ1+2Μucm →
υ0=υ1+4ucm (1)
ΑΔΣ ως προς το κέντρο μάζας Κ του στερεού s:
Από τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας:
Αλλά τότε αν μιλάμε τις ταχύτητες των σφαιρών Β και Γ, με βάση το διπλανό σχήμα, θα έχουμε:
Για να δούμε τι βρήκαμε παραπάνω;
-Η ταχύτητα της Β σφαίρας είναι όση και στην (α) κρούση, που ήταν ελεύθερη, ενώ η Γ σφαίρα δεν αποκτά ταχύτητα. (Το ίδιο προκύπτει και για την κρούση (γ), οπότε σωστή είναι η πρώτη επιλογή υα=υβ=υγ)
-Αυτό σημαίνει ότι στη διάρκεια της κρούσης η σφαίρα Β δεν δέχτηκε δύναμη από τη ράβδο.
-Αυτό θα μπορούσαμε να το ερμηνεύσουμε, με τα λόγια του Διονύση παραπάνω:
«οι κρουστικές δυνάμεις μεταξύ των Α, Β είναι κάθετες στη ράβδο. Η ράβδος επομένως δεν “αντιδρά” στην κρούση.
Ή αλλιώς, η επάνω σφαίρα δεν “παίρνει χαμπάρι” ότι έγινε κρούση, και μπορούμε να την αγνοήσουμε στις περιπτώσεις (β), (γ).»
Προσοχή όμως αυτό δεν είναι απόδειξη. Είναι μια εκ των υστέρων ερμηνεία, η οποία χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στη χρήση της.
Στο θέμα θα επανέλθω.
-Θα μπορούσαμε να απαντήσουμε ότι υΓ=0 με βάση τη διατήρηση της στροφορμής ως προς το κέντρο της Β σφαίρας; Δηλαδή η αρχική στροφορμή είναι μηδενική, οπότε και η τελική; Ναι, αλλά η απάντηση δεν είναι τόσο εύκολη και θα χρειαστεί να επανέλθω, αφού προηγείται το μπανάκι στη θάλασσα…
Kαλημέρα Διονύση.Έχειs απόλυτο δίκιο.Στη περίπτωση του σχήματοs β΄ όπου η ταχύτητα U0 δεν είναι κάθετη στην αβαρή ράβδο τα πράγματα είναι διαφορετικά.Η σφαίρα Γ θα αποκτήσει ταχύτητα στη διεύθυνση τηs ράβδου προs τα πάνω ενώ η σφαίρα Β θα έχει ταχύτητα με συνιστώσα τόσο στη διεύθυνση τηs ράβδου ίση με τη ταχύτητα τηs σφαίραs Γ και συνιστώσα κάθετη στη ράβδο.Η διατήρηση τηs στροφορμήs για το σύστημα ωs προs το σημείο σύγκρουσηs μαs εξασφαλίζει ότι η αφαίρα Γ στο σχήμα β΄ δεν θα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.Πράγματι παίρνονταs ΑΔΣ ωs προs το σημείο σύγκρουσηs,ΑΔΟ και διατήρηση τηs μηχανικήs ενέργειαs μπορούμε να βρούμε τη ταχύτητα του κέντρου μάζαs του στερεού και τη γωνιακή του ταχύτητα.Έτσι μπορούμε να βρούμε τιs ταχύτητεs των σφαιρών Β και Γ. Στη περίπτωση αυτή η αβαρήs ράβδοs ασκεί δυνάμειs κατά τη διεύθυνση τηs στιs δυο μάζεs, κάτι που δε κάνει στη πρώτη περίπτωση.
Καλησπέρα. Πολύ ωραία όλα αυτά. Διονύση (Μαρ.) να αφήσω ένα σχόλιο σε κάτι που γράφτηκε. Νομιζω ότι Το γεγονός ότι η συνολική ταχύτητα του σημείου Γ είναι μηδέν δε σημαίνει ότι δεν επηρεάστηκε από την κρούση . Ή κρουστική δύναμη προκαλεί στο στερεό και μεταφορά και περιστροφή, απλά στο Γ η σύνθεση των ταχυτήτων των επιμέρους κινήσεων έδωσε αποτέλεσμα μηδέν. Ή αβαρής Ράβδος ασκεί δυνάμεις στη διεύθυνση της, αλλά πως "μεταφέρθηκε' η πληροφορία της κρούσης που συνέβη στο άκρο Β σε όλα τα σημεία της ράβδου;
Kαλημέρα σε όλουs και καλή βδομάδα να έχουμε.Επανέρχομαι για να εστιάσω στο μεγαλοπρεπέs λάθοs που έκανα χθεs.Eνώ στο πρώτο σχήμα του Διονύση η σφαίρα Γ έχει σύμφωνα με την αρχή τηs επαλληλίαs ταχύτητα κάθετη στη ράβδο, γράφονταs την ΑΔΣ ωs προs το Β 0=0 + 2mUγ + 0 βρίσκω Uγ=0.Στο δεύτερο όμωs σχήμα η συνολική ταχύτητα τηs σφαίραs Γ δεν είναι κάθετη στη ράβδο οπότε η παραπάνω εξίσωση μου λέει ότι η σφαίρα Γ δε θα έχει ταχύτητα κάθετη στη ράβδο.Οπότε αντιμετωπίζονταs το πρόβλημα ωs κρούση στερεού με υλικό σημείο βρίσκουμε ότι η σφαίρα Γ θα έχει ταχύτητα κατά μήκοs τηs ράβδου.