by 
Μεταφέρω παρακάτω τα σχόλια που γράφτηκαν, στην ανάρτηση του Θοδωρή Παπασγουρίδη, πάνω στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση, αφαιρώντας τα από εκεί, αφού δεν συνδέονται με την παρουσίαση.
Το θέμα μπαίνει για συζήτηση στο φόρουμ.
Ας συνεχιστεί η συζήτηση εδώ.
Καλησπέρα.
Για να σε διαφωτίσω Διονύση ως προς το αν ο όρος -bv είναι δύναμη, σου στέλνω την παρακάτω
ανάλυση.
Θρασύβουλε καλησπέρα.
Τα λάθη που με κατηγορείς ότι έκανα ήταν "φραστικές αστοχίες" (πχ έγραψα "συντελεστές" εννοώντας "σταθερές". Μερικές φορές λέω άλλα από αυτά που ήθελα να πω. Αλλά ας μην συνεχίσουμε τις αλληλοκατηγορίες γιατί δεν τελειώνουμε ποτέ. Μόνο θέλω να μου πεις ποιά συνάρτηση θεωρείς σαν λύση της ΔΕ εξαναγκασμένων ταλαντώσεων μηδενικής απόσβεσης για ω=ω0.
Δεν με διαφώτισες Νίκο και πολύ φοβάμαι, ότι κανέναν δεν …φώτισες.
Η διαφορική εξίσωση αναφέρεται στην κίνηση ενός σώματος. Είναι ο 2ος νόμος του Νεύτωνα και συνδέει τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα με την επιτάχυνσή του. Ποιες είναι οι δυνάμεις στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης;
Υπαρκτές δυνάμεις, όχι υποθετικές!
Όχι "σαν να έχω", αλλά δυνάμεις για τις οποίες εφαρμόζω το ρημάδι το F=ma…
Επαναλαμβάνω κάτι που έγραψα παραπάνω, μήπως και διαβαστεί.
Οποιοδήποτε φαινόμενο και αν μελετάμε, δεν μπορούμε να γράψουμε και να λύσουμε μαθηματικές εξισώσεις, αν δεν το απλοποιήσουμε, δεν αφήσουμε στην άκρη δευτερεύοντες παράγοντες και δεν εστιάσουμε στους βασικούς συντελεστές που μας αφορούν.
Το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή, είναι ένα ιδανικό "μοντέλο" χρήσιμο για τη μελέτη ταλαντώσεων, έστω και αν είναι ένα θεωρητικό μαθηματικό κατασκεύασμα που δύσκολα θα το συναντήσουμε μπροστά μας.
Το ίδιο συμβαίνει και για την φθίνουσα ταλάντωση, με την επίδραση δύναμης απόσβεσης της μορφής F=-bυ. Είναι η πλέον ενδιαφέρουσα περίπτωση φθίνουσας (και εξαναγκασμένης) και στην περίπτωση της 2ης, η μαθηματική επεξεργασία της οδηγεί στη διαφορική εξίσωση
(το 2, δεν υπάρχει βασικά, αλλά έστω να αποδεχτώ να γράψουμε F=-2bυ…)
Το αν τώρα θα βρούμε σώμα, όπου να ασκείται μια δύναμη απόσβεσης της παραπάνω μορφής και πόσο ακριβές θα είναι αυτό και αν η απόσβεση είναι της μορφής F=-bυ^2 ή και F=-bυ^1,234… και κατά πόσον απώλειες στο ελατήριο, μπορούμε να τις αντιμετωπίσουμε "ωσάν να ασκείτο" μια επιπλέον δύναμη, δεν μας αφορά ΚΑΘΟΛΟΥ , όταν μελετάμε το αντικείμενο που ονομάζουμε "φθίνουσα ταλάντωση με την επίδραση δύναμης F=-bυ)
ΥΓ
Σε τελευταία ανάλυση πιο εύκολα συναντάμε φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη την τριβή ολίσθησης, παρά την φθίνουσα που μελετάμε. Αλλά αυτό δεν μας κάνει να αφήσουμε την μελέτη της ταλάντωσης με δύναμη της μορφής F=-bυ, γιατί είναι λάθος και πιθανόν μια προσεγγιστική περιγραφή της πραγματικότητας και να ασχοληθούμε με την τριβή ολίσθησης…
Με την ίδια λογική δεν θα αντικαταστήσω το παραπάνω μοντέλο με βρόγχο υστέρησης… και με εξίσωση που προκύπτει από χρήση ενεργειών και όχι από δυνάμεις.
Διονύση είναι απλά τα πράγματα. Η δύναμη του πραγματικού ελατηρίου σπάει σε δύο κομματια. Το ένα είναι η δύναμη του ιδανικού ελατηρίου και το άλλο η υπολειπόμενη δύναμη που είναι κατά προσέγγιση ανάλογη της ταχύτητας (φαντάσου ότι το ελατήριο είναι πλαστικό. Όσο γρηγορότερα το συμπιέζεις, με τόσο μεγαλύτερη δύναμη αντιστέκεται).
Νίκο επικολλώ απόσπασμα από το βιβλίο του Θρασύβουλου που απαντούν ακριβώς ποια θεωρεί ως λύση.
Νίκο είναι όντως απλά τα πράγματα.
Μια συνηθισμένη περίπτωση εξαναγκασμένης φαίνεται στο σχήμα.
Εδώ μόνο μια δύναμη δέχεται το σώμα. Δεν υπάρχει παρά μόνο η δύναμη του ελατηρίου.
Είναι όμως πολύ απλό το να δείξουμε πως αυτή μπορεί να γραφεί ως άθροισμα 3 προσθετέων.
-k.x
A.ημωt όπου η Α έχει διαστάσεις δύναμης και ω η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του χεριού.
-Β.υ το τμήμα της δύναμης που οφείλεται στην υστέρηση του ελατηρίου, ή έστω είναι προσέγγισή της.
Επομένως αντιμετωπίζουμε την περίπτωση αυτήν χρησιμοποιώντας το γενικό μοντέλο.
Το σώμα δηλαδή δέχεται την δύναμη -k.x , μια δύναμη από ένα ρευστό ίση με -b.v και μια περιοδική δύναμη (διαφορετική αυτής του χεριού) ίση με Fo.ημωt.
Λύνοντας την περίπτωση αυτήν έχουμε την λύση και της περίπτωσης της εικόνας.
Σημειώνω πως θα μπορούσε ο όρος -Β.υ να προκύπτει ταυτόχρονα από:
υστέρηση ελατηρίου
αντίσταση ρευστού
ρεύματα Φουκώ
Το άθροισμα όλων αυτών των όρων το γράφουμε -b.v άσχετα αν πρόκειται για τρεις δυνάμεις διαφορετικής φύσης και προέλευσης.
Δηλαδή, όπως η δύναμη του διεγέρτη δεν είναι κατ' ανάγκην προερχόμενη από ένα πυραυλάκι που στερεώσαμε στο σώμα, έτσι και η δύναμη της αντίστασης μπορεί να είναι προϊόν διαφόρων παραγόντων.
Εμείς μελετάμε ένα μοντέλο με αντίσταση -b.v μοναδική και απροσδιόριστης φύσης. Ότι βγάλουμε στο χαρτί το προσαρμόζουμε στην περίπτωση που έχουμε. Μελετώντας φερ' ειπείν την περίπτωση με υστέρηση+Φουκώ+αντίσταση ρευστού υπολογίζουμε το b.
Συνήθως αυτό της υστέρησης είναι το λιγότερο σημαντικό.
Καλησπέρα Γιάννη.
Όταν η ταλάντωση γίνεται στον αέρα, υπάρχουν 2 αποσβέσεις: η αντίσταση του αέρα και αυτή της υστέρησης του ελατηρίου. Αν χρησιμοποιούμε μεγάλα και σκληρά ελατήρια και μεγάλες μάζες, η αντίσταση του αέρα έχει πολύ μικρό αποτέλεσμα. Αν το πείραμα γίνει στο κενό δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα.
Η υστέρηση ουσιαστικά είναι η πλαστικότητα του υλικού. Το ατσάλι έχει πολύ καλή ελαστικότητα, αλλά τελείως ελαστικό σώμα δεν υπάρχει.
Ωραία όλα αυτά, όμως το μοντέλο δεν παύει να είναι χρήσιμο.
Έστω και ως προσέγγιση κάποιου ρεαλιστικού προβλήματος.
Αν η αντίσταση του αέρα είναι σε κάποιο πρόβλημα αμελητέα, θα στήσουμε ένα μοντέλο στο οποίο το b θα καθορίζεται από τον βρόχο υστέρησης. Αν ο βρόχος πολύ απέχει από αυτό που θέλουμε, θα στήσουμε άλλο μοντέλο.
Δεν καταλαβαίνω όμως πως σχετίζονται όλα αυτά με τη συζήτηση.
Όλα ξεκίνησαν, Γιάννη, όταν ο Διονύσης είχε πρόβλημα να κατανοήσει τον τρόπο που υπολόγιζα το ρυθμό απωλειών στην ανάλυσή μου χωρίς κάποια δύναμη απωλειών. Η αλήθεια είναι ότι, όταν έκανα την ανάλυση, δεν με απασχόλησε η ύπαρξη της δύναμης απωλειών. Αλλά, αφού το έθεσε ο Διονύσης, με έβαλε να κάτσω να βρώ σε ποιά δύναμη απωλειών αντιστοιχεί αυτός ο όρος.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Νίκο μας διαβάζουν και είμαστε σε δημόσιο χώρο….
Έγραψες εδώ:
Πέταξες, μια διαφορική, αρνούμενος ότι ο προσθετέος 2bυ είναι η δύναμη απόσβεσης, τόσες μέρες αρνείσαι να αποδεχτείς τι είναι η διαφορική και πώς προκύπτει έτσι από το πουθενά ή τι είναι κάθε όρος και τελικά όταν ο Γιάννης, μετά από πολύ κουβέντα σου γράφει:
"Ωραία όλα αυτά, όμως το μοντέλο δεν παύει να είναι χρήσιμο."
του απαντάς:
"Όλα ξεκίνησαν, Γιάννη, όταν ο Διονύσης είχε πρόβλημα να κατανοήσει τον τρόπο που υπολόγιζα…"!!!
Εννοούσα Διονύση ότι εσύ προτιμάς μια σχολική μέθοδο ενώ εγώ χρησιμοποιώ άλλες μεθόδους.
…άλλες μεθόδους!
Ακριβώς. Εγώ προτιμώ μια διαφορική (δεν ξέρω αν αυτό είναι σχολικό επίπεδο ή απλά το πετάς στα πλαίσια της υποτίμησης του συνομιλητή σου…), όπου να ξέρω τι όρους περιλαμβάνει και τι συμβολίζουν οι όροι αυτοί και συ …άλλες μεθόδους
…..
._
Διονύση πιάσε τη διαφορική, κάνε 10 σελίδες δουλειά μ΄ αυτή, και μετά θα σου ζητήσω ταπεινά συγνώμη.