by 
Δίνεται η πρόταση:
«Αν το βάρος ενός στερεού δεν διέρχεται από τη βάση στήριξης, τότε αυτό ανατρέπεται»
Είναι σωστή ή λάθος η πρόταση αυτή;
Για έλεγχο, ας εξετάσουμε τα δυο στερεά του σχήματος:
Όπου το δεύτερο βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο μικρής κλίσεως θ.
Συμπλήρωμα: Τα σώματα Α και Β φέρονται στις θέσεις που δείχνει το σχήμα και αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν ή να ισορροπήσουν, χωρίς αρχική ταχύτητα.
ΣΥΓΝΩΜΗ, ΛΑΘΟΣ. ΠΟΛΥ ΒΙΑΣΤΙΚΗ Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΜΟΥ.
Καλημέρα Άρη.
Διόρθωσε το σύνδεσμο, αυτός δεν οδηγεί πουθενά.
Καλημέρα σε όλους
Τάσο, Μήτσο, Άρη και Θεοφάνη, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Άρη, άλλαξε το link, για να διαβάσουμε την θέση σου.
Ας διατυπώσω και γω κάποιες σκέψεις.
Μάλλον η εκφώνηση, μπέρδεψε, αφού βλέπω τόσο ο Γιάννης όσο και ο Μήτσος, να επιμένουν σε επιταχυνόμενη κίνηση και να επιμένουν σε δύναμη D' Alembert…
Αναφερόμουν σε αρχικά ακίνητο στερεό. Ένας κύλινδρος αφήνεται στο κεκλιμένη ή ένας πλάγιος κύλινδρος αφήνεται σε οριζόντιο επίπεδο. Τι θα συμβεί;
Συμπληρώνω την εκφώνηση και … επιστρέφω.
Ας διερευνήσουμε τι σημαίνει κάθετη αντίδραση του επιπέδου ή δύναμη στήριξης. Αυτή δεν είναι μία δύναμη, με ένα ορισμένο σημείο εφαρμογής, αλλά η συνισταμένη πολλών παραλλήλων δυνάμεων, που ασκούνται στη βάση στήριξης από το επίπεδο σχήμα (α).
Αλλά αν έχουμε ένα ομογενές στερεό (β), έναν κύλινδρο, ο οποίος ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, τότε από την συνθήκη ισορροπίας ΣτΟ=0, βρίσκουμε ότι ο φορέας της Ν διέρχεται από το κέντρο μάζας Ο, που είναι και το γεωμετρικό κέντρο του κυλίνδρου.
Στο σχήμα (γ) ο κύλινδρος είναι ομογενής, αλλά ασκείται πάνω του και κάποια άλλη κατακόρυφη δύναμη F. Η συνθήκη ισορροπίας επιβάλει ο φορέας της συνισταμένης των παραλλήλων δυνάμεων, η Ν, να μην διέρχεται από το μέσον της βάσης, αλλά να είναι μετατοπισμένη, όπως στο σχήμα, αφού και πάλι θα πρέπει ΣτΟ=0.
Αν τα επίπεδα είναι λεία: το Α θα ανατραπεί γιατί η ροπή της κάθετης αντίδρασης Ν ως προς το κέντρο μάζας του σώματος είναι διάφορη του μηδενός. Η κίνηση που θα κάνει το Α είναι σύνθετη: κατακόρυφη επιταχυνόμενη μη ομαλά κίνηση του κέντρου μάζας και περιστροφική γύρω από αυτό. Μια συνθήκη κινηματική για το σημείο επαφής με το δάπεδο, είναι ότι η συνισταμένη ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι μηδενική.
Επίσης το c.m. του στερεού θα κινηθεί κατακόρυφα γιατί δεν υπάρχει οριζόντια δύναμη για να το κινήσει.
Αν υπάρχει τριβή , σίγουρα ανατρέπεται αριστερά και ενδεχομένως να ολισθήσει. Το c.m. θα κινηθεί κατακόρυφα αλλά και οριζόντια.
Στο Β σώμα: Αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο και εξετάσουμε τις ροπές ως προς το c.m. , η ροπή του βάρους είναι μηδέν αλλά και της κάθετης αντίδρασης Ν που διέρχεται από το c.m.
Αν έχουμε τριβή, και πάλι θα ανατραπεί γύρω από το κάτω άκρο στήριξης γιατί οι ροπές της Ν και της Τ είναι μηδέν,αλλά η ροπή του βάρους είναι διάφορη του μηδενός. Ανάλογα με τα δεδομένα, μπορεί να έχουμε καί ολίσθηση.
Ας έρθουμε τώρα στην τοποθέτηση του σώματος Α στο οριζόντιο επίπεδο.
Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται πάνω του είναι το βάρος και η δύναμη στήριξης Ν. Αν θα ισορροπούσε το σώμα, θα έπρεπε ο φορέας της Ν να μετατοπιζόταν προς τα αριστερά για να περάσει από το κέντρο μάζας Ο, πράγμα που προφανώς δεν μπορεί να συμβεί. Η πιο ακραία θέση είναι να ασκηθεί στο άκρο της ακμής Γ.
Αλλά τότε αν πάρουμε το 2ο νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση, θα έχουμε:
Στ=Ι∙αγων → Ν∙d=Ι∙αγων (1)
Όπου d ο μοχλοβραχίονας της Ν ως προς το κέντρο μάζας Ο. Προφανώς η εξίσωση (1) προβλέπει γωνιακή επιτάχυνση αντιωρολογιακής φοράς και το στερεό αρχίζει να ανατρέπεται.
Αλλά τότε ξανά αρχίζει η ανατροπή και μάλιστα με μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση, αφού τώρα θα έχουμε:
Στ=Ι∙αγων → Ν∙d+Τ∙y =Ι∙αγων (2)
Όπου y ο αντίστοιχος μοχλοβραχίονας της τριβής.
Συμπέρασμα:
Αν αφεθεί ένα στερεό σώμα σε οριζόντιο επίπεδο, όπως το σώμα Α στο σχήμα που δόθηκε, και, το βάρος δεν περνά από τη βάση στήριξης, τότε το στερεό θα ανατραπεί.
ΥΓ
Από κει και πέρα, αν η ασκούμενη τριβή θα είναι στατική (πράγμα που σημαίνει ότι το στερεό θα περιστραφεί ως προς οριζόντιο άξονα που περνά από το Γ) ή θα είναι τριβή ολίσθησης, οπότε η κίνηση θα είναι σύνθετη, είναι θέμα που θα επιλυθεί ανά περίπτωση.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Γράφαμε μαζί και είδα τώρα το σχολιασμό σου.
Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή.
Διονύση καλημέρα. Μία ερώτηση: Γιατί η τριβή είναι δεξιά;
Καλημέρα Νίκο.
Δίκιο έχεις! Το διορθώνω…
2) Αν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ του σώματος και του επιπέδου, τότε εκτός από τις παραπάνω δυνάμεις θα κάνει και την εμφάνισή της δύναμη τριβής, όπως στο σχήμα.
Αλλά τότε ξανά αρχίζει η ανατροπή, αφού το κέντρο μάζας επιταχύνεται στην οριζόντια διεύθυνση εξαιτίας της τριβής, ενώ ταυτόχρονα επιταχύνεται και κατακόρυφα πέφτοντας. Μπορεί να αποδεχτεί ότι για τα μέτρα των ροπών ισχύει τΝ>τΤ και το στερεό επιταχύνεται στροφικά αριστερόστροφα.
Ερχόμαστε στην περίπτωση που ο κύλινδρος αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο.
Οι δυνάμεις είναι αυτές του διπλανού σχήματος.
Το κεκλιμένο επίπεδο «πιέζεται» εξαιτίας της συνιστώσας wy ομοιόμορφα. Έτσι με βάση τα σχήματα (α) και (β) του παραπάνω σχολίου, η κατανομή των δυνάμεων στήριξης είναι ομοιόμορφη και η κάθετη αντίδραση Ν περνά από το κέντρο μάζας Ο (δεχόμαστε ομογενή τον κύλινδρο). Δεν έχουμε μετατόπιση του φορέα της δύναμης στήριξης!
Αλλά τότε δεν ασκείται κάποια ροπή ως προς το κέντρο μάζας και ο κύλινδρος δεν θα αποκτήσει γωνιακή επιτάχυνση και δεν θα ανατραπεί!
Τι θα κάνει ο κύλινδρος; Θα επιταχυνθεί και θα εκτελέσει μεταφορική επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος του επιπέδου.
Τότε η τριβή θα έχει φορά προς τα πάνω (με βάση το προηγούμενο ο κύλινδρος τείνει να κινηθεί προς τα κάτω, οπότε τότε εμφανίζεται η τριβή).
Αλλά η παρουσία της τριβής έχει ως αποτέλεσμα να ασκηθεί ροπή αριστερόστροφη στον κύλινδρο που τείνει να τον ανατρέψει. Για να μην συμβεί αυτό, εμφανίζεται μετατόπιση του φορέα της Ν, όπως στο σχήμα.
Τι θα έχουμε;
Ανάλογα με την κλίση του επιπέδου, το συντελεστή τριβής, αλλά και τα γεωμετρικά στοιχεία του κυλίνδρου, μπορεί:
Α) η τριβή να είναι στατική. Τότε:
i) Αν η ροπή της Ν, η οποία μπορεί να αποκτήσει μέγιστο μέτρο τmax=N∙R, (Η Ν μεταφέρεται και ασκείται στο άκρο μιας ακμής), μπορεί να εξουδετερώσει τη ροπή της στατικής τριβής, τότε ο κύλινδρος ισορροπεί.
Β) Αν η τριβή είναι τριβή ολίσθησης (πράγμα που θα συμβαίνει αν mgημθ>Τορ), τότε θα πρέπει να συγκρίνουμε ξανά τη ροπή της τριβής με την μέγιστη δυνατή ροπή της Ν, ως προς το κέντρο μάζας Ο.
i) Αν για τα μέτρα τους ισχύει τΤ ≤ τΝmαx τότε η Ν δεν φτάνει στην ακμή του κυλίνδρου, οπότε ο φορέας της απέχει απόσταση d<R και ο κύλινδρος εκτελεί επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση κατά μήκος του επιπέδου.
ii) Σε αντίθετη περίπτωση, μαζί με την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και την ολίσθηση θα έχουμε τον κύλινδρο να αποκτά και γωνιακή επιτάχυνση και να ανατρέπεται.
Συμπέρασμα, μετά από όλα αυτά;
Η πρόταση:
«Αν το βάρος ενός στερεού δεν διέρχεται από τη βάση στήριξης, τότε αυτό ανατρέπεται»
είναι λανθασμένη!
Ισχύει στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε οριζόντιο επίπεδο, δεν ισχύει όμως πάντα, αν η στήριξη γίνει σε κεκλιμένο επίπεδο.
https://drive.google.com/open?id=0B9q5QHlS3VgueFBDZEktbkpRRDg
Ας τοποθετήσουμε σε κεκλιμένο λείο επίπεδο πολλά λεπτά και λεία πλακίδια.
Το ένα πλακίδιο είναι πάνω από το άλλο.
Τα πλακίδια θα κινηθούν όλα με την ίδια επιτάχυνση α=g.ημθ. Η στήλη που αποτελούν δεν θα ανατραπεί, διότι όλα τα τμήματά της κινούνται με ίδιες επιταχύνσεις. Αν κολούσαμε τα πλακίδια ώστε να αποτελέσουν ένα στερεό, το κάθε πλακίδιο δεν θα ασκεί δύναμη στο άλλο κατά την διεύθυνση της κίνησής του.
Έτσι ούτε το στερεό που θα προέκυπτε θα ανατρεπόταν.
Καλημέρα
Γιάννη αν και για το λείο επίπεδο συμφωνείτε με τον Διονύση … Ωστόσο τα πράγματα δεν είναι τόσο απλό.
Υπάρχουν στερεά που ανατρέπονται και σε οριζόντιο επίπεδο ( και στοίβες πλακιδίων επίσης ) ….τότε ανατρέπονται και σε κεκλιμένα επίπεδα με μικρές γωνίες που μεγαλώνουν την απόσταση στου φορέα του βάρους έξω από τη βάση.
Ο Διονύσης εξετάζει στο κεκλιμέμενο επίπεδο ΜΟΝΟ στερεά τα οποία δεν ανατρέπονται σε οριζόντιο επιπεδο. Για αυτά και μόνο για αυτά τα στερεά νομίζω πως έχει κάνει πολύ σωστή ανάλυση . Για τα στερεά αυτά λοιπόν στα οποία ο φορέας του βάρους τους διέρχεται από την βάση τους όταν είναι σε οριζόντιο δάπεδο ΙΣΧΫΟΥΝ όλα όσα έγραψε στο τελευταίο σχόλιο ο Διονύσης … καρατσεκαρισμένο και για λείο και για μη λείο !
Για τα άλλα στερεά ( που ανατρέπονται σε οριζόντιο επίπεδο ) είναι ίδια η μεθοδολογία αλλά διαφορετικά τα αποτελέσματα …νομίζω.