Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στον τρόπο που διδάσκουμε διανυσματικά μεγέθη στο μάθημα της Φυσικής; Είναι ξεκάθαρο για το τι μιλάμε και τι εννοούμε; Μήπως οι μαθητές μας βρίσκονται σε σύγχυση και είναι οι τελευταίοι που φταίνε γι΄ αυτό;
Τι ακριβώς γράφουν τα σχολικά βιβλία, τι γράφουν τα περισσότερα φροντιστηριακά και τι διδάσκουμε καθημερινά όλοι μας; Είναι καθαρή η πορεία;
Ένα διάνυσμα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Οι μαθηματικοί όταν αναφέρονται στο μέτρο ενός διανύσματος γράφουν . Στη Φυσική δεν το κάνουμε και φαίνεται να μην το κάνουν και διεθνώς. Θέλετε γιατί είναι πιο δύσκολη η σωστή αναγραφή, θέλετε γιατί δεν πρέπει να τρομάξουμε τα παιδιά, με τους μαθηματικούς συμβολισμούς, πάντως δεν το κάνουμε.
Έτσι μιλάμε για ταχύτητα υ1=2m/s. Και τι είναι αυτό το υ1; Προφανώς το μέτρο της ταχύτητας, αλλά στη συνέχεια, μπορεί να είναι και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας… Και ποια η διαφορά; Ο καθένας ό,τι κατάλαβε…
Η ταχύτητα ενός σώματος έχει μέτρο και κατεύθυνση. Δεν έχει αλγεβρική τιμή, παρά μόνο αν ΕΜΕΙΣ ορίσουμε ένα προσανατολισμένο άξονα, ορίσουμε θετική φορά και αποφασίσουμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές μεγεθών! Μέχρι να γίνουν αυτά, η ταχύτητα έχει μόνο μέτρο (και κατεύθυνση). Το σώμα διανύει 2m σε κάθε s! Αλλά το πώς θα δουλέψουμε, πρέπει να είναι ξεκάθαρο. Θα δουλέψουμε με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές; Αν αυτό δεν το έχουμε καθαρό στο μυαλό μας, θα πέφτουμε συνεχώς σε αντιφάσεις και το κυριότερο, ο μαθητής θα βρίσκεται διαρκώς σε σύγχυση.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα, για να φανεί για ποιο πράγμα μιλάμε.
1) ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υο=4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση α=1m/s2. Να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει το σώμα μέχρι τη στιγμή t1=2s.
Τι είναι αυτό το υο και τι το α; Είναι μέτρα ή αλγεβρικές τιμές; Παλιότερα διδάσκαμε το διάστημα και δουλεύοντας με μέτρα γράφαμε s=υ0t – ½ αt2. Σήμερα διδάσκουμε μετατοπίσεις και το ίδιο το βιβλίο δίνει Δx= υ0∙t – ½ αt2!!! Από πού; Από το πουθενά. Θεωρεί ότι χρησιμοποιεί αλγεβρικές τιμές και υπολογίζει την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης, αλλά το α είναι το μέτρο της επιτάχυνσης…
Αν μιλάγαμε σοβαρά και με συνέπεια θα έπρεπε η εκφώνηση να λέει ότι:
«σώμα κινείται με ταχύτητα 4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση 1m/s2»
Και στη συνέχεια να ορίζαμε την κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα x. Και μετά;
Υπάρχουν δύο διαφορετικά ενδεχόμενα:
-Θεωρούμε υ0=+4m/s και α= – 1m/s2 . Οπότε στη συνέχεια γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= 4∙2+ ½ (-1)∙22=6m
Προσέξτε κάναμε απλά αντικατάσταση στα σύμβολα. Δεν αλλάξαμε την εξίσωση της κίνησης.
– Θεωρούμε υ0=-4m/s και α= + 1m/s2 . Τότε γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= (-4)∙2+ ½ 1∙22= – 6m
Προσέξτε: Και τις δυο φορές γράψαμε την ίδια εξίσωση κίνησης. Δεν μπορεί να αλλάζει η εξίσωση, ανάλογα με τον προσανατολισμό του άξονα.
Αλήθεια θα διδάσκατε συνάδελφοι στην δεύτερη περίπτωση ότι Δx= -υ0t+ ½ αt2; Και αν το διδάσκατε, θα περιμένατε να ανταποκριθούν και οι μαθητές σας;
2) Δύο σώματα κινούνται αντίθετα σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=6m/s, όπως στο σχήμα…
Τι είναι το υ1 και υ2; Είναι τα μέτρα; Θα μπορούσε να το έλεγε: «με ταχύτητες μέτρων υ1=4m/s και υ2=6m/s»
Αλλά αν μιλάμε για την Α΄Λυκείου, (έστω ότι η κίνηση είναι ΕΟΚ), πώς θα κάνει τις μετατροπές ο μαθητής και θα αλλάξει τους συμβολισμούς για να γράψει ότι υ1=+4m/s και υ2=-6m/s, οπότε στη συνέχεια να γράψει:
Δx1=υ1∙t και Δx2=υ2∙t και να συνεχίσει;
Ή πώς θα αποφύγει το λάθος στη Γ΄Λυκείου όταν κάνει αντικατάσταση για την ελαστική κρούση μεταξύ των σφαιρών;
- Θα μπορούσε να μίλαγε η εκφώνηση για κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα δίνοντας και υ1=+4m/s και υ2=-6m/s.
- Θα μπορούσε να μίλαγε για ταχύτητες με μέτρα 4m/s και 6m/s, χωρίς σύμβολα και πρόσημα, τα οποία θα έβαζε ο μαθητής.
Δεν κάνουμε ούτε το ένα ούτε το άλλο. Κάνουμε το χειρότερο.
3) Ας πάμε στις δυνάμεις.
Μας ζητάνε την επιτάχυνση που αποκτά το σώμα (m=2kg) του σχήματος με την επίδραση της δύναμης F=6Ν, όταν αναπτύσσεται και δύναμη τριβής Τ=10Ν.
Ξαναλέω ότι πρέπει να είναι ξεκάθαρο με ποιο τρόπο θα δουλέψουμε, αφού έχουμε «διαχρονικό» πρόβλημα..
Δεν πατάμε σε δυο βάρκες, το αποτέλεσμα είναι γνωστό. Βουλιάζουμε….
-Δουλεύουμε με μέτρα: Μεγαλύτερο μέτρο έχει η τριβή, άρα η συνισταμένη έχει φορά προς τα αριστερά και μέτρο ΣF=T-F=4N και το σώμα αποκτά επιτάχυνση προς τα αριστερά με μέτρο α=ΣF/m=2m/s2. Η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη ….
-Δουλεύουμε αλγεβρικά:
Πρώτα πρέπει να καθορίσουμε θετική φορά. Έστω ότι είναι προς τα δεξιά (φορά της ταχύτητας). Αλλά τότε οι αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων είναι F=+6Ν και Τ=-10Ν.
Γράφουμε το νόμο:
ΣF=mα ⇒ F+T=mα ⇒
α=( F+T)/m= (+6-10)/2 m/s2 =- 2m/s2.
Το αποτέλεσμα μας τα δίνει ΟΛΑ. Μέτρο 2 m/s2 και φορά προς τα αριστερά.
Και οι δυο παραπάνω λύσεις είναι σωστές και συνεπείς. Δεν γράφουμε όμως συνήθως ούτε τη μία, ούτε την άλλη. Γράφουμε μια ερμαφρόδιτη εξίσωση:
F-Τ=mα
Όπου δεν είναι ξεκάθαρο αν δουλεύουμε με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές. Που αυτό το α είναι η επιτάχυνση (για την οποία λέμε ότι έστω ότι είναι θετική), όπου Τ το μέτρο της τριβής, την λύνουμε, βρίσκουμε α=-2m/s2, άρα λέμε η επιτάχυνση έχει αντίθετη φορά από αυτό που υποθέσαμε και όπου… Και αν στο τέλος οι μαθητές χάνονται…. κακό του κεφαλιού τους.
Αλήθεια θα δεχόσαστε συνάδελφοι την μαθηματική εξίσωση
x+2y=20
Όταν δίνεται ότι y=-8, να σας την γράψει ένας μαθητής:
x-2|y|=20
Ακόμα χειρότερα, θα “επιβάλατε” στο μαθητή ότι έτσι πρέπει να το κάνει; Και όμως αυτό κάνουμε στη Φυσική, απλά λίγο χειρότερα.
Δεν γράφουμε ούτε καν F-|Τ|=mα…
4) Ας δούμε την ισορροπία του σώματος με την επίδραση των συγγραμμικών δυνάμεων, όπως στο σχήμα:
Συνήθως δίνεται: Αν F1=20Ν, F2=16Ν και F4=25Ν, πόσο είναι η δύναμη F3;
Τι σημαίνουν τα σύμβολα; Συμβολίζουν μέτρα. Πώς το λύνουμε;
-Δουλεύοντας με τα μέτρα των δυνάμεων, το μέτρο της (συνισταμένης) δύναμης προς τα δεξιά, πρέπει να είναι ίσο με το αντίστοιχο μέτρο της δύναμης προς τα αριστερά, δηλαδή:
F1+F2=F3+F4 → F3=(F1+F2)-F4=11Ν
-Δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές. Για να μπορέσουμε να το κάνουμε ορίζουμε θετική φορά, έστω προς τα δεξιά, Αλλά τότε οι αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων είναι:
F1=+20Ν, F2=+16Ν, F4=-25Ν
Και η συνθήκη ισορροπίας για το σώμα μας δίνει:
F1+F2+F3+F4=0 (σκόπιμα κάνω αντικατάσταση επιτόπου):
+20+16+F3+(-25)=0 → F3=-11Ν.
Πράγμα που σημαίνει ότι η F3 έχει φορά προς την αρνητική κατεύθυνση (που ορίσαμε), δηλαδή προς τα αριστερά..
-Θα μπορούσαμε να ορίσουμε την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική, οπότε θα γράφαμε, ότι οι τιμές των δυνάμεων είναι:
F1=-20Ν, F2=-16Ν, F4=+25Ν
Ενώ από την ισορροπία θα είχαμε:
F1+F2+F3+F4=0 (σκόπιμα κάνω αντικατάσταση επιτόπου):
-20+(-16)+F3+25=0 → F3=+11Ν.
Πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη έχει φορά προς τα αριστερά…
Και εδώ συνήθως δεν κάνουμε, ούτε το ένα ούτε το άλλο, αλλά γράφουμε
F1+F2-F3-F4=0
Συγχέοντας μέτρα και αλγεβρικές τιμές.
Βέβαια αν ήταν πιο προσεκτική η εκφώνηση, δηλώνοντας ότι αυτά είναι τα μέτρα των δυνάμεων, η κατάσταση θα ήταν σαφώς πιο ξεκάθαρη. Μια γραφή όπως:
|F1| =20Ν, |F2| =16Ν, |F4| =25Ν
Δεν θα άφηνε περιθώρια λάθους…
ΥΓ
Δηλαδή Διονύση εσύ γράφεις πάντα F+Τ=mα και όχι F-Τ=mα;
Όχι, ούτε εγώ το έκανα, ούτε το κάνω.
Δεν το έκανα, αφού θα έπρεπε να «συνομιλώ» και να «επικοινωνώ» με τους μαθητές μου.
Δεν το κάνω, αφού θέλω να συνεχίσω να «επικοινωνώ» με συναδέλφους και μαθητές μέσω του δικτύου.
Αλλά εδώ μιλάμε για το σωστό και το λάθος, για το πώς θα ήταν μια συνεπής διδασκαλία, για το ποιος πρέπει να είναι ο στόχος της νέας ενδεχόμενης συγγραφής βιβλίων, που όταν έρθουν στα σχολεία, θα επιτρέψουν και την εφαρμογή της διδακτικής αυτής πορείας.
Καλημέρα,
είμαι και εγώ οπαδός του ΥΓ στο δεύτερο σχόλιό σου, ωστόσο δεν μπορώ διαβάζοντας, παρά να πω ότι έχεις δίκιο.
Οπαδός του ΥΓ έτσι;
Καλημέρα σε όλους. Η θέση μου: Ξεκαθαρίζω στους μαθητές ότι για να μιλάμε για αλγεβρικές τιμές θα πρέπει όλα τα διανύσματα να είναι πάνω σε ευθεία γραμμή. Όπως ακριβώς γράφοντας μια διανυσματική σχέση δεν χρειάζεται να ορίσουμε θετική φορά έτσι και για την αντίστοιχη σχέση αλγεβρικών τιμών, σε επίπεδο συμβόλων, δεν χρειάζεται να έχουμε επιλέξει θετική φορά. Οι δύο σχέσεις (διανυσματική και αλγεβρική) είναι ίδιες εκτός του ότι στη διανυσματική πάνω από τα σύμβολα υπάρχει το γνωστό "βελάκι". Όταν θελήσουμε να κάνουμε αντικατάσταση με αριθμούς θα πρέπει να ορίσουμε θετική φορά οπότε και κάθε μέγεθος στη σχέση μας θα έχει το πρόσημό του. Η χρήση μέτρων απαιτεί εξαρχής (και σε επίπεδο συμβόλων) τον ορισμό θετικής φοράς και πολλές φορές "ακροβασίες" με προεξάρχουσα στην απόδειξη ότι κάνει ΑΑΤ ένα υλικό σημείο όπου πρέπει να θεωρούμε τυχαία θέση προς τα θετικά (τι είδους τυχαία θέση είναι αυτή…). Δυστυχώς δουλεύουμε πολλές φορές με μέτρα…
Γεια σας παιδιά.
Μακάρι να ήταν εύκολο το θέμα αυτό.
Επιλέγοντας μονοδιάστατα προβλήματα το κάνουμε να φαίνεται απλό.
Θα μου επιτρέψει ο Διονύσης (χωρίς να τον ρωτήσω) να χρησιμοποιήσω την ράβδο του ως παράδειγμα.
Εντός ολίγου.
Καλό μεσημέρι συνάδελφοι.
Τάσο, Σταύρο, Νίκο και Γιάννη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γιάννη περιμένω να δω τι θα βάλεις, αλλά να σε προκαταλάβω;
Δεν είπε κανείς ότι το θέμα είναι απλό. Πιθανόν να υπάρχουν διδακτικοί λόγοι που να επιβάλουν τη μια ή άλλη εκδοχή.
Μπορεί να βρούμε και πρόβλημα όπου η χρήση μέτρων, να είναι πολύ πιο βολική από τη χρήση αλγεβρικών τιμών.
Όλα αυτά είναι συζητήσιμα.
Το θέμα είναι να μην μπερδεύουμε το ένα με το άλλο. Άλλο μέτρο και άλλο αλγεβρική τιμή και ο τρόπος δουλειάς μας, δεν μπορεί να καθορίζεται από ένα σύνολο ειδικών "περιορισμών" οι οποίοι θα οδηγήσουν σε λύση…
Ένα καθόλου βολικό παράδειγμα:
Η ράβδος του Διονύση.
Άλλο παράδειγμα:
Ποια είναι η F ώστε να ισορροπούν;
Με γνωστή την καθετότητα των άλλων δύο, την υπολογίζουμε ως -5Ν.
Τι είναι αυτό;
Είναι αλγεβρική τιμή;
Η αλγεβρική τιμή είναι ένας πραγματικός αριθμός, θετικός ή αρνητικός, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με ένα μοναδιαίο διάνυσμα και μας δίνει το εν λόγω διάνυσμα.
Εδώ έχουμε στο ίδιο επίπεδο τρία μοναδιαία διανύσματα;;
Αυτό με διεύθυνση του έχοντος μέτρο 3Ν, το άλλο με διεύθυνση του έχοντος μέτρο 4Ν και ένα τρίτο που έχει διεύθυνση αυτό της F;
Για μέτρο το ξεκινήσαμε και αρνητικό μας έκατσε.
Μην μου πει κάποιος ότι είμαι χαζός που δεν είδα ότι πάει από την άλλη μεριά.
Ίσως τα 4Ν και 3Ν είναι προϊόντα υπολογισμών και η φορά τους δεν είναι φανερή από την αρχή.
Όπως δεν ήταν από την αρχή φανερή η φορά του Τj του προηγουμένου παραδείγματός μου.
Αντιλαμβάνεσθε ότι τα παραδείγματα είναι άπειρα.
Αν μάλιστα επικαλεστούμε τα (μη διανύσματα) ηλεκτρικά ρεύματα κυκλωμάτων, τα παραδείγματα γίνονται “πιο άπειρα”.
Η Φυσική μοιάζει με το μπάσκετ περισσότερο απ' ότι μοιάζουν μ' αυτό τα Μαθηματικά.
Ξεκινάς μπάσιμο αλλά βλέπεις να 'ρχεται ο ψηλός. Αλλάζεις χέρι και κάνεις ραβέρσα ίσως.
Ξεκινάς δηλαδή με μέτρα και αν σου κάτσει τελείωσες. Αν σου βγει κάτι αρνητικό, μιλάς για άλλη φορά.
Δεν ξαναγράφεις την άσκηση.
Αν αυτό θεωρείται "αρκουδιά" , τότε μας μένει μόνο το i , j , k (μοναδιαία διανύσματα) και το στυλ της θεωρητικής Μηχανικής.
Γειά σου Γιάννη.
Για να σε σιγοντάρω, ας σκεφτούμε και παροχές, που δεν γνωρίζουμε αν είναι εισερχόμενες ή εξερχόμενες σε δοχείο.
Σωστά.
Δεν σκέφτηκα τις συμπαθείς αυτές κυρίες, παρά το ότι μου είχε προκύψει (κάτσει) τέτοια περίπτωση σε ανάρτηση με τρία έμβολα και τρεις σωλήνες.
Βέβαια η παροχή (ως ρυθμός μεταβολής) επιδέχεται και αρνητικές τιμές.
Το (ορισθέν στην Β' Λυκείου ως θετικό) φορτίο πυκνωτή σε ηλεκτρική ταλάντωση είναι και αρνητικό, με ότι αυτό σημαίνει.
Κ.λ.π.
Γιάννη και Αποστόλη γεια σας,
Αρκουδιές και ταρζανιές κάνουμε συνέχεια, και εγώ άπειρες φορές, αλλά…όταν λύνω ασκήσεις για μένα. Το θέμα είναι οι μαθητές. πρέπει να υπακούουν σε κανόνες που να μην έχουν σχέση με μία συγκεκριμένη άσκηση αλλά να λύνουν πρόβλημα με γενικό τρόπο.
Γεια σου Νίκο.
Τι θα μπορούσες να πεις στους μαθητές σου για την άσκηση του Διονύση;
Θα τους έλεγες να βάλουν δύο κατευθύνσεις ως θετικές και ….
Τότε όμως θα πρέπει να κάνουν μόνο προσθέσεις. Δηλαδή όχι m.g.συνθ-T = m.ακ αλλά m.g.συνθ+T = m.ακ.
Εκτός αν βάλουν θετική φορά την προς τα πάνω και πουν -m.g.συνθ-T = -m.(-ακ).
Αν κάνουμε αυτό τότε θα τους πούμε ότι αρνητική τιμή σημαίνει αρνητική φορά.
Αν όμως θέλουμε αρνητική τιμή να σημαίνει αντίθετη φορά από την σχεδιασθείσα;
Τι κάνουμε από τα δύο όταν τρέχουν δύο παγοδρόμοι, σπρώχνονται και ο ένας αποκτά ταχύτητα τάδε;
Δεν ζωγραφίζουμε μια αυθαίρετη φορά για τον άλλο και αν προκύψει αρνητική, λέμε ότι κινείται αντίθετα;
Αυτό είναι αλγεβρική τιμή;
Αν ήταν θα λέγαμε ότι κινείται κατά την αρνητική φορά και όχι αντίθετα από την σχεδιασθείσα. Μπορεί να διαφέρουν.
Σε ποιους κανόνες υπακούουν οι μαθητές;
Τι λέμε εδώ;
Δεν γράφουν όλοι F-T = m.α
Υπολογίζουν την Τ.
Στο πρώτο ερώτημα βγαίνει θετική. Θα πουν ότι πάει προς τα δεξιά;
Στο δεύτερο βγαίνει αρνητική. Θα πουν ότι πάει αριστερά;
Έχουμε δύο θετικές φορές, μία για την F και την επιτάχυνση και μία (θετική φορά) για την τριβή;
Αν ναι δεκτόν, αλλά μπερδεύει κάτι τέτοιο λιγότερο τα παιδιά;
Φυσικά υπάρχει και η άλλη λύση. Δεν ζωγραφίζουμε διανύσματα και γράφουμε (θεωρώντας θετική την σημειωθείσα φορά)
F+T = m.α
Τότε παίζουμε με αλγεβρικές τιμές. Αρνητική τιμή σημαίνει αρνητική φορά (προς τα αριστερά).
Συμβουλεύουμε τα παιδιά να δουλεύουν έτσι;