web analytics

Το μέτρο και η αλγεβρική τιμή φυσικού μεγέθους

Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στον τρόπο που διδάσκουμε διανυσματικά μεγέθη στο μάθημα της Φυσικής; Είναι ξεκάθαρο για το τι μιλάμε και τι εννοούμε; Μήπως οι μαθητές μας βρίσκονται σε σύγχυση και είναι οι τελευταίοι που φταίνε γι΄ αυτό;

Τι ακριβώς γράφουν τα σχολικά βιβλία, τι γράφουν τα περισσότερα φροντιστηριακά και τι διδάσκουμε καθημερινά όλοι μας; Είναι καθαρή η πορεία;

Ένα διάνυσμα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Οι μαθηματικοί όταν αναφέρονται στο μέτρο ενός διανύσματος γράφουν  . Στη Φυσική δεν το κάνουμε και φαίνεται να μην το κάνουν και διεθνώς. Θέλετε γιατί είναι πιο δύσκολη η σωστή αναγραφή, θέλετε γιατί δεν πρέπει να τρομάξουμε τα παιδιά, με τους μαθηματικούς συμβολισμούς, πάντως δεν το κάνουμε.

Έτσι μιλάμε για ταχύτητα υ1=2m/s. Και τι είναι αυτό το υ1; Προφανώς το μέτρο της ταχύτητας, αλλά στη συνέχεια, μπορεί να είναι και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας… Και ποια η διαφορά; Ο καθένας ό,τι κατάλαβε…

Η ταχύτητα ενός σώματος έχει μέτρο και κατεύθυνση. Δεν έχει αλγεβρική τιμή, παρά μόνο αν ΕΜΕΙΣ ορίσουμε ένα προσανατολισμένο άξονα, ορίσουμε θετική φορά και αποφασίσουμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές μεγεθών! Μέχρι να γίνουν αυτά, η ταχύτητα έχει μόνο μέτρο (και κατεύθυνση). Το σώμα διανύει 2m σε κάθε s! Αλλά το πώς θα δουλέψουμε, πρέπει να είναι ξεκάθαρο. Θα δουλέψουμε με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές; Αν αυτό δεν το έχουμε καθαρό στο μυαλό μας, θα πέφτουμε συνεχώς σε αντιφάσεις και το κυριότερο, ο μαθητής θα βρίσκεται διαρκώς σε σύγχυση.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα, για να φανεί για ποιο πράγμα μιλάμε.

1) ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υο=4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση α=1m/s2. Να βρεθεί η απόσταση που θα  διανύσει το σώμα μέχρι τη στιγμή t1=2s.

Τι είναι αυτό το υο και τι το α; Είναι μέτρα ή αλγεβρικές τιμές; Παλιότερα διδάσκαμε το διάστημα και δουλεύοντας με μέτρα γράφαμε s=υ0t – ½ αt2. Σήμερα διδάσκουμε μετατοπίσεις και το ίδιο το βιβλίο δίνει Δx= υ0∙t – ½ αt2!!! Από πού; Από το πουθενά. Θεωρεί ότι χρησιμοποιεί αλγεβρικές τιμές και υπολογίζει την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης, αλλά το α είναι το μέτρο της επιτάχυνσης…

Αν μιλάγαμε σοβαρά και με συνέπεια θα έπρεπε η εκφώνηση να λέει ότι:

«σώμα κινείται με ταχύτητα 4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση 1m/s2»

Και στη συνέχεια να ορίζαμε την κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα x. Και μετά;

Υπάρχουν δύο διαφορετικά ενδεχόμενα:

-Θεωρούμε υ0=+4m/s και α= – 1m/s2 . Οπότε στη συνέχεια γράφουμε:

Δx= υ0t + ½ αt2= 4∙2+ ½ (-1)∙22=6m

Προσέξτε κάναμε απλά αντικατάσταση στα σύμβολα. Δεν αλλάξαμε την εξίσωση της κίνησης.

– Θεωρούμε υ0=-4m/s και α= + 1m/s2 . Τότε γράφουμε:

Δx= υ0t + ½ αt2= (-4)∙2+ ½ 1∙22= – 6m

Προσέξτε: Και τις δυο φορές γράψαμε την ίδια εξίσωση κίνησης. Δεν μπορεί να αλλάζει η εξίσωση, ανάλογα με τον προσανατολισμό του άξονα.

Αλήθεια θα διδάσκατε συνάδελφοι στην δεύτερη περίπτωση ότι Δx= -υ0t+ ½ αt2; Και αν το διδάσκατε, θα περιμένατε να ανταποκριθούν και οι μαθητές σας;

2) Δύο σώματα κινούνται αντίθετα σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=6m/s, όπως στο σχήμα…

Τι είναι το υ1 και υ2; Είναι τα μέτρα; Θα μπορούσε να το έλεγε: «με ταχύτητες μέτρων υ1=4m/s και υ2=6m/s»

Αλλά αν μιλάμε για την Α΄Λυκείου, (έστω ότι η κίνηση είναι ΕΟΚ), πώς θα κάνει τις μετατροπές ο μαθητής και θα αλλάξει τους συμβολισμούς για να γράψει ότι υ1=+4m/s και υ2=-6m/s, οπότε στη συνέχεια να γράψει:

Δx11∙t   και Δx22∙t  και να συνεχίσει;

Ή πώς θα αποφύγει το λάθος στη Γ΄Λυκείου όταν κάνει αντικατάσταση για την ελαστική κρούση μεταξύ των σφαιρών;

  • Θα μπορούσε να μίλαγε η εκφώνηση για κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα δίνοντας και υ1=+4m/s και υ2=-6m/s.
  • Θα μπορούσε να μίλαγε για ταχύτητες με μέτρα 4m/s και 6m/s, χωρίς σύμβολα και πρόσημα, τα οποία θα έβαζε ο μαθητής.

Δεν κάνουμε ούτε το ένα ούτε το άλλο. Κάνουμε το χειρότερο.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
48 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Τάσος Αθανασιάδης
Αρχισυντάκτης
19/10/2017 9:42 ΠΜ

Καλημέρα,

είμαι και εγώ οπαδός του ΥΓ στο δεύτερο σχόλιό σου, ωστόσο δεν μπορώ διαβάζοντας, παρά να πω ότι έχεις δίκιο.

Οπαδός του ΥΓ έτσι;wink

Σταύρος Πρωτογεράκης

Καλημέρα σε όλους. Η θέση μου: Ξεκαθαρίζω στους μαθητές ότι για να μιλάμε για αλγεβρικές τιμές θα πρέπει όλα τα διανύσματα να είναι πάνω σε ευθεία γραμμή. Όπως ακριβώς γράφοντας μια διανυσματική σχέση δεν χρειάζεται να ορίσουμε θετική φορά έτσι και για την αντίστοιχη σχέση αλγεβρικών τιμών, σε επίπεδο συμβόλων, δεν χρειάζεται να έχουμε επιλέξει θετική φορά. Οι δύο σχέσεις (διανυσματική και αλγεβρική) είναι ίδιες εκτός του ότι στη διανυσματική πάνω από τα σύμβολα υπάρχει το γνωστό "βελάκι". Όταν θελήσουμε να κάνουμε αντικατάσταση με αριθμούς θα πρέπει να ορίσουμε θετική φορά οπότε και κάθε μέγεθος στη σχέση μας θα έχει το πρόσημό του. Η χρήση μέτρων απαιτεί εξαρχής (και σε επίπεδο συμβόλων) τον ορισμό θετικής φοράς και πολλές φορές "ακροβασίες" με προεξάρχουσα στην απόδειξη ότι κάνει ΑΑΤ ένα υλικό σημείο όπου πρέπει να θεωρούμε τυχαία θέση προς τα θετικά (τι είδους τυχαία θέση είναι αυτή…).  Δυστυχώς δουλεύουμε πολλές φορές με μέτρα… 

Νίκος Κορδατζάκης
19/10/2017 1:00 ΜΜ

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γεια σας παιδιά.

Μακάρι να ήταν εύκολο το θέμα αυτό.

Επιλέγοντας μονοδιάστατα προβλήματα το κάνουμε να φαίνεται απλό.

Θα μου επιτρέψει ο Διονύσης (χωρίς να τον ρωτήσω) να χρησιμοποιήσω την ράβδο του ως παράδειγμα.

Εντός ολίγου.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ένα καθόλου βολικό παράδειγμα:

Η ράβδος του Διονύση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Άλλο παράδειγμα:

Ποια είναι η F ώστε να ισορροπούν;

Με γνωστή την καθετότητα των άλλων δύο, την υπολογίζουμε ως -5Ν.

Τι είναι αυτό;

Είναι αλγεβρική τιμή;

Η αλγεβρική τιμή είναι ένας πραγματικός αριθμός, θετικός ή αρνητικός, ο οποίος πολλαπλασιάζεται με ένα μοναδιαίο διάνυσμα και μας δίνει το εν λόγω διάνυσμα.

Εδώ έχουμε στο ίδιο επίπεδο τρία μοναδιαία διανύσματα;;

Αυτό με διεύθυνση του έχοντος μέτρο 3Ν, το άλλο με διεύθυνση του έχοντος μέτρο 4Ν και ένα τρίτο που έχει διεύθυνση αυτό της F;

Για μέτρο το ξεκινήσαμε και αρνητικό μας έκατσε.

Μην μου πει κάποιος ότι είμαι χαζός που δεν είδα ότι πάει από την άλλη μεριά.

Ίσως τα 4Ν και 3Ν είναι προϊόντα υπολογισμών και η φορά τους δεν είναι φανερή από την αρχή.

Όπως δεν ήταν από την αρχή φανερή η φορά του Τj του προηγουμένου παραδείγματός μου.

Αντιλαμβάνεσθε ότι τα παραδείγματα είναι άπειρα.

Αν μάλιστα επικαλεστούμε τα (μη διανύσματα) ηλεκτρικά ρεύματα κυκλωμάτων, τα παραδείγματα γίνονται “πιο άπειρα”.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Η Φυσική μοιάζει με το μπάσκετ περισσότερο απ' ότι μοιάζουν μ' αυτό τα Μαθηματικά.

Ξεκινάς μπάσιμο αλλά βλέπεις να 'ρχεται ο ψηλός. Αλλάζεις χέρι και κάνεις ραβέρσα ίσως.

Ξεκινάς δηλαδή με μέτρα και αν σου κάτσει τελείωσες. Αν σου βγει κάτι αρνητικό, μιλάς για άλλη φορά.

Δεν ξαναγράφεις την άσκηση. 

Αν αυτό θεωρείται "αρκουδιά" , τότε μας μένει μόνο το i , j , k (μοναδιαία διανύσματα) και το στυλ της θεωρητικής Μηχανικής.

Αποστόλης Παπάζογλου
Διαχειριστής

Γειά σου Γιάννη.

Για να σε σιγοντάρω, ας σκεφτούμε και παροχές, που δεν γνωρίζουμε αν είναι εισερχόμενες ή εξερχόμενες σε δοχείο.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Σωστά.

Δεν σκέφτηκα τις συμπαθείς αυτές κυρίες, παρά το ότι μου είχε προκύψει (κάτσει) τέτοια περίπτωση σε ανάρτηση με τρία έμβολα και τρεις σωλήνες.

Βέβαια η παροχή (ως ρυθμός μεταβολής) επιδέχεται και αρνητικές τιμές.

Το (ορισθέν στην Β'  Λυκείου ως θετικό) φορτίο πυκνωτή σε ηλεκτρική ταλάντωση είναι και αρνητικό, με ότι αυτό σημαίνει.

Κ.λ.π.

Νίκος Κορδατζάκης
19/10/2017 3:39 ΜΜ

Γιάννη και Αποστόλη γεια σας,

Αρκουδιές και ταρζανιές κάνουμε συνέχεια, και εγώ άπειρες φορές, αλλά…όταν λύνω ασκήσεις για μένα. Το θέμα είναι οι μαθητές. πρέπει να υπακούουν  σε κανόνες που να μην έχουν σχέση με μία συγκεκριμένη άσκηση αλλά να λύνουν πρόβλημα με γενικό τρόπο.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Νίκος Κορδατζάκης

Γεια σου Νίκο.

Τι θα μπορούσες να πεις στους μαθητές σου για την άσκηση του Διονύση;

Θα τους έλεγες να βάλουν δύο κατευθύνσεις ως θετικές και ….

Τότε όμως θα πρέπει να κάνουν μόνο προσθέσεις. Δηλαδή όχι m.g.συνθ-T = m.ακ αλλά m.g.συνθ+T = m.ακ.

Εκτός αν βάλουν θετική φορά την προς τα πάνω και πουν -m.g.συνθ-T = -m.(-ακ).

Αν κάνουμε αυτό τότε θα τους πούμε ότι αρνητική τιμή σημαίνει αρνητική φορά.

Αν όμως θέλουμε αρνητική τιμή να σημαίνει αντίθετη φορά από την σχεδιασθείσα;

Τι κάνουμε από τα δύο όταν τρέχουν δύο παγοδρόμοι, σπρώχνονται και ο ένας αποκτά ταχύτητα τάδε;

Δεν ζωγραφίζουμε μια αυθαίρετη φορά για τον άλλο και αν προκύψει αρνητική, λέμε ότι κινείται αντίθετα;

Αυτό είναι αλγεβρική τιμή;

Αν ήταν θα λέγαμε ότι κινείται κατά την αρνητική φορά και όχι αντίθετα από την σχεδιασθείσα. Μπορεί να διαφέρουν.

Σε ποιους κανόνες υπακούουν οι μαθητές;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Τι λέμε εδώ;

Δεν γράφουν όλοι F-T = m.α

Υπολογίζουν την Τ.

Στο πρώτο ερώτημα βγαίνει θετική. Θα πουν ότι πάει προς τα δεξιά;

Στο δεύτερο βγαίνει αρνητική. Θα πουν ότι πάει αριστερά;

Έχουμε δύο θετικές φορές, μία για την F και την επιτάχυνση και μία (θετική φορά) για την τριβή;

Αν ναι δεκτόν, αλλά μπερδεύει κάτι τέτοιο λιγότερο τα παιδιά;

Φυσικά υπάρχει και η άλλη λύση. Δεν ζωγραφίζουμε διανύσματα και γράφουμε (θεωρώντας θετική την σημειωθείσα φορά)

F+T = m.α

Τότε παίζουμε με αλγεβρικές τιμές. Αρνητική τιμή σημαίνει αρνητική φορά (προς τα αριστερά).

Συμβουλεύουμε τα παιδιά να δουλεύουν έτσι;