by 
Υπάρχει κάποιο πρόβλημα στον τρόπο που διδάσκουμε διανυσματικά μεγέθη στο μάθημα της Φυσικής; Είναι ξεκάθαρο για το τι μιλάμε και τι εννοούμε; Μήπως οι μαθητές μας βρίσκονται σε σύγχυση και είναι οι τελευταίοι που φταίνε γι΄ αυτό;
Τι ακριβώς γράφουν τα σχολικά βιβλία, τι γράφουν τα περισσότερα φροντιστηριακά και τι διδάσκουμε καθημερινά όλοι μας; Είναι καθαρή η πορεία;
Ένα διάνυσμα έχει μέτρο και κατεύθυνση. Οι μαθηματικοί όταν αναφέρονται στο μέτρο ενός διανύσματος γράφουν 
. Στη Φυσική δεν το κάνουμε και φαίνεται να μην το κάνουν και διεθνώς. Θέλετε γιατί είναι πιο δύσκολη η σωστή αναγραφή, θέλετε γιατί δεν πρέπει να τρομάξουμε τα παιδιά, με τους μαθηματικούς συμβολισμούς, πάντως δεν το κάνουμε.
Έτσι μιλάμε για ταχύτητα υ1=2m/s. Και τι είναι αυτό το υ1; Προφανώς το μέτρο της ταχύτητας, αλλά στη συνέχεια, μπορεί να είναι και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας… Και ποια η διαφορά; Ο καθένας ό,τι κατάλαβε…
Η ταχύτητα ενός σώματος έχει μέτρο και κατεύθυνση. Δεν έχει αλγεβρική τιμή, παρά μόνο αν ΕΜΕΙΣ ορίσουμε ένα προσανατολισμένο άξονα, ορίσουμε θετική φορά και αποφασίσουμε να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές μεγεθών! Μέχρι να γίνουν αυτά, η ταχύτητα έχει μόνο μέτρο (και κατεύθυνση). Το σώμα διανύει 2m σε κάθε s! Αλλά το πώς θα δουλέψουμε, πρέπει να είναι ξεκάθαρο. Θα δουλέψουμε με μέτρα ή με αλγεβρικές τιμές; Αν αυτό δεν το έχουμε καθαρό στο μυαλό μας, θα πέφτουμε συνεχώς σε αντιφάσεις και το κυριότερο, ο μαθητής θα βρίσκεται διαρκώς σε σύγχυση.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα, για να φανεί για ποιο πράγμα μιλάμε.
1) ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υο=4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση α=1m/s2. Να βρεθεί η απόσταση που θα διανύσει το σώμα μέχρι τη στιγμή t1=2s.
Τι είναι αυτό το υο και τι το α; Είναι μέτρα ή αλγεβρικές τιμές; Παλιότερα διδάσκαμε το διάστημα και δουλεύοντας με μέτρα γράφαμε s=υ0t – ½ αt2. Σήμερα διδάσκουμε μετατοπίσεις και το ίδιο το βιβλίο δίνει Δx= υ0∙t – ½ αt2!!! Από πού; Από το πουθενά. Θεωρεί ότι χρησιμοποιεί αλγεβρικές τιμές και υπολογίζει την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης, αλλά το α είναι το μέτρο της επιτάχυνσης…
Αν μιλάγαμε σοβαρά και με συνέπεια θα έπρεπε η εκφώνηση να λέει ότι:
«σώμα κινείται με ταχύτητα 4m/s όταν αποκτά επιβράδυνση 1m/s2»
Και στη συνέχεια να ορίζαμε την κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα x. Και μετά;
Υπάρχουν δύο διαφορετικά ενδεχόμενα:
-Θεωρούμε υ0=+4m/s και α= – 1m/s2 . Οπότε στη συνέχεια γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= 4∙2+ ½ (-1)∙22=6m
Προσέξτε κάναμε απλά αντικατάσταση στα σύμβολα. Δεν αλλάξαμε την εξίσωση της κίνησης.
– Θεωρούμε υ0=-4m/s και α= + 1m/s2 . Τότε γράφουμε:
Δx= υ0t + ½ αt2= (-4)∙2+ ½ 1∙22= – 6m
Προσέξτε: Και τις δυο φορές γράψαμε την ίδια εξίσωση κίνησης. Δεν μπορεί να αλλάζει η εξίσωση, ανάλογα με τον προσανατολισμό του άξονα.
Αλήθεια θα διδάσκατε συνάδελφοι στην δεύτερη περίπτωση ότι Δx= -υ0t+ ½ αt2; Και αν το διδάσκατε, θα περιμένατε να ανταποκριθούν και οι μαθητές σας;
2) Δύο σώματα κινούνται αντίθετα σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητες υ1=4m/s και υ2=6m/s, όπως στο σχήμα…
Τι είναι το υ1 και υ2; Είναι τα μέτρα; Θα μπορούσε να το έλεγε: «με ταχύτητες μέτρων υ1=4m/s και υ2=6m/s»
Αλλά αν μιλάμε για την Α΄Λυκείου, (έστω ότι η κίνηση είναι ΕΟΚ), πώς θα κάνει τις μετατροπές ο μαθητής και θα αλλάξει τους συμβολισμούς για να γράψει ότι υ1=+4m/s και υ2=-6m/s, οπότε στη συνέχεια να γράψει:
Δx1=υ1∙t και Δx2=υ2∙t και να συνεχίσει;
Ή πώς θα αποφύγει το λάθος στη Γ΄Λυκείου όταν κάνει αντικατάσταση για την ελαστική κρούση μεταξύ των σφαιρών;
- Θα μπορούσε να μίλαγε η εκφώνηση για κίνηση κατά μήκος προσανατολισμένου άξονα δίνοντας και υ1=+4m/s και υ2=-6m/s.
- Θα μπορούσε να μίλαγε για ταχύτητες με μέτρα 4m/s και 6m/s, χωρίς σύμβολα και πρόσημα, τα οποία θα έβαζε ο μαθητής.
Δεν κάνουμε ούτε το ένα ούτε το άλλο. Κάνουμε το χειρότερο.
Εάν κάποιος προτείνει να σημειώσουμε την σωστή φορά της τριβής και να δουλέψουμε με αλγεβρικές τιμές, θα εγείρω δύο επιφυλάξεις:
1. Δεν είναι γνωστή από την αρχή.
2. Είναι άλλη στο 1ο και άλλη στο 2ο ερώτημα. Δεν θα κάθομαι να ξαναγράφω (με άλλη φορά) στο δεύτερο ερώτημα ότι έγραψα στο πρώτο.
Θεωρώντας θετική φορά, τη φορά της ταχύτητας ή τη φορά προς την οποία θα γίνει η κίνηση ή προς το κέντρο του κύκλου στην κυκλική…
Γιάννη δυστυχώς πρέπει να βγω εκτός τώρα λόγω υποχρεώσεων, οπότε θα διαβάσω τη συνέχεια της κουβέντας το βράδυ.
Καλή συνέχεια σε όλους
Καλησπέρα Γιάννη, καλησπέρα Αποστόλη (πως λέγεται ο κρατών σιγόντο;).
Γράψατε πολλά, οπότε σε τι να πρώτο –απαντήσω;
«Με κάποιο κόστος φυσικά. Δεν µπορεί να τα θέλεις όλα δικά σου.»
Με αυτό συμφωνώ Γιάννη. Το έχεις γράψεις στο κείμενο. Δεν είναι δικό μου…
Το κόστος που δέχομαι να «πληρώσω» είναι να μην μπει το καλάθι. Δεν παίζω τελικό Ευρωπαϊκού κυπέλου να με ενδιαφέρει η κάθε τσαχπινιά του όποιου Γκάλη… και το τελικό αποτέλεσμα του αγώνα.
Εσύ, σαν καλλιτέχνης του είδους, σου αρέσουν τα «κόλπα» και προωθείς κάθε τσαχπινιά, που κάνει το παιχνίδι ενδιαφέρον. Εμένα με ενδιαφέρουν να αποκτήσουν οι μαθητές σωστές βάσεις και στηριζόμενοι σε αυτές να μπορούν να δουλέψουν και να βάζουν τα «εύκολα καλάθια»…
Να το δούμε συγκεκριμένα στη ράβδο; Το κόστος που δέχομαι να πληρώσουν είναι να κάνουν πρώτα μια διερεύνηση, αν η συνιστώσα του βάρους είναι «ικανή» να κρατήσει τη σφαίρα στην κυκλική τροχιά. Αν όχι με βάση την τιμή της και την τιμή της κεντρομόλου, θα οδηγηθούν στην σωστή εύρεση της κατεύθυνσης της συνιστώσας Τj… Είναι ένα λογικό κόστος, που νομίζω ότι μπορεί να γίνει αποδεκτό, χωρίς να διαλύει τη σκέψη των μαθητών και χωρίς να τους οδηγεί να σχεδιάζουν στην τύχη τις δυνάμεις και να μην καταλαβαίνουν το τι κάνουν… Το πρόβλημα είναι απλά οι προπονητές να το διδάξουν έτσι και όχι αλλιώς και οι μαθητές δεν θα έχουν κανένα πρόβλημα…
Έρχομαι στην ένταση του ρεύματος στο 2ο ΚΚ…
Τι ακριβώς κάνουμε; Συζητάμε για τις αυξήσεις και τις μειώσεις στην τιμή του δυναμικού.
Όπου οι αυξήσεις προκαλούνται από ΗΕΔ και οι μειώσεις από πτώσεις τάσης ΙR. Και αν στην κλειστή διαδρομή θεωρήσω ότι περνώντας από έναν αντιστάτη R1 μειώνεται το δυναμικό, κατά Ι1R1 και επιστρέφοντας στην αρχική μου θέση διαπιστώσω ότι Ι1<0, τι κατάλαβα; Ότι ήταν λάθος μου που νόμισα ότι πήγαινα μαζί με την ένταση, το «ποτάμι ερχόταν ανάποδα»…
Δεν είναι λογικό να πω ότι έχει σχεδιαστεί λάθος η φορά του ρεύματος στον αντιστάτη αυτό R1;
Αυτό τι σχέση έχει με αλγεβρικές τιμές διανυσματικών μεγεθών ή με το αν δουλεύω με μέτρα;
Όσο για το σχήμα με τις τρεις δυνάμεις, τι να πω; Τι έκανε και πώς υπολόγισε την F ο παίκτης; Αν την σχεδίασε έτσι και στη συνέχεια άρχισε τους υπολογισμούς, δεν μου χρειάζεται κανένας υπολογισμός. Αρκεί…
Και μέχρι να το γράψω, πέσανε και 5-6 ακόμη.
Νίκο πήγαινε στη δουλειά γιατί αν κολλήσεις κοντά σε πρώην προπονητές, την πάτησες… μέχρι να τελειώσουν τα σχετικά σχόλια
Οι μαθητές σου θα περιμένουν…
Γιάννη και τα νεώτερα τσαχπινιές είναι. Εντάσσονται στην ίδια λογική με τη ράβδο…
Καλησπέρα Διονύση.
Ένα ένα. Πρώτα:
Όσο για το σχήμα με τις τρεις δυνάμεις, τι να πω; Τι έκανε και πώς υπολόγισε την F ο παίκτης; Αν την σχεδίασε έτσι και στη συνέχεια άρχισε τους υπολογισμούς, δεν μου χρειάζεται κανένας υπολογισμός. Αρκεί…
Έχω πει ότι:
Μην μου πει κάποιος ότι είμαι χαζός που δεν είδα ότι πάει από την άλλη μεριά.
Ίσως τα 4Ν και 3Ν είναι προϊόντα υπολογισμών και η φορά τους δεν είναι φανερή από την αρχή.
Οι δύο δυνάμεις προέκυψαν από υπολογισμούς. Η φορά τους δεν ήταν γνωστή από την αρχή. Στο πρώτο ερώτημα ήταν ανάποδα και στο δεύτερο ανεστράφησαν διότι κάποιες ταχύτητες άλλαξαν, κάποιες κεντρομόλοι άλλαξαν, κάποιες δυνάμεις ράβδων άλλαξαν φορά.
Σ' αυτό που λες για το ρεύμα:
Έχουμε μια γέφυρα Wheatstone. Υπολογίζουμε συναρτήσει των μηκών την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το γαλβανόμετρο.
Όταν ξεκινάμε τη λύση, τι σκεφτόμαστε ότι είναι αυτό που πάμε να υπολογίσουμε;
Όχι διαφορά δυναμικού, όχι ρυθμός μεταβολής, όχι αλγεβρική τιμή κάποιου διανύσματος.
Βγάζουμε ότι για λόγο μηκών 2 το ρεύμα είναι μηδέν, για λόγο μηκών <2 το ρεύμα είναι θετικό και για λόγο μηκών >2 αρνητικό.
Το πρόσημο δεν σημαίνει παρά το ότι η φορά είναι άλλη από την σχεδιασθείσα.
Τι θα κάνω βλέποντας ότι λανθασμένα σχεδιάστηκε στην τρίτη περίπτωση;
Θα ξαναλύσω την άσκηση με το σωστό σχήμα;
Δεν άλλαξε η φύση του μεγέθους "ένταση" ώστε αυτό να καταστεί διανυσματικό ή ρυθμός μεταβολής.
Κάτι ανάλογο έγινε και στον κυλιόμενο κύλινδρο. Στην ίδια άσκηση αλλάζει η θέση του σημείου εφαρμογής.
Η Τ προκύπτει θετική στο πρώτο ερώτημα και αρνητική στο δεύτερο. Είναι αυτό αλγεβρική τιμή;
Αν ναι τότε υπάρχουν δύο θετικές φορές. Της F (και της α) και της Τ.
Όταν ξεκινήσαμε να λύνουμε την άσκηση θεωρήσαμε ότι σε κάθε περίπτωση η τριβή θα είχε τέτοια φορά. Αυτό που γράφουμε ως Τ μέτρο θέλουμε να είναι. Με μέτρο ξεκινάμε. Στο δεύτερο ερώτημα μας βγήκε αρνητική. Τι σημαίνει αυτό;
Λάθος φορά.
Οπότε το δηλώνουμε χωρίς να ξαναλύσουμε την άσκηση. Εκτός αν πούμε:
-Το μέτρο δεν επιτρέπεται να είναι αρνητικό. Η φορά επομένως είναι η άλλη. Θα σημειώσουμε την σωστή φορά και θα ξαναλύσουμε την άσκηση.
Και την ξαναλύνουμε ώστε το μέτρο να βγει θετικό ως οφείλει, κάνοντας τα ίδια (σχεδόν) δύο φορές. Συμβουλεύει κάποιος τους μαθητές του να κάνουν αυτό;
Αν όχι, συμβουλεύει κάποιος τους μαθητές του να σημειώνουν όλες τις δυνάμεις προς τα δεξιά και να λένε F+T=m.α ;
Δεν νομίζω. Όλες οι λύσεις που βλέπω αντιμετωπίζουν ως μέτρα διανυσμάτων τα F και Τ.
Δες την δική σου άσκηση που άρεσε στους μαθητές μου:
Τι είναι τα σύμβολα που γράφεις;
Είναι μέτρα εικάζω, διότι σχεδιάζεις διανύσματα και τα προσθέτεις διότι έχουν ίδια φορά.
Αν ήταν αλγεβρικές τιμές θα όριζες τα i και j , δηλαδή τις θετικές φορές σε κάθε άξονα.
Θα μπορούσε να είχες δώσει και άλλο ερώτημα, με άλλη ταχύτητα (άλλη Fκ, ) οπότε να έβγαινε αρνητική τιμή για το FR.
Θα παρέθετες άλλη λύση, ή θα χρησιμοποιούσες την ίδια σχέση;
Μην χρεωθούν σε μένα τσαχπινιές που όλοι ανεξαιρέτως διαπράττουν.
Αν δεν τις διαπράξουν οι συνάδελφοι θα ταλαιπωρήσουν τους μαθητές τους αντί να τους βοηθήσουν.
Σκέψου να έχουμε δισδιάστατες ασκήσεις κεντρομόλου και να ορίζουμε σε κάθε άξονα θετική φορά.
Και αν το σώμα αλλάζει θέση και προσανατολισμό, να ξαναορίζουμε θετικές φορές στην άλλη θέση, διότι θέλουμε να δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές;
Υπάρχει ισχυρό διδακτικό κριτήριο για το βαθμό αφαίρεσης που οφείλουν να έχουν οι μαθηματικές περιγραφές των φυσικών προβλημάτων;
Τι κρατώ από τα επιχειρήματα που αναπτύχθηκαν στη συζήτηση αλλά και από εκείνες που προηγήθηκαν και την γονιμοποίησαν:
Η αυστηρή μαθηματική περιγραφή των όρων των εξισώσεων που περιγράφουν τη Φύση, διευκολύνει τη συγκροτημένη διαχείριση του φυσικού προβλήματος και η επίλυσή του θα αναδείξει τις ευρύτερες διαστάσεις του ζητήματος. Το διδακτικό όφελος αυτής της διαχείρισης είναι η συνεπής μελέτη που θα αποφεύγει τις ανεπιθύμητες περιπτωσιολογίες.
Από την άλλη, ο υψηλός βαθμός αφαίρεσης, στη φάση του ο αρχάριος δυσκολεύεται να αντιληφθεί την αξία της πνευματικής πειθαρχίας που οφείλει να επιδείξει για να μπορέσει να χειριστεί τον γενικευμένο φορμαλισμό, αποτελεί εμπόδιο στην αντιμετώπιση του προβλήματος που πρέπει να επιλυθεί.
Υπάρχει διδακτικό κριτήριο με το οποίο μπορεί να προκριθεί η ανάγκη για συνεπείς μαθηματικές περιγραφές και πότε οι απλοποιημένες αναπαραστάσεις έχουν διδακτικά τον πρώτο λόγο;
1.Μπορεί ως κριτήριο να θεωρηθεί το μαθηματικό υπόβαθρο των μαθητών;
Π.χ. ο χειρισμός των απόλυτων τιμών των φορτίων που εμπλέκονται στον αριθμητικά διατυπωμένο νόμο του Coulomb φαίνεται να αποτελεί πρόβλημα για το μέσο μαθητή της Γ Γυμνασίου.
Μπορεί όμως να αποτελέσει και αφορμή εξοικείωσης με τον χειρισμό δυνάμεων του 10, αν ο δάσκαλος προβεί σε υπολογισμούς της ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης χρησιμοποιώντας το 1μC όχι ως 10-6C, αλλά με τη δεκαδική αναπαράστασή του (0,000001C).Τότε ο μαθητής αντιλαμβάνεται γιατί αξίζει να εξοικειωθεί με τους κανόνες λογισμού των δυνάμεων. Συνειδητοποιεί τι κερδίζει αν προσπαθήσει με τον “καινούργιο τρόπο”. Το σίγουρο κέρδος είναι πώς δεν αισθάνεται πως αυτοί οι λογαριασμοί αποτελούν μόνο σχολική γνώση άξια μόνο για τις εξετάσεις.
Αυτό το κριτήριο μοιάζει να είναι σχετικό, αφού προϋποθέτει επιπλέον ενδιαφέροντες διδακτικούς στόχους που αφορούν την καλλιέργεια απλών μαθηματικών χειρισμών, στο προνομιακό πεδίο της Φυσικής.
Η σχετικότητα χάνεται στον ισχυρισμό ότι ο νόμος Coulomb αποτελεί πόρισμα των εξισώσεων Maxwell!
Εδώ, ας αναλάβει ο Κυρ – Γιάννης να βγάλει τα κάστανα απ’ τη φωτιά.
2.Μπορεί ως κριτήριο να θεωρηθεί η μαθηματική συνέπεια;
Στο ίδιο παράδειγμα, αν ο μαθητής χειριστεί το νόμο Coulomb με σεβασμό στις αλγεβρικές τιμές των φορτίων, θα πρέπει να αποδώσει νόημα και στις προκύπτουσες αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων. Ως λύση του προβλήματος θα μπορούσε να είναι ένας πρόσθετος κανόνας αλληλεπίδρασης διατυπωμένος επί τούτοις π.χ. ως εξής: θετικό αποτέλεσμα – άπωση, αρνητικό αποτέλεσμα – έλξη. Αυτή η λύση σώζει τη μαθηματική συνέπεια, αλλά δεν θεωρείται συγκροτημένη περιγραφή, αφού πρέπει να συνοδεύεται από διευκρινιστικές “ουρές”.
Αν πάλι επιλεγόταν μια πιο σύνθετη αλγεβρική αναπαράσταση του ίδιου νόμου (με τα μέτρα των φορτίων σε απόλυτες τιμές), θα ξεπερνιόταν τεχνικά το πρόβλημα της ερμηνείας των αρνητικών τιμών για την Fc αλλά θα έπρεπε ο νόμος να συνοδεύεται από τον γνωστό κανόνα (ετερώνυμα έλκονται – ομώνυμα απωθούνται), που όμως δεν προκύπτει απ’ την μαθηματική περιγραφή. Αποδίδεται νόημα στο αποτέλεσμα, δηλαδή υπάρχει συνέπεια, δεν σώζεται όμως η συγκρότηση.
Η περιγραφή που προβλέπει την προσθήκη και του μοναδιαίου διανύσματος μεταξύ των δύο σημειακών φορτίων, επιλύει το πρόβλημα της συγκροτημένης αναπαράστασης. Αποτελεί όμως διδακτική πρόταση για την Β Λυκείου;
Ίσως, αν επιλύει μεγάλο εύρος προβλημάτων, π.χ. περιβάλλοντα με πολλά φορτία όπου δίνονται τιμές ηλεκτροστατικών δυνάμεων και ζητούνται οι πολικότητές τους. Γενικά, λαμβάνοντας υπόψη μέχρι που “απλώνουμε τα στρώματά μας”, όχι.
Και αυτό το κριτήριο είναι σχετικό, αφού συναρτάται από το εύρος των εφαρμογών. Αν όμως οι διευκρινιστικές “ουρές” των μαθηματικών περιγραφών διευκολύνουν την κατανόηση του φυσικού περιβάλλοντος, μάλλον καθίστανται αποδεκτές με απώλεια της συγκρότησης και τη κομψότητας.
3.Μπορεί ως κριτήριο να θεωρηθεί η κατανόηση του φυσικού προβλήματος;
Εκτιμώ ότι οι γενικευμένες μαθηματικές περιγραφές δυσκολεύουν τον αρχάριο να αναγνωρίσει και να χειριστεί τις παραμέτρους που επηρεάζουν ένα φυσικό πρόβλημα, ιδιαιτέρα όταν δεν είναι εξοικειωμένος μ’ αυτό.
Επιμένοντας στην εξίσωση που χρησιμοποιώ ως παράδειγμα, εκτιμώ ότι ο χρόνος που θα αφιερώσει ένας δάσκαλος για να αντιμετωπίσει το αλγεβρικό ή διανυσματικό χαρακτήρα που προκύπτει ή ελλείπει από τη όποια διατύπωση της εξίσωσης Coulomb, θα αποβεί εις βάρος της εξοικείωσης του μαθητή με τον 3ο Νόμο και μιας μη τετριμμένης, ως μη αναλογικής, σχέσης δύναμης και απόστασης. Ως προτεραιότητα επίσης εκτιμώ την, επ’ αφορμή του νόμου, εξοικείωση με αριθμούς που απέχουν τάξεις μεγέθους από αυτούς που είναι εξοικειωμένος να αποδίδει σε φυσικές παραμέτρους.
Δύσκολα βέβαια μπορεί κάποιος να παραβλέψει ότι οι αυστηρές μαθηματικές αναπαραστάσεις θα καθοδηγήσουν προνομιακά σε ορθές λύσεις, όταν τα περιβάλλοντα είναι σύνθετα και δεν συγκροτείται εύκολα η φυσική εικόνα. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις η εικόνα θα αναμείνει την ολοκλήρωσή της μετά τη μαθηματική επίλυση του προβλήματος.
4.Μήπως κριτήριο είναι ο βαθμός πολυπλοκότητας των προς επίλυση προβλημάτων;
Το έχω ήδη υπενηχθεί αναφερόμενος στη διανυσματική αναπαράσταση του νόμου Coulomb, αφού εκτιμώ ότι αυτό το κριτήριο μπορεί οδηγήσει σε καθαρές απαντήσεις.
Αν ένα πρόβλημα περιλαμβάνει πολλά αλληλεπιδρώντα σώματα με βαθμούς ελευθερίας και υπό διερεύνηση ενεργειακές συνθήκες (τριβές, πλαστικές κρούσεις, μη στρωτές ροές), η επίλυσή του απαιτεί γενικευμένες μαθηματικές διατυπώσεις.
Και αυτά τα προβλήματα δεν καθορίζονται μονοδιάστατα “απ’ αυτό που λέμε Φυσική” ούτε από το θεσπισμένο Αναλυτικό Πρόγραμμα, αλλά από εκείνο το άτυπο που είναι εκ των πραγμάτων ανοιχτό αφού προκύπτει από τα αξιολογικά θέματα εξετάσεων “που μετράνε” και έχουν τη μήτρα τους σε όσα συζητούνται μεταξύ ομοτέχνων σε δημόσια φόρα.
Τέλος, κανείς κόουτς της Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών δεν θα τολμήσει να βγάλει έξω τον Κυρ-Γιάννη όταν αλλάξει χέρι στην μπάλα και κάνει ραβέρσα, ακόμα και χωρίς ψηλό αντίπαλο
έτσι, για τη χαρά του παιχνιδιού.
Καλημέρα Γιώργο και σε ευχαριστώ γα το σχολιασμό.
Δεν έχω να διαφωνήσω σε κάτι επί της ουσίας. Απλά επειδή τώρα βλέπω και τις χθεσινοβραδνές παρεμβάσεις του Γιάννη, θα χρειαστεί ίσως μια ξανά-συνολική τοποθέτηση…
Λοιπόν συνάδελφοι.
Στο παραπάνω κείμενο, έχω δώσει λύσεις – απαντήσεις και με τη χρήση μέτρων και με τη χρήση αλγεβρικών τιμών. Το είδατε;
Δεν πρότεινα να χρησιμοποιήσουμε ΜΟΝΟ αλγεβρικές τιμές!!!
Για παράδειγμα στο Γυμνάσιο θα πρέπει η όποια μαθηματική επεξεργασία σε όποιο πρόβλημα να στηρίζεται σε μέτρα. Από όποια πλευρά και να το δει κάποιος σε αυτό το συμπέρασμα νομίζω θα καταλήξει (στα μέσα της Β Γυμνασίου διδάσκονται αρνητικούς αριθμούς, που να τους βάλεις και αλγεβρικές τιμές διανυσμάτων…)
Πάμε στο Λύκειο. Γιάννη ξεκίνησα με την κίνηση και ανέφερα προβλήματα που δημιουργεί η «μεσοβέζικη λύση» να χρησιμοποιούμε ταυτόχρονα και κατά περίπτωση, στις ίδιες εξισώσεις μέτρα και αλγεβρικές τιμές. Δεν το σχολίασες.
Συμφωνείς με αυτό που γίνεται; Συμφωνείς με την πρότασή μου;
Πάμε στις δυνάμεις. Για το θέμα με το σώμα:
Όπου η τριβή είναι γνωστή, πρότεινα δύο λύσεις!
Μία με χρήση μέτρων και μία με χρήση αλγεβρικών τιμών. Δεν πήρα καν θέση ποια είναι καλύτερη! Είπα όμως να δηλώσουμε εξαρχής τι είναι αυτό που γράφουμε.
Γράφουμε και συμβολίζουμε μέτρα ή γράφουμε Τ και εννοούμε αλγεβρική τιμή; Η εννοούμε κάθε φορά άλλο πράγμα, ανάλογα τι μας βολεύει και πώς μας συμφέρει να το αποδώσουμε;
Σήμερα κάνουμε το 3ο. Και αυτό, κατά την άποψή μου, κάνει πολύ κακό στη διδασκαλία μας, αφού το τοπίο στο οποίο κινείται ο μαθητής, είναι εντελώς θολό.
Μπορεί να διδαχτεί η χρήση αλγεβρικών τιμών στην Α΄ Λυκείου στο παραπάνω πρόβλημα;
Κατά την άποψή μου, ναι.
Πρέπει να επιβληθεί μια «γραμμή» και να μην γράφει και κατανοεί ο καθένας, ό,τι θέλει; Επίσης ναι.
Μπορεί αυτό να γίνει; Μπορεί!!!
Αν και η χρήση μεταφορών, σε παραπάνω σχόλιο, παρασυρμένος από το Γιάννη και το μπάσκετ, μάλλον δεν απέδωσε, ας κάνω μια προσπάθεια ακόμη.
Αν έχεις ένα φράγμα, το ανοίξεις και ρίξεις το νερό στην πεδιάδα, αυτό θα πλημυρίσει όλα τα χωράφια και θα κινηθεί προς τη θάλασσα, από όλους τους δυνατούς δρόμους. Και αν κάποια στιγμή μια ορισμένη πορεία, αρχίσει να υπερισχύει, θα δημιουργηθεί κοίτη όπου όλο και μεγαλύτερες ποσότητες νερού θα την επιλέγουν. Στο τέλος, μόνο από εκεί θα διοχετεύεται το νερό και θα δημιουργηθεί ένα μόνιμο ποτάμι, που όλοι θα αποδέχονται ως μοναδική λύση…
Αν αφήσουμε χωρίς οδηγίες τους καθηγητές, θα διδάξουν τα πάντα, με όλους τους δυνατούς τρόπους και στη συνέχεια, αν την αντίστοιχη περίοδο, πωλούνται τα βιβλία του Σαββάλα ή του Παναγιωτακόπουλου, θα επικρατήσουν οι αντίστοιχοι τρόποι, που τα βιβλία αυτά θα χρησιμοποιήσουν…
Αν όμως στο σχολικό βιβλίο υπήρχε ένα ερώτημα (Β΄θέμα) όπου έλεγε:
Ένας μαθητής μελετά με χρήση αλγεβρικών τιμών την κίνηση του (παραπάνω κιβωτίου) και εφαρμόζει το 2ο νόμο. Η εξίσωση που γράφει έχει τη μορφή:
i) F-Τ=mα, ii) F+Τ=mα, iii) F-Τ=mυ, iv) F+Τ=mυ
Επιλέξτε το σωστό.
Το θέμα θα είχε λήξει… Θα έληγε δε μιας για πάντα, αν ανάλογο ερώτημα έμπαινε και στις πανελλαδικές εξετάσεις, αντί να έμπαινε καμιά υπερπαραγωγή!
(αυτό ήταν το νόημα της φράσης μου: «….να μπορούν να δουλέψουν και να βάζουν τα «εύκολα καλάθια»…»
Και έρχομαι τώρα Γιάννη στο αντιπαράδειγμά σου με την περιστρεφόμενη ράβδο.
Έγραψα χθες ότι: «Το κόστος που δέχομαι να πληρώσουν είναι να κάνουν πρώτα μια διερεύνηση, αν η συνιστώσα του βάρους είναι «ικανή» να κρατήσει τη σφαίρα στην κυκλική τροχιά. Αν όχι με βάση την τιμή της και την τιμή της κεντρομόλου, θα οδηγηθούν στην σωστή εύρεση της κατεύθυνσης της συνιστώσας Τj…»
Γιατί το αρνείσαι ότι είμαι μια μέθοδος για κάποιον που θέλει να δουλέψει με μέτρα; Μια μέθοδος που οδηγεί σε πλήρη κατανόηση της κατάστασης και που με σίγουρα βήματα οδηγεί και σε λύση. Υπολογίζει τη συνιστώσα του βάρους στη διεύθυνση της ακτίνας, την βρίσκει wR=30Ν, υπολογίζει και την «απαραίτητη» κεντρομόλο Fκ=40Ν και οδηγείται στο συμπέρασμα ότι η σφαίρα δέχεται από τη ράβδο, δύναμη προς το κέντρο με μέτρο 10Ν.
Υπάρχει κάποιο κενό; Υπάρχει κόπος; Υπάρχει δυσκολία;
Αντίθετα αν βρει Fκ=22Ν, συμπεραίνει ότι η δύναμη από την ράβδο έχει μέτρο 8Ν και αντίθετη φορά από την κεντρομόλο…
Να σημειωθεί ότι η ανάλυση της δύναμης από τη ράβδο σε συνιστώσες δεν συνεπάγεται αλγεβρικές τιμές. Δουλεύουμε με τα μέτρα των συνιστωσών.
Μπορεί να επιλυθεί το πρόβλημα αλγεβρικά; Επίσης μπορεί. Δεν καταλαβαίνω γιατί το πρόβλημα «θέλει» εκπτώσεις! Ας το δούμε:
Το ότι αλλάζει προσανατολισμό (στρέφεται) η ράβδος δεν νομίζω ότι μας δημιουργεί κάποιο πρόβλημα και δεν μπορώ να πάρω για μια τυχαία θέση, όπως στο σχήμα το σύστημα αξόνων x,y του σχήματος.
Στη διεύθυνση της ακτίνας ο 2ος νόμος σε αλγεβρική μορφή γράφεται:
wR+FR=mαR
Η παραπάνω εξίσωση, δεν μου λέει ούτε προς τα πού είναι κάθε δύναμη, ούτε την τιμή της. Την έχω δε γράψει, πριν καν ορίσω ποια φορά θεωρώ θετική!
Δύο ενδεχόμενα:
1) Έστω ότι η θετική φορά του άξονα x είναι η προς το κέντρο. Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης είναι … ακ=ω2R, η FR είναι ο άγνωστος (ο x της εξίσωσης, που δεν ξέρω ούτε πρόσημο, ούτε αριθμό…) και με αντικατάσταση παίρνω:
wR+FR=m∙ω2R. → FR =m∙ω2R-wR=…
Αντικαθιστώ τις τιμές και έχω:
α) FR =m∙ω2R-wR=40Ν-30Ν=+10Ν, πράγμα που σημαίνει ότι είναι θετική (έχει φορά προς το κέντρο) και μέτρο 10Ν.
β) FR =m∙ω2R-wR=22Ν-30Ν=-8Ν, άρα συμπεραίνω ότι έχει αντίθετη φορά, δηλαδή προς τα έξω και μέτρο 8Ν.
2) Έστω ότι παίρνω την κατεύθυνση προς το κέντρο αρνητική, γνωρίζοντας και την wx και την κεντρομόλο, ότι κατευθύνονται προς το κέντρο. Γράφω ξανά την ίδια εξίσωση, όπως παραπάνω, δεν αλλάζω κάτι, επιλύω ως προς FR και παίρνω:
FR =m∙ω2R-wR=…
Αντικαθιστώ και:
α) FR=-40Ν-(-30Ν)=-10Ν, πράγμα που σημαίνει ότι έχει μέτρο 10Ν και κατευθύνεται προς την αρνητική κατεύθυνση (άρα προς το κέντρο…)
β) FR =m∙ω2R-wR=-22Ν-(-30Ν)=+8Ν, άρα συμπεραίνω ότι έχει θετική φορά, δηλαδή προς τα έξω και μέτρο 8Ν.
Δεν είναι ξεκάθαρη η κατάσταση; Έκανα κάτι δύσκολο και έξω από τα πλαίσια που διδάσκουμε σήμερα;
Απλά λέμε τα πράγματα με καθαρά λόγια και καθαρό ορίζοντα…
Θα συμφωνήσω απόλυτα με την άποψη του Διονύση. Με αλγεβρικές τιμές στην ακτινική (και στην εφαπτομενική αν χρειάζεται) διεύθυνση η σχέση συμβόλων είναι παντού ίδια. Με χρήση μέτρων αλλάζει από θέση σε θέση. Είναι θέμα "κεντρικής" απόφασης η χρήση της. Ούτε τη θέση γνωρίζαμε (γνώριζα…) κάποτε αλλά μετά το PSSC συνηθίσαμε να τη χρησιμοποιούμε. Θα αναφερθώ και πάλι στην ΑΑΤ: Είναι πλήρης η σύγχυση στη χρήση συμβόλων με τελικό αποτέλεσμα τα παιδιά να βγάζουν με το ζόρι ΣF=-Dx χωρίς να καταλαβαίνουν καν τις ακροβασίες που έκαναν. Βέβαια ακόμη και το διάνυσμα της παραμόρφωσης του ελατηρίου συνήθως στα σχήματα παρουσιάζεται με διπλό βελάκι, δηλαδή ως απόσταση. Με τον χρόνο αυτό θα μπορούσε να αλλάξει αλλά πρέπει όλοι να κινηθούμε προς μία κατεύθυνση.
Καλημέρα παιδιά.
Θα συμφωνήσω με τον Γιώργο πως κάποιες φορές είναι πιο βολικό το να αποφύγουμε μια μαθηματικά συνεπέστερη περιγραφή.
Διονύση πολύ όμορφη είναι η ιδέα σου με την ράβδο και την τιμή της κεντρομόλου. Βρίσκουμε πόση είναι η κεντρομόλος και από την τιμή της συνιστώσας του βάρους καταλαβαίνουμε ποια η φορά της άλλης δύναμης. Την σχεδιάζουμε σωστά και δουλεύουμε με τα μέτρα χωρίς πρόβλημα. Ούτε περισσότερο χρόνο απαιτεί, ούτε δύσκολη είναι. Όμως δεν παύει να είναι εργασία με μέτρα και όχι αλγεβρικές τιμές.
Το ότι είναι όμορφη δεν καθιστά την άλλη (δηλ. αρνητικό αποτέλεσμα σημαίνει άλλη φορά) ούτε λανθασμένη, ούτε "αεροπλανική".
Στο παράδειγμα με την F = -D.x που επικαλείται ο Σταύρος, καταλαβαίνουμε όλοι ότι η χρήση αλγεβρικών τιμών είναι προτιμότερη.
Στην εξαγωγή των εξισώσεων της ελαστικής κρούσης επίσης είναι προτιμότερη η χρήση αλγεβρικών τιμών.
Το ότι πρόκειται για αλγεβρικές τιμές το τονίζουμε. Φαίνεται εξ' άλλου από το ότι όλα τα διανύσματα έχουν στο σχήμα την θετική φορά.
Θα μπορούσαμε ακόμα και να μην σχεδιάσουμε τις μετά ταχύτητες, χωρίς αυτό να είναι καλύτερο.
Σε άλλα προβλήματα δεν είναι. Η ραβέρσα δεν είναι σε κάθε περίπτωση το καλύτερο σουτ. Επιλέγεις ανά περίπτωση.
Καλημέρα Γιάννη.
Δεν υποτίμησα τις αλγεβρικές τιμές!!!
"Το ότι πρόκειται για αλγεβρικές τιμές το τονίζουμε. Φαίνεται εξ' άλλου από το ότι όλα τα διανύσματα έχουν στο σχήμα την θετική φορά."
Αυτό ακριβώς ζήτησα. Να το τονίζουμε και να το εφαρμόζουμε με συνέπεια…