by 
Με αφορμή ένα ερώτημα που μου έθεσε ο συνάδελφος Κωστής από την Κύπρο.
Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l0 και έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Α, ενώ στο άλλο το άκρο έχει προσδεθεί μια σφαίρα. Όταν η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο κατακόρυφο, προκαλεί επιμήκυνση του ελατηρίου κατά y1. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα σε οριζόντιο επίπεδο, οπότε διαγράφει κύκλο κέντρου Ο, ενώ ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη.
- Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
- Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα διαγράφοντας με τον παραπάνω τρόπο κάποια οριζόντια κυκλική τροχιά.
- Ποιο ακριβώς είναι το φυσικό περιεχόμενο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας;
ή
 |
Κυκλική κίνηση και συντονισμός; |
Λες επίσης:
Γιατί να υπάρξει ταλάντωση;
Όταν σε σώμα δεμένο σε ελατήριο ασκήσουμε δύναμη, ταλάντωση θα κάνει εν γένει.
Για να μην κάνει ταλάντωση, θα πρέπει να βρίσκεται σε μια θέση τέτοια ώστε η δύναμη του ελατηρίου να είναι ίση με την δύναμη που ασκείς. Όμως όταν ω>ωο δεν υφίσταται τέτοια θέση. Επομένως δεν μπορεί ο παρατηρητής μας να διαπιστώσει ισορροπία.
Αν ω<ωο υπάρχει θέση ισορροπίας (ως προς τον εν λόγω παρατηρητή) και αυτός θα δει την φυγόκεντρο να προκαλεί ταλάντωση.
Δηλαδή τρεις καταστάσεις υπάρχουν:
Κυκλική κίνηση.
Κίνηση με περιοδικώς αυξομειούμενη ακτίνα
Σπείρα.
Οι δύο πρώτες προϋποθέτουν ω<ωο.
Η τρίτη ω>ωο.
Γιάννη, άφησε το σωλήνα και τη φυγόκεντρο.
Δεν υπάρχουν τίποτα από αυτά.
Επιμηκύνω το ελατήριο, κατά κατάλληλο Δl, το εκτρέπω και στην κατάλληλη γωνία θ και από τη θέση αυτή του δίνω την κατάλληλη ταχύτητα, ώστε να εκτελέσει την (αρχικά προσδιορισμένη και επιδιωκόμενη) κυκλική κίνηση του θέλω. Η γωνιακή ταχύτητα είναι αυτή που υπολόγισα παραπάνω σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
Η σφαίρα γιατί να κάνει ταλάντωση; Δεν θα αρχίσω να ασκώ κάποια δύναμη για να αυξήσω το ω, δεν θα παρέμβω άλλο.
Δεν θα κινηθεί με σταθερό ω, αυτό που υπολόγισα;
Στη συνέχεια μπορώ να την σταματήσω και να την ξαναθέσω σε άλλη τροχιά με μεγαλύτερο ω κ.ο.κ.
Ποια είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορώ να έχω και η σφαίρα να εκτελεί ΟΚΚ; Αυτή υπολόγισα ότι είναι ωο…
Αλλά επειδή έχεις κολλήσει στη φυγόκεντρο και στην παλιά σου ανάρτηση, βάλε αρχικό μήκος ελατηρίου 1,2m και όλα τα άλλα δεδομένα ίδια.
Θα έχεις ταλάντωση; Ή απλά η φυγόκεντρος θα εξουδετερώνει την δύναμη του ελατηρίου για τον στρεφόμενο παρατηρητή;
Αφήνω τον σωλήνα (παρά το ότι είναι κρίμα διότι ξεκαθαρίζει τα πράγματα).
Γράφεις:
Επιμηκύνω το ελατήριο, κατά κατάλληλο Δl, το εκτρέπω και στην κατάλληλη γωνία θ και από τη θέση αυτή του δίνω την κατάλληλη ταχύτητα, ώστε να εκτελέσει την (αρχικά προσδιορισμένη και επιδιωκόμενη) κυκλική κίνηση του θέλω. Η γωνιακή ταχύτητα είναι αυτή που υπολόγισα παραπάνω σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
Αποκλείεται κάτι τέτοιο.
Δες το σχήμα που έστειλα αρχικά. Η φυγόκεντρος δεν μπορεί να εξουδετερωθεί από καμία δύναμη του ελατηρίου.
Δεν υπάρχει τέτοιο Δl , παρά το άπειρο. Ξαναδές:
Μην κοιτάς στο τέλος αυτά με την γωνία. Δες στην αρχή αυτό που λέει ότι Δl-> άπειρο.
Που σημαίνει ότι το σύστημα δεν λύνεται. Δηλαδή δεν θα βρεις Δl τέτοιο ώστε να ικανοποιούνται οι τρεις πρώτες σχέσεις.
Είτε κοντά δοκιμάσεις, είτε στον α του Κενταύρου, δεν θα πετύχεις κύκλο. Όλο σπείρες θα σου κάθονται.
Η γωνία θ είναι κάτι σαν αυτά που κάνουν οι ταχυδακτυλουργοί. Μας αποσπούν την προσοχή από την ουσία του κόλπου.
Έτσι και εδώ το επουσιώδες της γωνίας μας απέσπασε την προσοχή από το ουσιώδες, ότι η δύναμη είναι σε κάθε θέση D.x αντί -D.x όπως θα θέλαμε για να στήσουμε την κυκλική μας κίνηση.
Kαλησπέρα Διονύση και Γιάννη.Έχω κι εγώ προβληματιστεί.Δηλαδή αν υποθέσουμε ότι αυξάνουμε σταδιακά το μήκοs του ελατηρίου, τότε όταν ω=ωο και για γωνία 90 μοιρών αυτό απειρίζεται.Δηλαδή μπορούμε να το παρομοιάσουμε με ένα είδοs ΄΄έκρηξηs'' του συστήματοs?
Παιδιά έκανα μια προσομοίωση της κατάστασης.
Τι βλέπει ο στρεφόμενος παρατηρητής.
Ακτίνα του κύκλου είναι το x.
Αυξήστε κατά το δοκούν το ω^2. Δεν θα βρείτε x.
Αν υπάρχει η παραμικρή αμφιβολία, βάλτε μετρητή του x (της ακτίνας δηλαδή). Θα δείτε πως αυξάνει επ' άπειρον.
Επιστρέφω σε μια ώρα.
Γιάννη, θα ήθελα να μας περιγράψεις τι ακριβώς δείχνει η προσομοίωση, για να δούμε αν περιγράφει το πρόβλημα που έβαλα. Δεν μου μοιάζει…
Ιωάννη σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή. Προφανώς δεν μπορεί να γίνει 90°, αφού δεν θα υπάρχει κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης του ελατηρίου, η οποία να εξουδετερώνει το βάρος.
Ας μιλήσουμε λοιπόν για γωνία ελαφρώς μικρότερη, οπότε βρίσκουμε μια απαραίτητη γωνιακή ταχύτητα που πλησιάζει το ωο…
Καλησπέρα .
Θυμήθηκα πως κάπου είχα δει το περιστρεφόμενο σώμα μέσω ελατηρίου .
Η εκδοχή του θ=π/2… εδώ
Διονύση γράφω βιαστικά διότι φεύγω.
Ο μεταβολέας καθορίζει την φυγόκεντρο, δηλαδή την οριζόντια δύναμη.
Εμείς περιστρεφόμαστε με ω και βλέπουμε το σώμα να παραμένει στο ίδιο επίπεδο.
Όσο αυξάνει η απόσταση αυξάνει η φυγόκεντρος (ω^2.x).
Αυξάνει όμως και η δύναμη του ελατηρίου.
Αν ξεπεράσουμε την ωο δεν θα μπορέσει να σβήσει την θηριώδη φυγόκεντρο και η ακτίνα θα αυξάνει συνεχώς.
Γιατί λες "δεν μου μοιάζει";
Είναι ακριβώς το πρόβλημα που συζητάμε.
Όχι περίπου, ούτε οπτικοποίηση. Ακριβώς αυτό.
Γιάννη, εγώ βγάζω:
Για κάποιο σταθερό ω, ορίζεται μια ορισμένη επιμήκυνση Δl…
Δεν βλέπω ούτε ταλάντωση, ούτε απειρισμούς, παρά μόνο όταν πλησιάζουμε τις 90°…
Ευχαριστώ Παντελή.
Αυτή είναι μια απλούστερη εκδοχή.
Ας περιμένουμε να δούμε αν ο Γιάννης τη θεωρήσει ότι ντε και καλά θα έχουμε απειρισμό, λόγω φυγοκέντρου…
Μα Γιάννη, εγώ δεν είπα να ξεπεράσουμε το ωο!!!
"Αν ξεπεράσουμε την ωο δεν θα μπορέσει να σβήσει την θηριώδη φυγόκεντρο και η ακτίνα θα αυξάνει συνεχώς."
Ποιος είπε κάτι τέτοιο;
Κινούμαστε από μια ελάχιστη τιμή και την αυξάνουμε μέχρι η γωνία να πλησιάσει τις 90°, οπότε το ω πλησιάζει το ωο…
Αυτό συζητάμε.
Διονύση άι εμ μπακ.
Αυξάνοντας την ω όντως η γωνία πλησιάζει τις 90 μοίρες και η ακτίνα αυξάνεται συνεχώς.
Για κάθε τιμή της ω βρίσκεται και γωνία και ακτίνα.
Όμως εμείς βάζουμε ότι ω θέλουμε. Μηχανάκι έχουμε. Βάζουμε ωο και δεν υπάρχει ακτίνα. Φαίνεται και στην απόδειξη.
Τι σημαίνει "δεν υπάρχει ακτίνα" ή "η ακτίνα τείνει στο άπειρο" ή "το Δl τείνει στο άπειρο";
Σημαίνουν απλά ότι η απόσταση από την σταθερή άκρη του ελατηρίου αυξάνεται συνεχώς. Ότι η τροχιά του σώματος είναι σπείρα.
Τι δεν σημαίνει;
Δεν είναι σωστό το να συμπεράνουμε ότι δεν μπορούμε να αυξήσουμε το ω πέραν του ωο.
Μπορούμε να βάλουμε ότι ω θέλουμε.
Το φυσικό νόημα της ωο είναι ότι το σύστημα καταρρέει από εκεί και πάνω. Δηλαδή έχουμε δύο πεδία που ασκούν δυνάμεις αντίθετες.
Το ελατήριο και το πεδίο της φυγοκέντρου. και τα δύο ενισχύονται όσο απομακρυνόμαστε.
Όμως σε κάθε θέση στον χώρο το πεδίο της φυγοκέντρου είναι ισχυρότερο αυτού της δύναμης του ελατηρίου.
Έτσι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας, που θα προσδιόριζε το μέγεθος της ακτίνας.
Η γωνία είναι το παραπλανητικό επουσιώδες τμήμα της άσκησης.
Το ουσιώδες είναι ότι m. ω^2.x>k.Δl σε κάθε θέση.
Έτσι αποκλείεται να προκύψει κεντρομόλος (για κύκλο ακτίνας x) από την συνιστώσα της δύναμης του ελατηρίου.
Η προσομοίωση είναι φοβερά ακριβής.