by 
Με αφορμή ένα ερώτημα που μου έθεσε ο συνάδελφος Κωστής από την Κύπρο.
Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος l0 και έχει προσδεθεί σε σταθερό σημείο Α, ενώ στο άλλο το άκρο έχει προσδεθεί μια σφαίρα. Όταν η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο κατακόρυφο, προκαλεί επιμήκυνση του ελατηρίου κατά y1. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα σε οριζόντιο επίπεδο, οπότε διαγράφει κύκλο κέντρου Ο, ενώ ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη.
- Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
- Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει η σφαίρα διαγράφοντας με τον παραπάνω τρόπο κάποια οριζόντια κυκλική τροχιά.
- Ποιο ακριβώς είναι το φυσικό περιεχόμενο της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας;
ή
 |
Κυκλική κίνηση και συντονισμός; |
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους.
Διαβάζω την εκφώνηση:
Η παραπάνω εκφώνηση δεν με βάζει στη λογική να μελετήσω την επιταχυνόμενη κίνηση μέχρι η σφαίρα να αποκτήσει, σε κάθε περίπτωση, την απαιτούμενη γωνιακή ταχύτητα, για να μπορεί να διαγράφει την οριζόντια κυκλική τροχιά. Ακόμη και την λύση που δόθηκε να διαβάσει κάποιος, δεν ασχολείται με τον τρόπο. Ο μηχανισμός έχει τη δυνατότητα…
Αλλά τότε μια απάντηση όπως:
Δεν μου είναι κατανοητή. Τι σημαίνει ότι “το μήκος του εκρκεμούς απειρίζεται αφού έχει επέλθει συντονισμός και …”. Αλλάζει οπτική γωνία ωσάν να παρακολουθεί τι γίνεται στη διάρκεια κάποιου χρονικού διαστήματος που ο μηχανισμός επιταχύνει τη σφαίρα…Γιατί πρέπει να συνδέεται η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα με όρους που παραπέμπουν σε εξαναγκασμένη ταλάντωση και σε συντονισμό;
Προσωπικά δεν την έκανα (στην πρώτη ερώτηση που μου έγινε), αλλά δεν θα έκανα και σήμερα τη σύνδεση… αφού από τις απαντήσεις σας παιδιά, δεν πείστηκα,,,
Κατέληξα σε αυτή τη σχέση, αν δεν υπάρχει λάθος στις πράξεις, βέβαια δεν έχω ψάξει αν βοηθά:
Υ.Γ. πρέπει να φύγω για μάθημα, οπότε θα δω το ξαναδώ το βράδυ!
Νίκο η σχέση που καταλήγεις είναι ίδια με την σχέση:
που είχα καταλήξει και γω.
Δεν υπάρχει πρόβλημα στις μαθηματικές εξισώσεις και στο αποτέλεσμα.
Στην ερμηνεία υπάρχει…
Εάν έχουμε το στατικό πρόβλημα δεν έχει νόημα να μιλάμε για συντονισμό.
Είναι μια απλή περίπτωση κεντρομόλου (ή φυγοκέντρου).
Ίσως διασκεύασαν το πρόβλημα για να αποφύγουν ταλαντώσεις, αποσβέσεις κ.λ.π. και ανέφεραν τον (ιδιόρρυθμο αυτόν)συντονισμό που έχει σχέση μόνο με την "δυναμική" περίπτωση.
Η εμπλοκή του περίεργου αυτού μηχανισμού, διώχνει κάθε συζήτηση περί συντονισμού.
Ως αστοχία τους το βλέπω.
Διονύση καλησπέρα.
Ναι είναι ίδια η σχέση, απλά δεν είχα κάνει πράξεις στη δική σου για να φανεί ότι είναι ίδιες…Νομίζω ότι από τη σχέση φαίνεται ότι ωmax για κυκλική κίνηση είναι η ωο ( για αυτό άφησα το ωο έξω από το υπόριζο)
Το υπό εξέταση σύστημα είναι συντηρητικό και με συνολική ροπή μηδέν, οπότε πρέπει να διατηρεί τόσο την μηχανική του ενέργεια, όσο και την στροφορμή του. Ο οποιοσδήποτε συντονισμός δεν έχει τα ίδια φυσικά χαρακτηριστικά με τον συντονισμό λόγω εξωτερικής διέγερσης (εξ΄άλλου δεν υπάρχει διεγέρτης) και δεν πρέπει να μεταβάλλει ούτε την ενέργεια ούτε την στροφορμή. Εξαρτάται αποκλειστικά από τις παραμέτρους του συστήματος και τις αρχικές συνθήκες και καλείται παραμετρικός συντονισμός.
Θεώρησα εξαιρετικά ενδιαφέρον το πρόβλημα και τις αναρτήσεις των συναδέλφων, οπότε προσπάθησα να το μελετήσω στο παρακάτω αρχείο.
https://www.dropbox.com/s/7pz1h6zn9outbe1/x.pdf?dl=0
Τελικά φαίνεται ότι παραμετρικός συντονισμός προκύπτει για κάθε τιμή της πολικής γωνίας θ δίνοντας την κατάλληλη στροφορμή άρα και ενέργεια στο υλικό σημείο και ταυτίζοντας την συχνότητα των ταλαντώσεων μικρού πλάτους της πολικής γωνίας με την αντίστοιχη συχνότητα ταλάντωσης μικρού πλάτους της μάζας στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου.
Γνωρίζω ότι αυτή μου η ανάρτηση έρχεται με μία μικρή καθυστέρηση, αλλά ο ελεύθερος χρόνος όλων μας είναι λίγος και το πρόβλημα δύσκολο.
Γεια σου Στάθη.
Μπράβο για την εκτεταμένη μελέτη.
Πριν την διαβάσω προσεκτικά, θα ήθελα να μου διευκρινήσεις ένα σημείο. Γράφεις:
…. διατηρεί τόσο την μηχανική του ενέργεια, όσο και την στροφορμή του.
Ποια στροφορμή εννοείς, διότι δέχεται εξωτερική δύναμη (βάρος) που έχει στροφορμή ως προς το σημείο ανάρτησης.
Έχεις δίκιο. Εννοώ την στροφορμή στον άξονα z (κατακόρυφο).
Στάθη αυτή διατηρείται όταν έχουμε μικρές ταλαντώσεις στην z-διεύθυνση;
Κατανοώ ότι σε κατάσταση ισορροπίας (επίπεδη οριζόντια κυκλική τροχιά) η z στροφορμή διατηρείται.
Διατηρείται όμως στη γενική περίπτωση;
Γιάννη ποια ροπή θα την αλλάξει;
Οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης στις σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτουν ανεξάρτητες της γωνίας φ.
Δεν έχω ακόμα διαβάσει την μελέτη σου. Θα το κάνω σύντομα.
Σου στέλνω την άποψη ενός παρατηρητή που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω.
Ταλάντωση πάνω-κάτω.
Αν δεν υπάρχει αντίσταση αέρα και δεν έχουμε ισορροπία δυνάμεων, τότε αυτός θα δει αυτήν την εικόνα.
Πρόσεξε την ταλάντωση του μπαλακιού.
Ένας ακίνητος παρατηρητής (εμείς λ.χ.) θα δούμε να διαγράφει μια όχι επίπεδη καμπύλη. Μια κυματοειδή γραμμή πάνω-κάτω από τον κύκλο που ορίζει η θέση "ισορροπίας". Η θέση δηλαδή που βάρος και δύναμη ελατηρίου έχουν συνισταμένη την κεντρομόλο.
Αν θέλουμε διαφορετικά, εκείνη η θέση στην οποία η συνισταμένη βάρους-δύναμης ελατηρίου-φυγοκέντρου είναι μηδέν.
Γιάννη ένα γραμμικό ανάλογο είναι η όριζόντια βολή. Διατηρεί την ορμή στον οριζόντιο άξονα και η διαφορική της κίνησης δεν εξαρτάται από την αντίστοιχη συντεταγμένη. Φυσικά η συνολική ορμή μεταβάλλεται.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση έχεις δίκιο ότι η συνολική στροφορμή μεταβάλλεται και για αυτό ευθύνεται η ταλάντωση της γωνίας θ, αλλά η συνιστώσα της στροφορμής στον άξονα z παραμένει σταθερή.
Στην προσομοίωση φαίνεται αύξηση της απόστασης από τον άξονα z.
Αυτό σημαίνει αύξηση της συνολικής ταχύτητας και επομένως της στροφορμής.
Πέραν αυτού υπάρχουν και άλλες στροφορμές. Η y στροφορμή ας πούμε. Όταν ακινητοποιείται μηδενίζεται, όταν "επιστρέφει" αλλάζει φορά. Η στροφορμή αυτή είναι κάθετη στο επίπεδο της προσομοίωσης, ενώ η z στροφορμή έχει την διεύθυνση του άξονα z (έντονη γραμμή).
Στάθη γράφουμε μαζί. Τώρα διάβασα για την z συνιστώσα που λες ότι παραμένει σταθερή. Παραμένει όμως;
Όταν μεγαλώνει η ακτίνα δεν αυξάνεται η συνιστώσα της ταχύτητας η παράλληλη στο οριζόντιο επίπεδο;
Αυτό δεν σημαίνει αύξηση της z συνιστώσας της στροφορμής;
Η συγκεκριμένη στροφορμή εξαρτάται από τρεις χρονικά μεταβαλλόμενες ποσότητες, την παραμόρφωση, την γωνιακή ταχύτητα και την γωνία θ. Το συνολικό αποτέλεσμα είναι το μέτρο της να παραμένει σταθερό.
Συγγνώμη αλλά πρέπει στο σημείο αυτό να αποχωρήσω λόγω εργασίας.