by 
Στον παραπάνω ζυγό η κάθε ράβδος με άρθρωση έχει μάζα Μ και ροπή αδράνειας 1/12ΜL^2. Οι οριζόντιες ράβδοι που κρεμάμε τα βάρη έχουν αμελητέα μάζα. Κρεμάμε δεξιά ένα βάρος Β1 σε απόσταση χ1 και αριστερά ένα βάρος Β2 σε απόσταση χ2. ( μάζες και αποστάσεις γνωστά). Το σύστημα είναι οριζόντιο. Αν τη στιγμή t=0 το αφήσουμε ελεύθερο, να βρεθεί η επιτάχυνση που θα αποκτήσει η μεγαλύτερη μάζα.
Η άσκηση αφιερώνεται στο Γ. Κυριακόπουλο που ανέδειξε αυτόν τον πολύ ωραίο ζυγό.
Απάντηση:
Ευχαριστώ Πάνο.
Είναι ευφυέστατη άσκηση!
Στέλνω μια λύση της άσκησης του Πάνου.
Όχι λυκειακή. Προτίμησα χρήση ενεργειών.
Περιμένω όμως ότι κάποιος φίλος θα ρίξει στο παιγνίδι δυναμική λύση, με μεταφορές μαζών και ισοδύναμες ροπές αδράνειας.
Το θέμα έρχεται ως κομήτης περιοδικά, από καιρού εις καιρόν.
Γιάννη, καλησπέρα.Το δούλεψα λίγο διαφορετικά.Είπα ότι αφού τα σημεία που κρεμάμε τιs μάζεs παραμένουν οριζόντια η συνισταμένη εξωτερική ροπή είναι είναι σαν να ασκείται στα μέσα των κατακόρυφων ράβδων δηλαδή
Στ= (m1-m2)g l/2=Iαγων όπου Ι η ροπή αδράνειαs του συστήματοs των δυο ράβδων που περιστρέφονται μαζί με τα δυο ραβάκια
δηλαδή Ι=2/3 Μ l2 + (m1+m2) l2/4 όπου l το μήκοs των δυο ράβδων που στρέφονται.Βγάζω την ίδια αγων.
Διορθώνω Ι είναι η ροπή αδράνειαs του συστήματοs των τεσσάρων ράβδων μαζί με τα βαράκια ωs προs τον άξονα περιστροφήs.
Καλησπέρα Γιάννη.
Αν κατάλαβα έχεις βάλει στην ροπή αρδάνειας και τις μάζες των δύο συνεχώς κατακορύφων ράβδων.
Το αποτέλεσμα φυσικά θα είναι σωστό.
Υπάρχουν βέβαια δύο σημεία που θα προκαλέσουν συζήτηση, την οποία περιμένω:
1. Χρησιμοποιείς ισοδύναμη ροπή αδράνειας.
2. Η όλη διάταξη πατάει κάπου. Οι ροπές από το δάπεδο δεν είναι μηδέν στην τυχαία θέση, και μηδενίζονται με την μεταφορά στα μέσα των κατακορύφων ράβδων. Επομένως η εξωτερική ροπή διαφέρει στις δύο περιπτώσεις, χωρίς όμως αυτό να επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα.
Συγκεντρώνω:
Φυσικά βγάζει ίδιο αποτέλεσμα.
Περιμένοντας την όποια εξέλιξη στη συζήτηση, ας δείξω κάτι για τις εξωτερικές ροπές.
Αν γίνει η μεταφορά, οι ροπές από το δάπεδο στο σύστημα είναι μηδενικές συνολικά.
Αν δεν γίνει η μεταφορά, οι ροπές από το δάπεδο δεν έχουν μηδενική συνισταμένη, ως προς τον άξονα.
Δηλαδή ο όρος (m1-m2).g δεν είναι η εξωτερική ροπή, αλλά η ισοδύναμη ροπή.
Η ροπή αδράνειας που υπολογίσαμε δεν είναι παρά η ισοδύναμη ροπή αδράνειας.
Και παρά τις τρεις “αυθαιρεσίες” οδηγούμαστε σε σωστό αποτέλεσμα, όχι τυχαία.
Περιμένω συνέχεια στην συζήτηση.
Όσο ήταν να προκαλέσω, προκάλεσα.
Καλησπέρα Γιάννη.Θεώρησα ότι η συνολικά ασκούμενη ροπή δεν εξαρτάται από το σημείο που τοποθετούμε τα σώματα αφού τα αντίστοιχα τμήματα παραμένουν οριζόντια.Έτσι η δύναμη είναι σαν να ασκείται στο μέσο τηs κατακόρυφηs ράβδου.
Μια χαρά το πήγες Γιάννη.
Όλα σωστά είναι. Όμως αν αντιδράσουν οι συνάδελφοι, θα έχουμε μεγάλη συζήτηση.
Η συζήτηση με την φλέβα κάλυψε πλήρως το παρόν θέμα. Αναμενόμενο.
Έχουν αφεθεί πολλά σε εκκρεμότητα και περίμενα ενστάσεις, εναλλακτικές λύσεις, "σωστό αποτέλεσμα με λάθος λύση", κ.λ.π.
Αξίζει να τη δούμε.
Καλημέρα Πάνο , να ρωτήσω οι οριζόντιες ράβδοι από τις οποίες κρεμάμε τα σώματα είναι οριζόντιες μόνο στην αρχή ή παραμένουν συνέχεια οριζόντιες;
Αν παραμένουν συνέχεια οριζόντιες όπως βλέπω σε κάποιες λύσεις ,τότε θα κάνουν μεταφορική κίνηση , πως αυτό είναι συμβατό με τη συνθήκη μεταφορικής κίνησης στερεού .
Γιάννη από χθες, βλέπω να θέλεις να "εκτεθώ"
Προφανώς είμαι αντίθετος στη διδασκαλία της ισοδύναμης ροπής αδράνειας. Το έχω γράψει και πολεμήσει από το 2009.
Αλλά άλλο το διδάσκουμε ή το αποδεχόμαστε ως λύση σε πρόβλημα εξετάσεων και άλλο στις μεταξύ μας συζητήσεις στο φόρουμ.
Εδώ επιτρέπονται και οι "παρασπονδίες" που δίνουν εύκολα αποτελέσματα, που κόβουν δρόμο, αν ξέρουμε ότι τελικά αυτό θα δώσουν οι σωστές εξισώσεις.
Ανέβηκε και το αρχείο απάντησης του Πάνου.
Δείτε το και από εδώ.
Θα πρόσεξες Διονύση ότι ενεργειακά την έλυσα, χωρίς επίκληση "ισοδύναμης ροπής αδράνειας".
Ούτε ο Γιάννης (του οποίου την λύση έγραψα) επικαλείται, ρητώς τουλάχιστον, την "ισοδύναμη ροπής αδράνειας".
Η λύση του έχει πρόβλημα;
Το πρόβλημα έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Η όλη διάταξη Roberval είναι ενδιαφέρουσα.
Ο Πάνος πήρε κομμάτι-κομμάτι και δεν φάνηκε το "παράδοξο".
Η εξωτερική ροπή δεν είναι (m1-m2).g.l/2 . Υπάρχει και μια ροπή στο στήριγμα, η οποία όμως δεν είναι ροπή που προκαλεί περιστροφή.
Αυτή απλά εξουδετερώνει την ροπή που προκαλείται από τις άνισες αποστάσεις των βαρών από τους άξονες.
Η σκέψη:
-Αφού ισορροπεί όποιες και αν είναι οι αποστάσεις, θα έχουμε και ίδια αγ όποιες και αν είναι η αποστάσεις!
είναι ιδιαίτερα τολμηρή, αλλά στέκει.
Μεταφέροντας τα βάρη στα μέσα των κατακορύφων ράβδων η ροπή αυτή εξαφανίζεται. Μένει μόνο η "κινούσα" ροπή (m1-m2).g.l/2.
Η όλη υπόθεση έχει μεγάλο ενδιαφέρον για μας, παρά το ότι δεν είναι για την τάξη.
Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι ανάλογη του τετραγώνου του ω. Το διπλάσιο του συντελεστή αναλογίας, θα μπορούσε να μην ονομασθεί, να μην μας απασχολήσει ή να ονομασθεί "ισοδύναμη ροπή αδράνειας". Αυτό αποκτά και αδρανειακό περιεχόμενο. Δηλαδή υπεισέρχεται στην στροφορμή και στην γωνιακή επιτάχυνση κάποιων τμημάτων του.
Αργότερα θα εξηγηθώ καλύτερα ή εδώ, ή στο φόρουμ.
Προφανώς Διονύση μακριά από την τάξη. Προφανώς κινδυνεύει όποιος σε Εξετάσεις την χρησιμοποιήσει.
Για μας είναι το θέμα.
Γιάννη νομίζω ότι θα πρέπει υποχρεωτικά να χωρίσουμε τη διάταξη σε "στερεά σώματα" αφού την εξετάζουμε σε επίπεδο λυκείου και στο λύκειο ως στερεό θεωρούμε το σώμα που έχει συγκεκριμένο σχήμα. Δηλαδή το σώμα που η απόσταση ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε σημεία του είναι διαρκώς σταθερή. Έτσι όπως φαίνεται και στο σχήμα μου, η κεντρική στήλη δέχεται μία ροπή ως πρoς το c.m (οι δυνάμεις πάνω στις δύο αρθρώσεις), η οποία θα εξουδετερώνεται από τη ροπή που δημιουργείται από την αντίδραση του εδάφους στη βάση της διάταξης όπως φαίνεται στη προσομοίωση που έχεις κάνει στο interactive physics. Συμπερασματικά λοιπόν θα διαφωνήσω στην άποψη ότι η ροπή της κεντρικής στήλης εξουδετερώνει τις ροπές των δύο βαρών. Κατά την άποψή μου δεν έχει νόημα η ροπή (m1-m2)gl/2 αφού αναφέρεται σε διαφορετικά στερεά σώματα.