Έχοντας κάποια μορφή δεδομένων (t-x) ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, πχ τις κουκίδες σε μια χαρτοταινία ή μια στροβοσκοπική φωτογράφιση, δείχνουμε ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος να εξάγουμε συμπεράσματα από αυτά.
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Έχοντας κάποια μορφή δεδομένων (t-x) ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, πχ τις κουκίδες σε μια χαρτοταινία ή μια στροβοσκοπική φωτογράφιση, δείχνουμε ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος να εξάγουμε συμπεράσματα από αυτά.
Οι δουλειές σου είναι πάντα καλές.
Έτσι δεν πολυέχουν νόημα οι επιφυλλάξεις μου, ειδικά αν λάβουμε υπ’ όψιν ότι όσο λιγότερες σχέσεις γράφω, τόσο περισσότερο μου αρέσει ότι γράφω. Μια ιδέα:
Ένας όμως επιμένει. Θέλει ντε και καλά γραφική παράσταση του υ.
Γιατί να μην γίνει με χρήση του θεωρήματος Merton;
Ήτοι υ=2x/t .
Ουδέποτε κατάλαβα όσα γίνονται και σε οδηγούς και σε θέματα της αλήστου μνήμης Τράπεζας Θεμάτων.
Γιάννη μου θυμίζεις κάποιον φυσικό. Ο φυσικός αυτός, όταν ήταν φοιτητής, θεωρούσε ότι αρκούσαν δυο σημεία για να γίνει μια γραφική παράσταση ευθείας, αλλά έπαιρνε κι ένα τρίτο για να επιβεβαιώσει "του λόγου το αληθές". Ο φυσικός αυτός έγινε βέβαια θεωρητικός αλλά οι πειραματικοί φυσικοί χρησιμοποιούσαν μερικά εκατομμύρια σημεία για να επιβεβαιώσουν τις θεωρίες του.
Έτσι λες και συ. Αν θέλουμε να προσδιορίσουμε πειραματικά μια ποσότητα, το κάνουμε με τον ελάχιστο αριθμό δεδομένων.
Αα! Ο φυσικός που σου μίλησα άκουγε στο όνομα Abdus Salam.
Πρώτα να κάνω μια διόρθωση:
Έπειτα να ρωτήσω το γιατί.
Γιατί ο υπολογισμός του g όπως προανέφερα δίνει μικρότερη ακρίβεια;
Ας μην περιοριστούμε σε τρία σημεία. Ας κάνουμε πολλούς υπολογισμούς και ας βγάλουμε τον μέσο όρο.
Γιατί λ.χ. η χρήση του θεωρήματος merton στον υπολογισμό της ταχύτητας, δίνει μικρότερη ακρίβεια;
Δεν παρακάμπτουμε κάτι απλό για κάτι συνθετότερο χωρίς να κερδίσουμε σε ακρίβεια.
Επανέρχομαι.
Γιάννη, με τα λόγια κτίζεις ανώγεια και κατώγια. Υπολόγισέ μου λοιπόν την επιτάχυνση της σφαίρας που κάνει ελεύθερη πτώση. Το στροβοσκόπιο φλασάρει κάθε 0,02 s με μικρά και λαμπερά φλασάκια διάρκειας μs.
Μα και εσύ λόγια γράφεις.
Τέτοια ώρα τι θέλεις να κάνω;
Να τραβήξω φωτογραφίες με την μηχανή που δεν έχω;
Οι φωτογραφίες είναι αυτές που είναι. Που θέλεις να βρω τέτοια ώρα φωτογραφίες.
Αν το g=10 m/s ένα σώμα έχει πέσει κατά 1,25m σε μισό δευτερόλεπτο.
Μετά από 0,02s βρίσκεται στη θέση 1,352m
Μετά από άλλο ένα 0,2s βρίσκεται στη θέση 1,458m.
Η πρώτη μετατόπιση είναι 0,102m.
Η δεύτερη είναι 0,106m.
Διαφέρουν 0,004m.
Αν διαιρέσεις με το 4.10^-4 δεν θα βγάλεις 10m/s ;
Που βλέπεις το λάθος;
Γιατί η ακρίβεια είναι περιορισμένη;
Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς.
Θα μπορούσες π.χ. να πεις ότι υπάρχει το τάδε σφάλμα, το οποίο αίρεται με την επεξεργασία……
Επίσης δεν κατάλαβα γιατί η χρήση του θεωρήματος Merton λανθάνει.
Λόγου χάριν υπολογίζεται ταχύτητα (με τα προηγούμενα νούμερα) 5m/s στο μισό δευτερόλεπτο.
Υπολογίζεται ταχύτητα 5,2m/s την στιγμή 0,52s και ταχύτητα 5,4m/s την στιγμή 0,54s.
Την στιγμή 0,56s υπολογίζεται ταχύτητα 5,6s και την στιγμή 0,58s ταχύτητα 5,8m/s.
Και τα λοιπά….
Δεν μπορείς να κάνεις γραφική παράσταση με τις τιμές που βγήκαν από το θεώρημα Merton;
Δεν θα βγάλεις το g από την κλίση;
Αν είχα φωτογραφίες, δεν θα μπορούσα να κάνω ότι έκανα;
Εγώ πάντως δεν σε καταλαβαίνω.
Τι δεν καταλαβαίνεις; Για τη στροβοσκοπική φωτογραφία που είναι στην πρώτη σελίδα της εργασίας μου σου μιλάω. Την έχω κάνει και τεράστια, πιάνει σχεδόν όλη τη σελίδα.
Είχα βάλει τρεις μαθητές του 3ου ΓΕΛ να μου προσδιορίσουν τα 16 xi. Επειδή τα ti ήταν 0, 0,02, 0,04… έκανα στο excel τη γραφική παράσταση του x ως προς t2 και βγήκε μια τέλεια ευθεία. Από την κλίση βγήκε g=9,80 m/s2.
Βγάλε λοιπόν και συ τα 16 x και προσδιόρισέ μου τη g. (και να σου υπενθυμίσω κύριε καθηγητά που κάνεις και στην Α΄ λυκείου ότι αυτή είναι μια από τις υποχρεωτικές ασκήσεις).
Κάνω κάτι:
Ο συνάδελφος με το Tracker υπολόγισε 9,6 m/s.
Βλέπουμε ότι η χρήση του θεωρήματος Merton δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την ιδέα με τα εμβαδά.
Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω γιατί τα θεωρείς λόγια!
Νίκο ποιος από τους δυο μας δεν καταλαβαίνει τελικά;
Αυτό ρώτησα;
Ρώτησα ποια είναι η φωτογραφία;
Είπα ότι η γραφική παράσταση του x ως προς t2 δεν βγαίνει ευθεία;
Διαβάσεις τα σχόλια των συνομιλητών σου;
Η υπενθύμιση πως πρόκειται για υποχρεωτική άσκηση τι νόημα έχει;
Εν πάση περιπτώσει άλλη ήταν η ερώτησή μου.
Βλέπω κάτι σαν:
Ρωτώ σε τι υπερέχουν από την χρήση του θεωρήματος Merton και εισπράττω απάντηση:
-Έκανα την x=f(t2) και βγήκε ευθεία.
Μαζί με την υπενθύμιση ότι διδάσκω στην Α’ Λυκείου, ως εάν δεν το εγνώριζα.
Ποιος δεν καταλαβαίνει τελικά;
Γιάννη, σου ζήτησα το εξής: στη φωτογραφία που σου έστειλα υπάρχουν 16 xi σώματος που κάνει ελεύθερη πτώση. Προσδιορισέ τα και μετά βρες μου το g. Αλλά με χρήση και των 16.
Μπορεί η πλειοψηφία των συναδέλφων να την εφαρμόζει, αλλά αυτή τη λογική, δηλ. να μετράω το διαστημα μεταξύ διαδοχικών στιγμιότυπων, να το διαιρώ με τη χρονική διαφορά τους ώστε να βρω τη στιγμιαία (δηλ. τη μέση) ταχύτητα και να κάνω τελικά τη γρ. παράσταση t-v για να βρω την επιτάχυνση, δεν τη συμπαθώ ιδιαίτερα. Δεν πρέπει να ξεχνάμε τα τυχαία σφάλματα. Προτιμώ μεθόδους ανώτερης κλάσεως (έστω κι αν δεν είναι διδακτικές). Τώρα ο συνάδελφος από την Πιερία εφάρμοσε αυτή τη λογική για τρια διαστήματα και το g που βρήκε μετά βίας πλησιάζει τη σωστή τιμή. Εγώ εφάρμοσα τη μέθοδό μου και βρήκα 9,80 m/s2.
Γιάννη το θεώρημα Merton δεν αποτελεί ενδεικνυόμενη πειραματική μέθοδο. Δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε 16 δεδομένα. Επίσης, για έναν πειραματικό φυσικό καλύτερη μέθοδος είναι όποια τείνει να εξουδετερώσει τα σφάλματα. Με το θεώρημα Merton θα κάνεις ένα διάγραμμα t-v με μεγάλη διασπορά μεταξύ των σημείων. Και θέλω να σου επισημάνω ότι στην ανάλυση δεδομένων t-x στην ομαλή επιτάχυνση έχω κάνει πολύ δουλειά που τη δημοσίευα στο παρόν δίκτυο αλλά μάλλον δεν τη θυμάσαι.
Λόγια θεωρώ αυτά που λες για τον προσδιορισμό μιας ποσότητας αλλά να μην κάνεις τον κόπο να την προσδιορίσεις.
Καλημέρα Νίκο.
Συζητάς αλλά δεν διαβάζεις τι γράφεται.
Λόγου χάριν ο συνάδελφος από την Πιερία δεν εφάρμοσε την λογική αυτήν για 3 διαστήματα.
Πήρε πολλά σημεία και έκανε ανάλυση με το Tracker.
Αν επεξεργαζόσουν μ,ε τη μέθοδό σου τα δεδομένα από το ίδιο βίντεο του συναδέλφου θα έβγαζες 9,8 πάλι;
Κάνεις το εξής σφάλμα:
Λες ότι η μέθοδος είναι καλύτερη διότι έβγαλα 9,8. Το καλύτερο αποτέλεσμα μπορεί να οφείλεται σε καλύτερη εκτέλεση και όχι επεξεργασία. Μέτρησα την ταχύτητα του ήχου μερικές φορές με τον γνωστό σωλήνα. Δεν έβγαζαν όλα τα παιδιά το ίδιο.
Αυτό δεν ήταν θέμα επεξεργασίας, αλλά θέμα εκτέλεσης. Κάποια παιδιά ξεγελάστηκαν με την ένταση του ήχου, κάποια όχι.
Έπειτα δεν καταλαβαίνω τον ισχυρισμό σου " το θεώρημα Merton δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε 16 δεδομένα.".
Ο ίδιος γράφεις ότι έκανες την γραφική παράσταση y=f(t^2) και βγήκε μια χαρά. Ποια διαφορά σε μαθηματική επεξεργασία υπάρχει μεταξύ των δύο τρόπων;
Λες μετά να επεξεργασθώ μια εικόνα. Βλέπω στην εικόνα να υπάρχει αρχικά επιτάχυνση και έπειτα να διανύονται σε ίσους χρόνους, ίσα διαστήματα. Πρόκειται για ελεύθερη πτώση;
Μετά το χαρακτηριστικόν:
Προτιμώ μεθόδους ανώτερης κλάσεως (έστω κι αν δεν είναι διδακτικές)
Αυτή ήταν και η ερώτησή μου. Γιατί είναι ανώτερης κλάσης;
Αγαπάς την πολυπλοκότητα, αλλά δεν σημαίνει ότι κάτι πολύπλοκο είναι κατ' ανάγκην "ανώτερης κλάσης".
Θυμήσου το είδωλο φορτίο που έβγαινε με ένα τυπομάνι , αλλά και σε δυο σειρές με Απολλώνιο περιφέρεια.
Το σύνθετο θα προκριθεί μόνο σε περιπτώσεις αδυναμίας του απλού να ανταπεξέλθει ή εάν η ακρίβεια είναι μεγαλύτερη.
Στη θέση σου θα εξηγούσα φερ' ειπείν γιατί ένα σφάλμα μέτρησης περιορίζεται με τέτοια επεξεργασία και δεν περιορίζεται με άλλην. Επιφυλάσσομαι να δείξω τι εννοώ μα συγκεκριμένο εξέλ.
Γιάννη καλημέρα.
Αν επεξεργαζόμουν το βίντεο του συναδέλφου δεν ξέρω αν θα έβγαζα 9,8 πάλι. Στη στροβοσκοπική φωτογραφία που δημοσίευσα μπορώ να πρσδιορίσω τη συντεταγμένη με ακρίβεια χιλιοστού. Αν αυτό μπορεί να γίνει και με το βίντεο, θα έβγαζα το g με μαγαλύτερη ακρίβεια γιατί θα είχα μεγαλύτρο όγκο δεδομένων.
Η ουσιαστική διαφορά μεταξύ της δικής μου μεθόδου και αυτής που χρησιμοποιεί το Merton είναι η εξής: Για να εφαρμόσεις το Merton παίρνεις τη διαφορά των x μεταξύ διαδοχικών στιγμιοτύπων και τη διαιρείς με τη χρονική διαφορά τους των 0,02 s. αφού η μετροταινία έχει ανάλυση cm, περιμένεις ένα σφάλμα στο Δx ενός ή δυο mm. Αλλά τα Δx είναι λίγες δεκάδες mm. Το σφάλμα στο Δx είναι αρκετά πάνω από το 1% (πες μεταξύ 4% και 8%).
Γι΄ αυτό έκανα πριν λίγο, εδώ στο ΕΚΦΕ, τον προσδιορισμό του g με τα στροβοσκοπικά δεδομένα χρησιμοποιώντας τρεις μεθόδους.
Η πρώτη ήταν να ταυτίσω την ταχύτητα στα στιγμιότυπα 2-16 με το Δx/Δt, όπου Δx η απόσταση του τρέχοντος στιγμιότυπου από το προηγούμενο και Δt=0,02 s, να κάνω τη γραφική στο excel και να βρω το g από την κλίση της. Με τη μέθοδο αυτή βρήκα g=9,794 m/s2.
Η δεύτερη ήταν να ταυτίσω την ταχύτητα στα στιγμιότυπα 2-15 με το Δx/Δt, όπου Δx η απόσταση του επόμενου στιγμιότυπου από το προηγούμενο και Δt=2×0,02 s=0,04 s, να κάνω τη γραφική στο excel και να βρω το g από την κλίση της. Με τη μέθοδο αυτή βρήκα g=9,788 m/s2.
Η τρίτη ήταν να κάνω τη γραφική παράσταση του x ως προς t2 και να βρω το g διπλασιάζοντας την κλίση της. Με τη μέθοδο αυτή βρήκα g=9,804 m/s2 με ένα εντυπωσιακό R2 ίσο με 0,999969.
Με αυτά τα δεδομένα μπορείς να κρίνεις ποιά είναι η καλύτερη μέθοδος.
Σύμφωνα με τα λεγόμενά σου αυτή η μέθοδος είναι "η πολυπλοκότερη".
Χρησιμοποιώ δικά σου νούμερα.
Στο στιγμιότυπο 13, έχουμε θέση y=28,2 cm.
Μέση ταχύτητα από την αρχική στιγμή 28,2cm/(12×0,02s).
Η στιγμιαία ταχύτητα είναι διπλάσια της μέσης, οπότε είναι 28,2cm/(12×0,02s)x2=2,35m/s.
Η στιγμιαία ταχύτητα στο 14ο στιγμιότυπο είναι 33cm/(13×0,02s)x2=2,54m/s.
Προχωρώ έτσι απλά και βγάζω όλες τις ταχύτητες.
Δεν βγάζεις αποτελέσματα που να διαφέρουν ουσιαστικά από αυτά.
Γραφική παράσταση και……
Ποιο πλεονέκτημα βλέπω αν δουλεύουμε έτσι;
Το όποιο σφάλμα μέτρησης μιας θέσης δεν εμπλέκεται στον υπολογισμό της ταχύτητας σε άλλη θέση.
Έτσι το σφάλμα θα φανεί και στο διάγραμμα και στην όποια επεξεργασία γίνει με ή χωρίς διάγραμμα.
Θα μπορούσαμε να τεστάρουμε και την ακρίβεια κάθε μεθόδου, δίνοντας ιδανικά νούμερα.
0->0
1->5
2->20
3->45
4->80
5->125
Δουλεύοντας όπως λέω βγαίνει ακριβώς 10. Την στιγμή 3s υπολογίζεται ταχύτητα:
2×45/3=30m/s.
Εσύ για να βγάλεις την ταχύτητα στα 3s δουλεύεις ίσως μεταξύ 1s και 5s. Τι θα βγάλεις;
Λες:
Η ουσιαστική διαφορά μεταξύ της δικής μου μεθόδου και αυτής που χρησιμοποιεί το Merton είναι η εξής: Για να εφαρμόσεις το Merton παίρνεις τη διαφορά των x μεταξύ διαδοχικών στιγμιοτύπων και τη διαιρείς με τη χρονική διαφορά τους των 0,02 s.
Από που και ως που κάνεις αυτά που λες;
Από την αρχή μέχρι την στιγμή εκείνη δουλεύεις. Η εμπλοκή και άλλων στιγμών προκαλεί λάθη.
Επαναλαμβάνω:
Στο στιγμιότυπο 13, έχουμε θέση y=28,2 cm.
Μέση ταχύτητα από την αρχική στιγμή 28,2cm/(12×0,02s).
Η στιγμιαία ταχύτητα είναι διπλάσια της μέσης, οπότε είναι 28,2cm/(12×0,02s)x2=2,35m/s.
Γιάννη, συμφωνώ με τη μέθοδό σου. Δίνει εξ ίσου καλά αποτελέσματα. Αλλά οι μέθοδοι που κυκλοφορούν στην "πιάτσα" είναι τρεις και συγκρίνουμε αυτές μεταξύ τους.
Η πρώτη είναι του Εργαστηριακού Οδηγού. Στο συγκεκριμένο πείραμα με τη στροβοσκοπική φωτογραφία, ο Ε.Ο. προτείνει ο προσδιορισμός της στιγμιαίας ταχύτητας να γίνει υπολογίζοντας τη μέση ταχύτητα μεταξύ του ν-οστού και του ν+1-οστού στιγμιότυπου (χωρίς να αναφέρει αν αυτή η στιγμιαία ταχύτητα θα ανήκει στο ν-οστό ή στο ν+1-οστό στιγμιότυπο).
Όταν έκανα αυτούς τους υπολογισμούς ώστε να υπολογίσω στη συνέχεια τις κινητικές και τελικά τις μηχανικές ενέργειες στα στιγμιότυπα, βρήκα μεγάλη διασπορά στις τιμές τις ενέργειας και συμπέρανα ότι αυτή η μέθοδος δεν είναι η κατάλληλη για την επιβεβαίωση της ΑΔΜΕ.
Πήρε μετά τη σκυτάλη ο Μουρούζης για να προτείνει μια βελτίωση της μεθόδου. Πρότεινε ο υπολογισμός της ταχύτητας στο κάθε στιγμιότυπο να γίνει μέσω υπολογισμού της μέσης ταχύτητας ανάμεσα στο προηγούμενο και στο επόμενο στιγμιότυπο. Η ακρίβεια βελτιώθηκε έτσι κατά πολύ.
Εγώ προτείνω, σαν την τρίτη μέθοδο "της πιάτσας", αυτή του παρόντος άρθρου και άλλες παρόμοιες που είχα προτείνει στο παρελθόν. Για κάποιους λόγους αυτές οι μέθοδοι "δεν έπιaσαν στην πιάτσα". Υπάρχει μια σαφής προτίμηση στις μεθόδους που βρίσκουν το g μέσω γραφικής παράστασης t-v και όχι κάποιας με δεδομένα t-x.