by 
Kατά μήκος του x΄x άξονα διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Τη χρονική στιγμή t=0 που αρχίζουμε την καταγραφή μας το κύμα εκτείνεται πολύ πέραν του x=0 και προς τα θετικά και προς τα αρνητικά του x΄x άξονα. Η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου A με τετμημένη xA = 0,8 m είναι yA = 0,05ημ5πt (SI) και του B με xB =1 m είναι yB = 0,05ημ(5πt+3π/2) (SI). Επίσης γνωρίζουμε ότι xB– xA < λ/2, όπου λ το μήκος κύματος του κύματος.
- Υπολογίστε το μήκος κύματος λ και σχεδιάστε το τμήμα του στιγμιότυπου του κύματος τη χρονική στιγμή t=0 για -0,4 m ≤ x ≤ 1,2 m.
- Βρείτε την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος.
- Βρείτε την εξίσωση του κύματος.
Δείτε το πρόβλημα και τη λύση σε pdf και σε docx
Μανώλη μετά το σχόλιό σου τότε, περίμενα κάτι τέτοιο.
Πολύ καλή και μάλλον θα συζητηθεί. Προφανώς επικροτώ.
Καλησπέρα Μανώλη και μπράβο σου , καί γι'αυτή την άσκηση καί για αυτή του '13 που μας παραπέμπεις!!
Επιβεβαιώνεις το ότι: η χρονική εξίσωση ταλάντωσης ενός ή δύο σημείων αρμονικού κύματος, περιγράφουν την ταλάντωσή τους και τίποτε άλλο! Μπορεί κάποιος να βάλει ως αρχική φάση ό,τι τον βολεύει, προκειμένου να περιγράψει την κίνησή του. Εκτός κι αν υπήρχε μια συμφωνία στην Ελληνική επικράτεια ή τη διεθνή, που να μας απαγορεύει να θέτουμε ως αρχική φάση κατά το δοκούν. Π.χ. αν υπήρχε μια ''συμφωνία κυρίων'' που να λέει ότι : ανεξάρτητα του μετώπου του κύματος, το σημείο Ο(x=0,y=0) τη χρονική στιγμή t=0 έχει εξίσωση ταλάντωσης y(O)=A.ημ(ωt+φο), με 0<=φο<=2π, και το κύμα διαδίδεται προς τον θετικό ή αρνητικό ημιάξονα, τότε θα μπορούσαμε να γράψουμε την εξίσωση κάποιου δεδομένου σημείου Μ.
Η γνώση των εξισώσεων ταλάντωσης δυο σημείων, δεν είναι αρκετή να δώσει πληροφορίες για τη φορά διάδοσης του κύματος.
Καλησπέρα Μανώλη και σε ευχαριστώ για την ανάρτηση που μας πρόσφερες.
Όπως “προφανώς” συμφώνησε παραπάνω ο Γιάννης και ο Πρόδρομος άμεσα, το ίδιο “προφανώς” δεν θα με βρει σύμφωνο εμένα μια τέτοια ομάδα δεδομένων που περιγράφει ένα κύμα.
Το έχω γράψει πολλές φορές, αλλά και πρόσφατα, όταν συζητάγαμε ξανά στη συζήτηση του Γιάννη.
Αν θέλουμε να έχουμε “κρίσιμη” πληροφορία όσον αφορά τη διάδοση του κύματος που να κρύβεται στο όρισμα του ημιτόνου, τότε πρέπει να διαφυλάξουμε ως κόρη οφθαλμού, τη φάση του κύματος.
Αν δεν μας ενδιαφέρει η πληροφορία που μεταφέρεται μέσω της φάσης και θέλουμε να μετατρέψουμε την εξίσωση του κύματος σε Τριγωνομετρία, τότε μπορούμε να διαλύσουμε τη φάση και να κάνουμε Τριγωνομετρία.
Μια άσκηση δηλαδή όπως η παραπάνω, αν την έδινα εγώ, θα έδινα εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β την:
yB = 0,05ημ(5πt-π/2) (SI).
με αποτέλεσμα να μην είχαμε καμιά ασυνέπεια στη φορά διάδοσης και στις φάσεις.
Μαθηματικά σου δίνεται το δικαίωμα να κάνεις κάτι τέτοιο; Προφανώς ναι.
Όταν όμως αυτό μου το δίνεις σε μια άσκηση κυμάτων, το λιγότερο που έχω να υποθέσω είναι ότι μου βάζεις τρικλοποδιά, με βάση τη διδασκαλία των κυμάτων τα τελευταία 15-20 χρόνια στην Ελλάδα.
Καλησπέρα
Γιάννη
Χαίρομαι που σου άρεσε. Όταν προ ημερών είχες ανοίξει τη σχετική συζήτηση στην οποία εστίαζες ουσιαστικά ότι η γνώση και μόνον των ταλαντώσεων δυο σημείων του μέσου χωρίς πρόσθετες πληροφορίες δε μπορεί να μας αποκαλύψει την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος μου έδωσες το ερέθισμα. Θυμήθηκα και τη σχετική συζήτηση με τον αξέχαστο φίλο Βαγγέλη Κορφιάτη που είχε αναδείξει την ασάφεια στο σχετικό θέμα του 2013.
Πρόδρομε
Ευχαριστώ για το θετικό σχολιασμό. Όπως λες "Η γνώση των εξισώσεων ταλάντωσης δυο σημείων, δεν είναι αρκετή να δώσει πληροφορίες για τη φορά διάδοσης του κύματος.". Για τον λόγο αυτό στη συγκεκριμένη άσκηση έδωσα και ένα πρόσθετο στοιχείο που έχει να κάνει με το μέγεθος του μήκους κύματος.
Διονύση
Εγώ ευχαριστώ για τα όσα το ylikonet μου προσφέρει και μας προσφέρει.
Κατά τη γνώμη μου τόσο από άποψη μαθηματικών όσο και από άποψη φυσικής y = 0,05ημ(5πt-π/2) = 0,05ημ(5πt+3π/2) (SI). Θεωρώ ότι αποδίδουμε στη φάση και ιδιότητες που αυτή δεν έχει και επειδή σε αυτό βασίζουμε τη διδασκαλία μας ένα θέμα όπως το παρόν παγιδεύει.
Γεια σου και πάλι Μανώλη.
Δεν καταλαβαίνω γιατί αποδίδουμε στη "φάση" ιδιότητες που δεν έχει.
Έχει πολύ καθορισμένες ιδιότητες, αρκεί να την αντιμετωπίσουμε με το σεβασμό που πρέπει.
Αν την θεωρήσουμε άχρηστη, τότε προφανώς η Τριγωνομετρία μας επιτρέπει πολλαπλές μορφές γραφής, που θα δίνουν το ίδιο ημίτονο.
Αλλά μιας και ξαναγράφω.
Αν δοθεί ένα τέτοιο θέμα σε εξετάσεις, δεν θα πρέπει ο μαθητής, αντικαθιστώντας την τιμή x=1m στην εξίσωση το κύματος, να βρει την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο;
Είναι λογικό να δοθεί ένα δεδομένο, το οποίο μετά να μην επαληθεύεται από την εξίσωση που θα βρει κάποιος, αλλά που θα χρειαστεί τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς για να το βγάλει;
Να πω δυο πράγματα:
Μανώλη η φάση μπορεί να λέει πολλά πράγματα, αλλά η φάση δεν φαίνεται σε μια εξίσωση θέσης.
Αν εσύ έλεγες ότι οι φάσεις είναι 5πt και 5πt+3π/2 , τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση (διότι (AB<λ/2 φυσικά).
Δεν είπες όμως αυτό. Τι είπες;
Είπες απλά ότι όταν το Α είναι στην Θ.Ι. κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, το Β είναι στην θέση -0,05m.
Η εύρεση της σχέσης των φάσεων είναι δουλειά αυτού που λύνει την άσκηση.
Διονύση όταν δεν καταλήγει μια συζήτηση αυτά θα συμβαίνουν.
Εγώ θα καταλάβω ένα δικό σου άρθρο, γνωρίζοντας ότι χρησιμοποιείς την σύμβαση αυτήν. Ένας άλλος φίλος, μη αναγνώστης του υλικονέτ, ίσως και αλλοδαπός έχει πρόβλημα. Μάλλον δύο προβλήματα.
Το ένα είναι ότι δεν θα μπορέσει να λύσει ένα θέμα που το έθεσες ως απλό, αγνοώντας την σύμβαση. Ίσως στην πατρίδα του τα βιβλία αναγράφουν την εξίσωση με συνημίτονο.
Το άλλο πρόβλημα είναι ότι θα μπορούσε να θέσει ακριβώς το θέμα του Μανώλη και εμείς, θεωρώντας καθολική την σύμβαση, να καταλήγαμε στο ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση.
Δεν ξέρω γιατί, αλλά θυμήθηκα την συζήτηση για τον Κινέζο που χρησιμοποιούσε αρνητικά υπόριζα. Γράφοντας 3η ρίζα του -8 εννοούσε την κύρια λύση της x^3 = -8. Η επικοινωνία προβληματική με εμένα που ξέρω ότι τα υπόριζα είναι θετικά μόνο και η τρίτη ρίζα συνάρτηση, δηλαδή μονότιμη παράσταση.
Το παράδειγμα μοιάζει άσχετο. Δεν είναι όμως άσχετο. Αν χρησιμοποιούμε κάτι που δεν είναι κοινώς αποδεκτό, προκύπτουν προβλήματα σε κάποια προβλήματα. Ανάλογη περίπτωση κακής συνεννόησης είναι το παρόν πρόβλημα.
Γεια σου Γιάννη.
Δεδομένες οι θέσεις.
Επιβεβαιώνεται για μια φορά ακόμη.
Πρόσεξε τη φράση σου:
Μια άσκηση δηλαδή όπως η παραπάνω, αν την έδινα εγώ, θα έδινα εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Β την:
yB = 0,05ημ(5πt-π/2) (SI).
Γνωστό αυτό. Εσύ αυτό θα έκανες. Μπορεί και εγώ να έκανα το ίδιο (άσχετα με τη θέση μου) για να μην προκληθεί παρανόηση, επειδή γνωρίζω τι κυκλοφορεί.
Ένας Κινέζος που θα έβαζε τέτοιο θέμα σε Ολυμπιάδα, θα έκανε σίγουρα το ίδιο;
Γιάννη μην το ταλαιπωρούμε…
Ένας μαθητής που διδάσκεται σήμερα κύματα στο σχολείο του, ξέρει ότι για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, θα μικραίνει η φάση της απομάκρυνσης καθώς αυξάνεται το χ.
Έχει διδαχτεί στη θεωρία την απόδειξη της εξίσωσης κύματος, έχει διδαχτεί ότι θα καθυστερήσει το κύμα κατά t1=x/υ κ.λ.π.
Και μετά εσύ του βάζεις πρόβλημα που το σημείο στη θέση x=1m έχει μεγαλύτερη φάση από το σημείο στη θέση x=0,8m και θέλεις να μην δηλώσει ότι το κύμα πάει αριστερά, γιατί αυτό που έχει μέσα το ημίτονο δεν είναι φάση αλλά κάτι άλλο…
Εντάξει …πάσο!
Έτσι που το λες μοιάζει σαν να είναι θέμα γούστου. Εμένα μου αρέσει το παγωτό λεμόνι και εσένα το καϊμάκι περίπου.
Όμως έχουμε ένα γενικότερο θέμα. Υπάρχουν γλώσσες επικοινωνίας. Χρησιμοποιούμε "λέξεις" της γλώσσας που δεν είναι αμφίσημες.
Δεν μπορεί στα Μαθηματικά να ταυτίζουμε τα ημ(5πt-π/2) και ημ(5πt+3π/2) αλλά στην Φυσική να είναι διαφορετικές εξισώσεις θέσης.
Φυσικά ουδείς είπε ότι οι φάσεις 5πt-π/2 και 5πt+3π/2 ταυτίζονται. Η δεύτερη προηγείται 2π. Δηλαδή έχει πραγματοποιηθεί μια ταλάντωση παραπάνω.
Όμως αυτό είναι άλλο εντελώς θέμα.
Βεβαίως θα μικραίνει η φάση αυξανομένου του x.
Ορθότατα το έχει διδαχθεί έτσι ο μαθητής. Ορθώς έτσι εξήχθη η εξίσωση κύματος. Είναι ο καλύτερος τρόπος.
Άλλο όμως από την φάση να πάμε στην εξίσωση κύματος και άλλο το αντίστροφο. Μια φάση αντιστοιχεί σε μία μόνο εξίσωση κύματος (μονοσήμαντη αντιστοιχία). Μια εξίσωση κύματος δεν αντιστοιχεί σε μία μόνο φάση.
Αν παραστήσουμε την αντιστοιχία με Βένια διαγράμματα, θα φανεί ότι βελάκια από το σύνολο των φάσεων καταλήγουν στο ίδιο στοιχείο του συνόλου των εξισώσεων κίνησης. Η αντίστροφη απεικόνιση δεν είναι συνάρτηση.
Και για να μην το ταλαιπωρούμε…. στο δια ταύτα.
Δεν θα έβαζα τέτοιο θέμα. Θεωρώ πως οιοσδήποτε συνάδελφος γνωρίζει την παρούσα ασυμφωνία, δεν πρέπει να βάλει τέτοιο θέμα σε Εξετάσεις.
Να λοιπόν, που συμφωνούμε σε κάτι
Διονύση μόνο σε αυτό συμφωνούμε;
Φυσικά (για να δούμε αν εδώ συμφωνούμε) , όταν λέω:
Θεωρώ πως οιοσδήποτε συνάδελφος γνωρίζει την παρούσα ασυμφωνία, δεν πρέπει να βάλει τέτοιο θέμα σε Εξετάσεις.
δεν μιλώ μόνο για το θέμα του Μανώλη. Εννοώ κάθε θέμα που να δίνει εξισώσεις θέσης και να ζητάει από αυτές να εξαχθεί η φάση.
Εννοώ δηλαδή δεκάδες θέματα που υπάρχουν.
Ελπίζω να συμφωνείς σ΄αυτό.