Ένα κυλινδρικό δοχείο ακτίνας R και ύψους h αρκετά μικρότερο του R με μακρύ άξονα z παρουσία βαρυτικού πεδίου επιτάχυνσης -gz περιέχει ιονισμένο αέριο ουδέτερο στο σύνολό του, του οποίου τα ιόντα μπορούν να περιγραφούν ως σημειακές μάζες φορτίου q θετικά και μάζας M (βαριά θετικά ιόντα) και σημειακές μάζες φορτίου –q και μάζας m πολύ μικρότερης του Μ ( ελαφριά αρνητικά ιόντα). Το σύστημα διατηρείται σε σταθερή και ομογενή θερμοκρασία και υποθέτουμε για απλοποίηση ότι τα ιόντα δεν μπορούν να ενωθούν και να αλληλοεξουδετερωθούν. Συζητήστε ποιοτικά την κατανομή των ιόντων σε συνθήκη ισορροπίας και βρείτε συγκεκριμένα την τιμή του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του κυλίνδρου.
Σημ: Η άσκηση αφιερώνεται στο φίλο και συνάδελφο Νίκο Παναγιωτίδη, αφού εγώ αφιερώνοντας χρόνο αρκετά περισσότερο από τα 15 λεπτά του διαλλείματος του ημιχρόνου δεν μπόρεσα να καταλήξω σε κάποια βέβαιη λύση.
Πάνο σ΄ ευχαριστώ. Αυτή η άσκηση δεν είναι σαν τις άλλες που λυνόταν στο ημίχρονο. Το θεωρώ αυτό λογικό καθότι το Μουντιάλ παρήλθε και δεν χρειαζόμαστε πια ασκήσεις ημιχρόνου.
Δεν ξέρω πόσο δύσκολο είναι να λυθεί αυτό το πρόβλημα είναι πάντως δύσκολο να γίνει κατανοητό. Δηλαδή τι ζητάς; την ηλεκτρική διπολική ροπή που δημιουργούν τα ιόντα; Ζητάς την γραμμική πυκνότητα φορτίου μ(z) ώστε να δημιουργείται ομογενές ηλεκτρικό πεδίο δεδομένης έντασης; Ή ζητάς κάτι άλλο;
Είναι και αυτό ένα από τα θέματα του συγκεκριμένου Πανεπιστημίου. Ένα λάθος που έκανα είναι ότι ζητάει την ποιοτική κατανομή των ιόντων και όχι την ποσοτική. Δηλαδή πως ποιοτικά θα κατανεμηθούν τα ιόντα στο παραπάνω δοχείο. Μετά ζητάει ποια θα είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με το z. Αυτό κατάλαβα εγώ.
Δηλαδή αν θεωρούσαμε ότι και τα θετικά και τα αρνητικά ιόντα είναι ομογενώς κατανεμημένα, που θα υπήρχε πρόβλημα;
Έστω ότι είχαμε μόνο τα θετικά φορτία. Λόγω του βαρυτικού πεδίου η πυκνότητα των θετικών φορτίων θα ελαττωνότανε όσο ανεβαίναμε προς τα πάνω αφού όσο ψηλότερα τόσο μικρότερη η πίεση και η πυκνότητα. Άρα δεν θα είχαμε μία ομοιόμορφη κατανομή φορτίων. Το ίδιο θα συνέβαινε αν είχαμε και μόνο αρνητικά φορτία. Λόγω της διαφορετικής μάζας αυτή η ανομοιομορφία θα είναι ίδια και για τα δύο είδη φορτίων; Αν ναι τότε η κατανομή των θετικών και των αρνητικών θα είναι η ίδια στο ίδιο ύψος και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο θα είναι μηδέν. Αν όχι τότε θα δημιουργηθεί ένα ηλεκτρικό πεδίο κατά τον z. Λέω εγώ τώρα…(μερικές μεταμεσονύχτιες σκέψεις ίσως και εντελώς εσφαλμένες )
Ας υποθέσουμε, κατ΄ αρχήν, ότι τα άτομα δεν έχουν φορτίο. Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας απαιτεί τα βαριά να είναι χαμηλά και τα ελαφριά ψηλά. Η μεγιστοποίηση της εντροπίας απαιτεί πλήρη ανάμιψη. Οι δυο αρχές συμβιβάζονται και δημιουργείται ένα μίγμα ατόμων στο οποίο τα βαριά άτομα έχουν τη μεγαλύτερη συγκέντρωση κάτω και την μικρότερη επάνω ενώ με τα ελαφριά συμβαίνει το αντίθετο.
Αν τα άτομα έχουν φορτίο, η κατανομή αυτή δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο με φορά προς τα πάνω. Το ηλεκτρικό πεδίο αυξάνει τη δυναμική ενέργεια και, προκειμένου αυτή να μειωθεί, τα ιόντα ανακατανέμονται με τέτοιον τρόπο ώστε να ελαττώνεται η ανισοκατανομή κατά τον z-άξονα. Θα υπάρχει πάλι ανισοκατανομή που θα είναι μικρότερη αυτής που θα υπήρχε αν τα άτομα δεν είχαν φορτίο.
Εμείς εδώ στην Ελλάδα δεν βάζουμε τέτοια προβλήματα στους μαθητές μας. In είναι μόνο ότι έχει ταλαντώσεις, κρούσεις, κύματα, ΑΔΟ, ΑΔΣ, και ΑΔΜΕ.
Καλημέρα Πάνο, καλημέρα Νίκο.
Μια σκέψη, περισσότερο διαισθητική.
Τα βαριά (θετικά ιόντα) κάτω και τα ελαφριά πάνω, οπότε δημιουργία μιας κατάστασης που μας δείχνει πυκνωτή με θετικό οπλισμό τον κάτω…
Έτσι θα γίνει Διονύση. Μάλιστα σε χαμηλές θερμοκρασίες το πεδίο θα είναι ισχυρότερο. Μακάρι να έβαζαν τέτοια θέματα στις πανελλήνιες. Αλλά δε θα το κάνουν! Τι, να νιώθουν οι μαθητές ότι τζάμπα πήγαιναν 3 χρόνια φροντιστήριο;
Καλημερα συνάδελφοι.
Κάποιοι προβληματισμοι που προέκυψαν σκεπτόμενος το πρόβλημα του Πάνου.
Αν συμφωνήσουμε ότι το τυχόν ηλεκτρικό πεδίο λόγω συμμετριας και του δεδομένου ότι h πολύ μικρότερο του R είναι ομογενες και κατακόρυφο, τότε δεν μπορεί παρά η πυκνότητες N(z) και n(z) των θετικών και αρνητικών ιόντων αντίστοιχα να είναι παντού ίσες. Τότε όμως δεν θα υπάρχει ΗΠ στο χώρο αφού το πλήθος των θετικών και αρνητικών ιόντων είναι το ίδιο.
Αρα δεν υπάρχει ΗΠ στο εσωτερικό του δοχείου και η πυκνότητα των ιόντων συναρτήσει του z καθορίζεται απο τη βαρύτητα.
Μια ποιοτική ερμηνεία του αποτελέσματος μπορεί να είναι η εξής.
Η ελάττωση της πυκνότητας των θετικών ιόντων κατα τον z λόγω βαρύτητας θα είναι μεγαλύτερη απο αυτήν των αρνητικών λόγω της μεγαλύτερης μάζας. Όμως οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ιόντων ακυρώνει αυτή την διαφορα με αποτέλεσμα την εξίσωση των πυκνοτήτων σε κάθε σημείο.
— Να συμπληρώσω για το προηγούμενο σχόλιο ότι η ισότητα των N(z) και n(z) σε καθε σημείο προκύπτει εύκολα από το νόμο του Γκάους.