Μεγιστοποιήστε τη βαρύτητα

To take home message της δημοσίευσης δεν είναι τα μαθηματικά αλλά το εξής: Ας εστιάσουμε χάρην ευκολίας στην εκδοχή των τριών διαστάσεων. Η ένταση του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο είναι διανυσματική ποσότητα (για να το γνωρίζει κανείς χρειάζεται να ξέρει δύο πράγματα ανεξάρτητα μεταξύ τους … το μέτρο και την κατεύθυνσή του). Σε αναλογία λοιπόν με τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου, όταν θέλεις να βρεις το πεδίο που παράγει μια κατανομή μάζας σε ένα σημείο του χώρου, αθροίζεις διανυσματικές συνεισφορές από τα επιμέρους στοιχειώδη μέρη μιας κατανομής μάζας … κάθε στοιχειώδης μάζα της κατανομής απέχει ορισμένη απόσταση από το σημείο υπολογισμού του πεδίου, η οποία αναγκαστικά θα μεταβάλλεται λόγω του δεσμού "του ασυμπίεστου" που επιβάλλει το πρόβλημα … αν όμως ξεχάσουμε για λίγο τη μεταβολή της έντασης του πεδίου με την απόσταση, πώς μπορούμε να μεγιστοποιήσουμε το συνισταμένο διάνυσμα σε μια θέση; … με το να έχουμε όσο το δυνατό περισσότερα ομόρροπα διανύσματα (τριγωνική ανισότητα για τα διανύσματα) … ο μόνος τρόπος να 'χουμε διαρκώς ομόρροπα διανύσματα σε μια θέση είναι να έχουμε ένα σχήμα/μία κατανομή που να έχει κυλινδρική συμμετρία ως προς άξονα συμμετρίας ο οποίος θα διέρχεται από τη θέση όπου υπολογίζεται το πεδίο (έτσι ώστε οι συνεισφορές οι κάθετες στον άξονα συμμετρίας λόγω κυλινδρικής συμμετρίας να αλληλοαναιρούνται πλήρως) … αυτό περαιτέρω πρέπει να υποψιάσει κάποιον το να "πλάσει" την κατανομή μάζας έτσι ώστε να έχει τη μορφή ενός στερεού εκ περιστροφής γύρω από άξονα που θα περίεχει το σημείο υπολογισμού του πεδίου … ένα πολύ σημαντικό βήμα έγινε … αντί να πρέπει να βρω την μορφή του όγκου που πρέπει να έχει η κατανομή μάζας, το πρόβλημα έχει αναχθεί σε πρόβλημα λιγότερων διαστάσεων … έχω να βρω μια καμπύλη, η περιστροφή της οποίας περί τον προαναφερθέντα άξονα, μου δίνει έναν όμορφο όγκο/στερεό  που μέχρι στιγμής μου κάνει τη δουλειά μου … (κανονικά αυτό όπως και να προσέγγιζε κανείς το πρόβλημα με λογισμό των μεταβολών έπρεπε να προκύπτει σε κάποιο βήμα εκτός κι αν ήταν τόσο ατυχής η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που δεν φαινόταν με τίποτα καθ' οδόν) … στο σημείο αυτό, είναι γνωστό ότι αν το ομογενές (εκ της άσκησης επιβαλλόμενο) στερεό εκ περιστροφής ειδωθεί ως φέτες κομμένες κάθετες στον άξονα περιστροφής, η μία πίσω από την άλλη, η κάθε φέτα είναι ένας ομογενής δίσκος ορισμένης ακτίνας (διαφορετικής από τον ένα δίσκο στον άλλο εν γένει … κι αυτό επιτυγχάνεται μέσω της συνάρτησης y(x) που χρησιμοποιεί η εργασία των κινέζων), και η συνεισφορά ενός ομοιόμορφου δίσκου υπολογίζεται εύκολα σε σημείο του άξονα συμμετρίας του και κείται πάντοτε επί του άξονα συμμετρίας του … . Περαιτέρω, αν θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το πεδίο σε κάποια θέση, η θέση αυτή δεν μπορεί να είναι μέσα στην κατανομή γιατί οι φέτες στα δεξιά θα αλληλοαναιρούν μερικώς (πολύ ή λίγο) τη συνεισφορά των φετών στα αριστερά … επομένως προσβλέπουμε σε ένα σημείο εκτός της κατανομής μάζας που έχει όλες τις φέτες στη μία μεριά του μόνο … και να μην είναι και μακριά από την κατανομή μάζας γιατί η συνεισφορά φθίνει με την απόσταση (οι κινέζοι το πήραν στο σύνορο της κατανομής μάζας)! Μετά από αυτά, ο δεύτερος στόχος είναι να γίνει βελτιστοποίηση (δηλ. μεγιστοποίηση) του μέτρου συνιστάμενου βαρυτικού πεδίου στη συγκεκριμένη θέση, με βάση την απόσταση του κέντρου της κάθε φέτας από το σημείο υπολογισμού του πεδίου … μιλάμε όμως για βελτιστοποίηση ενός βαθμωτού μεγέθους (του μέτρου του συνιστάμενου βαρυτικού πεδίου) … και αυτό γίνεται στην εργασία των κινέζων με λογισμό μεταβολών λαμβάνοντας υπόψη τον δεσμό του προβλήματος. Υποθέτω ότι αν αλλάξει ο δεσμός του προβλήματος η απάντηση αλλάζει π.χ. συγκεκριμένη ολική μάζα αλλά μη ομογενής πυκνότητα που έχει κάποια συγκεκριμένη χωρική εξάρτηση … .

Υπάρχουν κι άλλα προβλήματα φυσικής που η λύση τους εδράζεται στο παραπάνω σκεπτικό … αναγωγής ενός συνθετότερου προβλήματος σε κάποιο πολύ απλούστερο χρησιμοποιώντας κάποιο επιχείρημα συμμετρίας π.χ., με ποιο χαρακτηριστικό (απ' ότι θυμάμαι από ένα προπτυχιακό μάθημα ΜΜΦ) εκείνο της μορφής που πρέπει να έχει ένα στερεό (αν θυμάμαι καλά ομογενές … πάντως η άσκηση έθετε κάποιους παρόμοιους δεσμούς) που κινείται μέσα σε ρευστό με ιξώδες, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η αντίσταση που δέχεται από το ρευστό …