by 
Άλλο ένα πρόβλημα για καθηγητές.
Δίνεται μια ποσότητα εύπλαστου υλικού μάζας Μ και σταθερής πυκνότητας ρ και ένα σημείο Σ του χώρου.
Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της έντασης του βαρυτικού πεδίου που μπορεί να δημιουργήσει η μάζα Μ στο σημείο Σ.
Και η αντίστοιχη γραφική παράσταση (θέτοντας d=1) ΕΔΩ
Σωστά Γιάννη (σου ξέφυγε ένα τετράγωνο στο r στην τελευταία σχέση, αλλά μάλλον την έγραψες σωστά για τη γραφική παράσταση)
Το τελευταίο βήμα είναι ο υπολογισμός της έντασης του πεδίου που είναι μάλλον εύκολος οπότε δίνω τη δική μου λύση ΕΔΩ
Καλησπέρα Σπύρο,
Πράγματι μου ξέφυγε το τετράγωνο (στο Mathematica έγραψα σωστά τη σχέση βάζοντας τετραγωνική ρίζα στο cos(θ))!
Μελετάω τώρα τη λύση σου!
Καλημέρα συνάδελφοι.
Γιάννη (Φιορ) χαίρομαι που σε βλέπω σχολιάζοντα!
Όσον αφορά τις προτάσεις (τη δική σου και του Σπύρου, χρειάζεται μελέτη…)
… αυτό το πρόβλημα, εάν και εφόσον όλα τα δεδομένα είναι επαρκή, μπορεί να προσεγγιστεί από τη θεωρία του λογισμού των μεταβολών αλλά τα ακριβή βήματα θέλουν ψάξιμο (δεν χρειάζονται ούτε πολυπολικά αναπτύγματα και τέτοια)
… μάλλον τα δεδομένα είναι επαρκή … υπάρχει ο δεσμός της σταθερής πυκνότητας, το σημείο Σ δεν έχει σημασία που είναι μπορεί να είναι μέσα ή έξω από την κατανομή … και το σχήμα της επιφάνειας δεν έχει σημασία γιατί θα βρεθεί από τη συνθήκη μεγιστοποιήσης του πεδίου που αναφέρει η άσκηση … επειδή μιλάμε για 3 διαστάσεις ίσως είναι βολικό να χει κανείς κατά νου σφαιρικές συντεταγμένες για να δει πιο εύκολα τη λύση και να δουλέψει με τη θεωρία του βαρυτικού δυναμικού αφού η συνθήκη μεγιστοποιήσης σχετίζεται με το grad του βαρυτικού δυναμικού … χρειαζόμαστε μάλλον (γιατί δεν το σκέφτηκα με κάθε λεπτομέρεια) το grad του βαρυτικού δυναμικού γραμμένο ως συνάρτηση της μορφής της κατανομής μάζας …
Καλημέρα σε όλους.
Διονύση σε ευχαριστώ πολύ. Βρήκα λίγο χρόνο τώρα που είναι καλοκαίρι (και τα παιδιά στην κατασκήνωση).
Ανεβάζω το προηγούμενο αρχείο (με τετραγωνική ρίζα στο cos(θ) στον τελικό τύπο): ΕΔΩ(1)
Σπύρο συγχαρητήρια για τη δουλειά σου. Από περιέργεια βρήκα πόσο μεγαλύτερο είναι το πεδίο που παρουσιάζει η κατανομή που θεωρούμε, από την σφαιρική κατανομή. Είναι κατά 2,6% ισχυρότερο. ΕΔΩ(2)
Μια μελέτη του προβλήματος (ανάλυση σε όλες τις διαστάσεις, με χρήση λογισμού των μεταβολών) βρήκα ΕΔΩ(3)
Νίκο, είχα δει παλιότερα τη σπουδαία ανάλυσή σου. Μια ερώτηση-απορία: Για μια μη σφαιρική κατανομή μάζας, που όμως έχει άξονα συμμετρίας, η τετραπολική ροπή επηρεάζει τη βαρύτητα (μονόπολο) σε σημεία πάνω στον άξονα συμμετρίας;
… επίσης να αναφερθεί και το εξής … όταν λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις στις οποίες καταλήγει η εφαρμογή του λογισμού μεταβολών με δεσμό … πρέπει πάντα στο τέλος να γίνει ένα ακόμη βήμα … αφού βρεθεί η απάντηση πρέπει να μελετηθεί αν μια διαταραχή περί την απάντηση συνεχίζει να μεγιστοποιεί την ένταση του πεδίου … αν διαπιστωθεί ότι η ένταση μεγάλωσε υπό την προαναφερθείσα διαταραχή τότε δεν είναι σωστή η απάντηση που βρήκαμε ψάχνουμε για άλλη λύση …
Καλημέρα σε όλους.
εχω γράψει ένα σχόλιο με κάποιες αναφορές-παραπομπές αλλά δεν εμφανίζεται.
Κάνω κάτι λάθος;
Καλό μεσημέρι Γιάννη.
Το προηγούμενο σχόλιό σου περιείχε παραπάνω από δύο συνδέσμους!
Οπότε το Wp το θεώρησε ύποπτο για σπαμ και το έστειλε για έγκριση.
Τώρα εμφανίστηκε…
Καλό μεσημέρι σε όλους.
Ψάχνοντας βρήκα αυτή τη δημοσίευση, η οποία συμφωνεί με την λύση του Σπύρου Χόρτη.
Σπύρο πολύ ωραίο πρόβλημα. Εύγε. Στη λύση που πρότεινα τη πάτησα δύο φορές. Στην υπόθεση ότι η κατανομή είναι σφαιρική, αλλά και στην εις άτοπο απαγωγή που χρησιμοποίησα.
Καλησπέρα σε όλους.
Διονύση σε ευχαριστώ (κατάλαβα τι κάνω λάθος
).
Βέβαια απ' ότι είδα στο προηγούμενο σχόλιό μου δεν ήταν σωστός ο σύνδεσμος ΕΔΩ(3), αφού είχα βάλει το ίδιο url με το ΕΔΩ(2) (γι' αυτό και ξανάστειλα το σχόλιο), ομως είχα κατά νου το paper που ανέβασε ο Στάθης. (Στάθη καλησπέρα).
Οπότε ας δώσω και ένα καινούριο σύνδεσμο ΕΔΩ.
Καλησπέρα σε όλους.
Χαίρομαι που βρήκατε το πρόβλημα ενδιαφέρον. Εγω το είχα αντιμετωπίσει παλαιότερα ως πρόβλημα υπολογισμού του σχήματος και επειδή μου άρεσε πολύ το θυμόμουνα. Πρόσφατα δοκίμασα αν υπολογίζεται εύκολα και η τιμή της έντασης και προέκυψε στη μορφή που το πρότεινα. Βέβαια οι σύνδεσμοι που έδωσαν ο Γιάννης και ο Στάθης είναι το κάτι άλλο. Η δική μου λύση μοιάζει πολύ "ερασιτεχνική".
Καλό απόγευμα σε όλους.
Καλησπέρα Σπύρο.
Δεν ήταν καθόλου ερασιτεχνική η λύση σου. Αντιθέτως λιτή, κατανοητή και πλήρης. Στην δημοσίευση ο σκοπός ήταν να γενικεύσουν το πρόβλημα σε περισσότερες διαστάσεις, για αυτό και τα πιο "βαριά" μαθηματικά.
Καλό καλοκαίρι.