by 
Θέτω το εξής πρόβλημα προς συζήτηση (ή ανάλυση):
Περιστρέφω ένα ακανόνιστο σώμα πρώτα κατά γωνία χ περί τον x-άξονα, μετά κατά γωνία ψ περί τον y-άξονα και τέλος κατά γωνία ω περί τον z-άξονα και το σώμα αποκτά ένα προσανατολισμό. Αν το έστρεφα πρώτα κατά γωνία ω περί τον z-άξονα, μετά κατά γωνία ψ περί τον y-άξονα, και τέλος κατά γωνία χ περί τον x-άξονα, ο προσανατολισμός θα ήταν ο ίδιος;
Νίκο άσχετο με την ερώτηση σου….θυμήθηκα τα ψευδο-διανύσματα (axial και polar vector!)
Οπως είναι η γωνιακή ταχύτητα κλπ !
Γιώργο, δεν έχει σημασία τι θυμήθηκες. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι η ανάρτησή μου σου έφερε κάτι στη θύμηση. Οι αναρτήσεις μου γίνονται "για να μαθαίνουν οι νέοι και να θυμούνται οι παλιοί".
Καλημέρα Νίκο.
Νομίζω ότι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στις περιστροφές!
Έτσι στο παράδειγμά σου η τελική θέση θα είναι διαφορετική.
Καλημέρα παιδιά
Προφανώς δεν αντιμετατίθενται. Το βραδάκι θα στείλω κάτι.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Ακριβώς έτσι είναι. Οι μετατοπίσεις αντιμετατίθενται, οι στροφές όχι. Αν, πχ, στρέψω ένα σώμα κατά γωνία χ περί τον x-άξονα, μετά κατά ψ περί τον y-άξονα και μετά κατά -χ περί τον x-άξονα, δεν είναι το ίδιο με το να το στρέψω κατά ψ περί τον y-άξονα μόνο. (οι στροφές αυτές λέξονται συζυγείς).
Θα δώσω λεπτομερή ανάλυση το μεσημέρι.
Στροφές.
Είναι στοιχειώδες αγαπητέ Ουάτσον! (Άρθουρ Κόναν Ντόυλ).
Έκανα με το πινέλο μια κόκκινη πινελιά. Οι στροφές είναι 90 μοιρών.
Πρώτα έγινε η x και z αλληλουχία.
Έπειτα η z και x αλληλουχία.
Τα αποτελέσματα είναι εμφανώς διαφορετικά.
Οι στροφές δεν αντιμετατίθενται. Δεν παριστάνονται από διανύσματα.
Από το “Γεωμετρία στον πλανήτη του μικρού πρίγκηπα” (που έσπασε κάθε ρεκόρ ελάχιστης επισκεψιμότητας):
Οι απειροστές στροφές αντιμετατίθενται. Παριστάνονται από διανύσματα.
Έτσι η γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα.
Η απειροστή στροφή ταιριάζει με μικρές επίγειες μετακινήσεις οι οποίες αντιμετατίθενται.
Αυτά όλα τα αναφέρω απομαθηματικοποιημένα. Ο Νίκος πιθανώς θα μιλήσει για χώρους Ευκλείδειους.
Μια παρατήρηση στο σχόλιο του Νίκου.
Εκεί που λέει:
Οι μετατοπίσεις αντιμετατίθενται, οι στροφές όχι.
Ο Νίκος εννοεί τις γνωστές μετατοπίσεις στον τρισδιάστατο χώρο μας. Όχι μετατοπίσεις επίγειες.
Για παράδειγμα:
Αυτό που εννοούσα Γιάννη ήταν ότι οι ευθύγραμμες μετατοπίσεις αντιμετατίθενται.
Ετοιμάζω μια μαθηματική ανάρτηση για τις 3-Δ στροφές. Το Μέρος Ι θα το ανεβάσω σε λίγο. Θέλει στοιχειώδη θεωρία πινάκων και απλές διαφορικές εξισώσεις.
Μα αυτό λέω και εγώ ότι είπες. Μιλάς για μετατοπίσεις στον Ευκλείδειο χώρο.
Γιάννη ας συγκεντρωθούμε στις στροφές. Οι μετατοπίσεις είναι "άλλου παππά ευαγγέλιο".
Νίκο υπάρχει πρόβλημα και αυτό εντοπίζω. Δεν λέω ότι εσύ δεν έχεις καταλάβει την διαφορά.
Πρόσεξε κάτι Νίκο:
Υπάρχει η λέξη "μετατόπιση" ως όρος και ως λέξη της καθημερινής ζωής. Λέμε:
-Το πλοίο ταξίδεψε (μετατοπίστηκε) 6.000 km.
Λέξη καθημερινής ζωής. Δεν είναι διάνυσμα, δεν είναι μετατόπιση τελικά.
Ονομάζουμε "μετατόπιση" ένα διάνυσμα το οποίο είναι η διαφορά των δύο θέσεων. Αυτά δεν είναι αυτονόητα.
Αυτά εντοπίζω στα σχήματα που έκανα. Το ταξίδι του πλοίου είναι τελικά ισοδύναμο με στροφή.
Η έννοια της "ευθείας" διαφέρει στους δύο χώρους.
Δεν είπα ότι εσύ δεν καταλαβαίνεις. Το αντίθετο μάλιστα.
Ας μείνουμε στις στροφές. Δεν αντιμετατίθενται και το αντιπαράδειγμα του πρώτου μου σχολίου αυτό δείχνει.
Η κίνηση του πλοίου επιβεβαιώνει για άλλη μια φορά την μη μεταθετικότητα των στροφών. Αρκεί να τη δεις σαν γωνιακή μετατόπιση της επιβατικής ακτίνας.
Αν συμφωνείς με όσα λέω, αποδεικνύεται ότι το αλκοόλ δεν επηρεάζει την επιστημονική σκέψη.
Βέβαια επηρεάζει τις αντοχές. Γι΄ αυτό καληνύχτα.