by 
Μέσα στα πλαίσια της μελέτης των στροφών ενός αντικειμένου, δείξαμε ποιός είναι ο τελεστής μιας απειροστής στρέψης στο Μέρος Ι (https://www.dropbox.com/s/b6clvb8yk0bh79u/3D%20rotations%20I.pdf?dl=0).
Υπολογίσαμε στη συνέχεια τον τελεστή μιας πεπερασμένης στρέψης στο Μέρος ΙΙ (https://www.dropbox.com/s/pz2tuivfwhj289k/3D%20rotations%20II.pdf?dl=0)
Ο σκοπός της μελέτης, που είναι να δείξει ότι δυο διαδοχικές στρέψεις δεν αντιμετατίθενται, επιτελείται στο παρόν μέρος της μελέτης. Συγκεκριμένα, υπολογίζω τον τελεστή δυο διαδοχικών στρέψεων περί δυο καθέτων αξόνων. Αλλάζοντας τη σειρά τον στρέψεων, αλλάζει και ο τελεστής.
Η ανάλυση σε pdf εδώ.
Πάντα πολύ καλός. Θα άξιζε μια μεγαλύτερη έκταση και επεξηγήσεις.
Καλησπέρα Γιάννη.
Κατ΄ αρχήν, ξέχασα να το γράψω, σου αφιερώνω κι αυτή την ανάρτηση.
Γιάννη, κάνω οικονομία στο γράψιμο. Καταλαβαίνω ότι μερικά μαθηματικά βήματα δεν είναι τόσο προφανή όσο τουλάχιστο μου φαίνονται εμένα. Κι αν μερικοί πρέπει να ξεκινήσουν τον διανυσματικό λογισμό από την αρχή; Κάποια πράγματα πρέπει να τα θεωρούμε γνωστά.
Το γεγονός ότι χρειάζονται πολλά μαθηματικά για να φθάσεις στο συμπέρασμα είναι κάτι που δεν μπορούμε να το αποφύγουμε. Πάντως θα ήθελα να δω το αποτέλεσμα αν ακολουθούσαμε άλλο δρόμο. Θα ήταν άραγε το ίδιο;
Ευχαριστώ για την αφιέρωση.
Τα πρώτα βήματά μου σ΄ αυτό το πρόβλημα, το πρόβλημα της μεταθετικότητας, ήταν δύσκολα. Τόσο, που έμαθα πως να πολλαπλασιάζω πίνακες στο excel, αν και τελικά δε μου χρειάστηκε. Όταν σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω ευθύ γινόμενο ο δρόμος άνοιξε. Μπορούσα πια να υπολογίζω γινόμενα τελεστών.
Φυσικά το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι, άνευ αμφιβολίας, λυμένο στα μαθηματικά. Αλλά εγώ λέω, όπως ο Feynman: καταλαβαίνω κάτι όταν το βρω εγώ ο ίδιος.
Καλό μεσημέρι Νίκο.
Αρχικά θα συμφωνήσω με τον Γιάννη, σε κάποια σημεία θα μπορούσες να είσαι πιο αναλυτικός…
Σκεφτόμουν το εξής: εφ' όσον οι στροφές προκύπτουν μέσω της δράσης πινάκων σε διανύσματα και οι πίνακες δεν υπακούουν σε αντιμεταθετική άλγεβρα, δεν αποδεικνύεται απ' ευθείας το ζητούμενο;
Γειά σου Στάθη.
Τις επόμενες μέρες ίσως κάνω κάτι περισσότερο αναλυτικό.
Αφού κάθε στοφή διανύσματος συντελείται με την εφαρμογή ενός πίνακα στα διάνυσμα κι αφού, εν γένει, οι πίνακες δεν μετατίθενται, θα έπρεπε να περιμένουμε οι στροφές να μην μετατίθενται. Όμως, επειδή υπάρχει το ενδεχόμενο σε κάποιες από αυτές τις στροφές τουλάχιστον οι πίνακες να μετατίθενται, είναι παρακινδυνευμένο να βγάλουμε συμπέρασμα επικαλούμενοι την εν γένει μη μεταθετικότητα των πινάκων. Επί πλέον αυτό που έκανα δεν ήταν απλά μια απόδειξη. Προσδιόρισα τον πίνακα δυο διαδοχικών στροφών περί τα κάθετα διανύσματα u και v.
Καλησπέρα Στάθη, Γιάννη και όσοι μελετάτε τις αναρτήσεις μου.
Με την καινούργια ανάλυση που έκανα σήμερα, τα μαθηματικά των στροφών σε 3-Δ έγιναν πιο βατά. Αν υπάρχουν όμως απορίες, είμαι πρόθυμος να τις απαντήσω.
Η ανάλυση εδώ.