by 
Ένα σώμα μάζας 1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου. Το σώμα συγκρούεται στιγμιαία με άλλο κινούμενο σώμα, με αποτέλεσμα να τίθεται σε ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης:
x1=0,4∙ημ(7t), (μονάδες στο S.Ι.).
i) Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου, καθώς και η ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Ακινητοποιούμε το σώμα στη θέση x=0 και κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=Fο∙ημ(8t), όπως στο κάτω σχήμα. Το σώμα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξίσωση κίνησης:
x= 0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) (μονάδες στο S.Ι.)
α) Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας (x=0) και την ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές t1 =π/3 s και t2= π s.
β) Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σώματος τις παραπάνω στιγμές.
γ) Στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η απομάκρυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
Παρατηρούμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα. Ποια η περίοδος του διακροτήματος και πόσες ταλαντώσεις εκτελεί το σώμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο του διακροτήματος;
ή
Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση
Μια ΑΑΤ και μια σύνθετη ταλάντωση
Αφιερωμένη στους φίλους που διδάσκουν ή πρόκειται να διδάξουν αυτήν την περίοδο τη σύνθεση και ψάχνουν να βρουν ένα πραγματικό παράδειγμα σύνθεσης, δύο ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες, όπου το πρόβλημα να μην είναι καθαρά τριγωνομετρικό.
Αφιερώνεται όμως και στον φίλο Τάκη, ο οποίος μου ζήτησε ένα παράδειγμα που να ξεκαθαρίσει τι γίνεται με τη δυναμική ενέργεια στην περίπτωση που έχουμε διακρότημα.
Να διευκρινίσω ότι πρόκειται για μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση στην οποία ο διεγέρτης προσφέρει, αλλά και αφαιρεί ενέργεια, από το ταλαντούμενο σύστημα, χωρίς να επιβάλλει την συχνότητά του και που το αποτέλεσμα είναι μια κίνηση η οποία μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία δύο ταλαντώσεων, εκ των οποίων, μόνο η μία είναι ΑΑΤ!
Δείτε και μια προσομοίωση του φαινομένου:
Εξαναγκασμένη και διακρότημα
Πολύ καλή!
Αν θελήσει κάποιος να κατασκευάσει άσκηση συναφή τότε ας δώσει ως εξίσωση την:
Η σχέση που δίνεις προσεγγίζει τις ακριβείς τιμές.
Για παράδειγμα:
x=0.7.ημ8t-0.8.ημ7t ή x=0.35.ημ8t-0.4.ημ7t
κ.λ.π.
Καλησπέρα.
Εξηγήστε μου πώς γίνεται να έχουμε τις δύο ταλαντώσεις που αναφέρετε, από την στιγμή που ακινητοποιούμε το σώμα.
Ακινητοποιούμε το σώμα και κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=Fο∙ημ(8t)
Καλησπέρα
γράφει ο κ. Μάργαρης " … είναι μια κίνηση η οποία μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία δύο ταλαντώσεων, εκ των οποίων, μόνο η μία είναι ΑΑΤ! …"
Το ερώτημα όμως είναι τι μένει στον αναγνώστη
Διαβάζω λοιπόν λίγο παρακάτω το ερώτημα του κ. Κωνσταντίνου Αναστασίου : "… πώς γίνεται να έχουμε τις δύο ταλαντώσεις που αναφέρετε …."
και ποιος φταίει ;
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη, Αναστάσιε και Μήτσο σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε!
Γιάννη, την εξίσωση που έδωσες, αυτή χρησιμοποίησα για να βρω τι πλάτη θα δώσω…
Αναστάσιε, η απάντηση είναι αυτή που έδωσε ο Γιάννης παραπάνω. Άλλωστε η εκφώνηση λέει ότι:
“Ακινητοποιούμε το σώμα και κάποια στιγμή (t0=0) ασκούμε πάνω του μια οριζόντια μεταβλητή δύναμη της μορφής F=Fο∙ημ(8t)”
Έχουμε μια κίνηση η γραφική παράσταση της οποίας δίνεται παρακάτω. Αυτή η γραφική παράσταση έχει συνάρτηση η οποία δίνεται ως η εξίσωση κίνησης:
x= 0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) (μονάδες στο S.Ι.)
και για τη μελέτη της, χρησιμοποιούμε την αρχή της επαλληλίας, θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί δύο ταλαντώσεις…
Μήτσο, ποιος φταίει; Έγραψα κάτι λάθος που θέλει διόρθωση; Αν ναι, να το κάνω, δεν έχω πρόβλημα!
Γειά σου Διονύση
Κάθε άλλο εσύ γράφεις : μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία (εξισώσεων δεν έγραψες αλλά δεν είναι εκεί το θέμα ) ταλαντώσεων
Η κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση χ=e^(-t) μπορεί ναμ ελετηθεί πιο εύκολα μέσω της εξίσωσης
x= 1+ x +(1/2)(x^2) + (1/6)(x^3)+(1/24)(x^4) με 5 όρους
αλλά κανείς δεν θα πεί πως είναι αποτέλεσμα 5 κινήσεων ( ή για την ακρίβεια άπειρων από τους οποίες οι 5 είναι οι καθοριστικές για την ακρίβεια των μετρήσεων μας )
Εντάξει κάθε όρος αντιστοιχεί σε κάποια κατάσταση κινητική αλλά η κίνηση είναι ΜΙΑ όπως και εσύ τονίζεις.
Στο θέμα μας : Δεν έχουμε δυο ταλαντώσεις που συντίθενται αλλά μια ταλάντωση που περιγράφεται και μέσω δυο εξισώσεων
Πρέπει κάποτε να σταματήσουμε να μπερδεύουμε το πλήθος των όρων μιας εξίσωσης μιλώντας για πλήθος κινήσεων …
Θα διαιωνίζεται μάλλον αυτό το θέμα.
Ευχαριστώ για την απάντηση Μήτσο.
Το πρόβλημα θα διαιωνίζεται, συμφωνώ.
Αλλά και η αυστηρή θεώρηση, ότι η κίνηση είναι μία και δεν χωρά καμιά άλλη συζήτηση, είναι αδιέξοδη. Δεν ξεκαθαρίζει καθόλου την κατάσταση.
Πάμε στο συγκεκριμένο.
Η κίνηση είναι μία με εξίσωση την x= 0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) .
Και με ρωτάει ο φίλος Τάκης. Έχουμε δυναμική ενέργεια και πόση είναι αυτή;
Πώς μπορεί να απαντηθεί ένα τέτοιο ερώτημα, αν όχι με το να αποδώσεις δυναμική ενέργεια, την οποία να συνδέσεις με τη δύναμη επαναφοράς, η οποία με τη σειρά της παραπέμπει στη γωνιακή ιδιοσυχνότητα ωο (μην βλέπεις το πρώτο ερώτημα που έδωσα. Το έβαλα για σκαλοπάτι… Πες ότι λείπει.)
Η θεώρηση της κίνησης ως "σύνθεση δύο ταλαντώσεων" αναδεικνύει την "έρπουσα" ΑΑΤ και διευκολύνει τη λογική ερμηνεία…
Καλησπέρα κύριε Μάργαρη .Θεωρούμε οτι ω=(ω1+ω2)/2 επειδή παρατηρούμε απο τη Γ.Π. οτι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα;
Καλησπέρα Γιάννη.
Μήπως θα πρέπει να γράψω κ. Σπανέ;
(Για να μην πω ότι με κάνεις να νιώθω ..πολύ μεγαλύτερος, έως ντιπ! γέρος…)
Πάμε στο ερώτημα.
Υπάρχει ένα πρόβλημα, σε σχέση με τη θεωρία του σχολικού. Εκεί μελετάμε τη σύνθεση, όταν οι δύο "ταλαντώσεις" έχουν το ίδιο πλάτος.
Εδώ δεν συμβαίνει αυτό.
Υπήρχαν δυο δρόμοι. Ο ένας ήταν να χρησιμοποιήσω κάμποση Τριγωνομετρία, για να μετασχηματίσω την εξίσωση κίνησης και να πάρει τη μορφή:
x= Aσυν(ωt+φ).ημ(ω΄t+θ)
μέσω της οποίας θα προέκυπτε η μέση συχνότητα. Δεν μπήκα στη λογική να το κάνω, αφού η σχετική απόδειξη με είχε ταλαιπωρήσει σαν μαθητή και δεν ήθελα να αναπαραγάγω μια δύσκολη τριγωνομετρική απόδειξη.
Η λύση που επέλεξα λοιπόν, ήταν να δώσω το γράφημα, το οποίο παραπέμπει στο σχολικό βιβλίο και στο διακρότημα που μελετά, οπότε χρησιμοποίησα στη συνέχεια τη θεωρία για τη μέση συχνότητα…
Ενώ για την εύρεση της περιόδου του διακροτήματος κατέφυγα στη διαφορά φάσης και στα περιστρεφόμενα…
Κύριε Μάργαρη.
α) Αν η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές πώς θα εξηγήσουμε πώς προέκυψε η εξίσωση x=0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) και ιδιαίτερα οι συντελεστές μπροστά στα ημίτονα;
β) Αν η άσκηση προορίζεται για απλοποίηση του φυσικού φαινομένου, θα ήθελα να εξηγηθεί ΓΙΑΤΙ η συγκεκριμένη προσέγγιση την απλοποιεί.
Κύριε Γκενέ, αναφέρετε ότι:
«Η κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση χ=e^(-t) μπορεί ναμ ελετηθεί πιο εύκολα μέσω της εξίσωσης:
x= 1+ x +(1/2)(x^2) + (1/6)(x^3)+(1/24)(x^4) με 5 όρους
αλλά κανείς δεν θα πεί πως είναι αποτέλεσμα 5 κινήσεων (ή για την ακρίβεια άπειρων από τους οποίες οι 5 είναι οι καθοριστικές για την ακρίβεια των μετρήσεων μας»
Τελικά μπορεί να θεωρηθεί ο κάθε όρος κίνηση ή όχι; Γιατί γράφετε χαρακτηριστικά ότι ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ 5 όρων, αλλά παράλληλα πιστεύετε ότι:
«Δεν έχουμε δυο ταλαντώσεις που συντίθενται αλλά μια ταλάντωση που περιγράφεται και μέσω δυο εξισώσεων
Πρέπει κάποτε να σταματήσουμε να μπερδεύουμε το πλήθος των όρων μιας εξίσωσης μιλώντας για πλήθος κινήσεων …
Θα διαιωνίζεται μάλλον αυτό το θέμα.»
Από ποιον διαιωνίζεται το θέμα τελικά;
Καλημέρα κ. Αναστασίου.
Ρωτάτε:
"α) Αν η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές πώς θα εξηγήσουμε πώς προέκυψε η εξίσωση x=0,27∙ημ(7t) – 0,3∙ημ(8t) και ιδιαίτερα οι συντελεστές μπροστά στα ημίτονα;"
Γιατί θα πρέπει να εξηγηθεί στους μαθητές πώς προέκυψε η εξίσωση; Από πότε εξηγούμε στους μαθητές το πώς προκύπτει μια εξίσωση κίνηση που τους δίνουμε; Όταν το σχολικό βιβλίο γράφει:
Έστω ότι το σώμα Σ μετέχει στις ταλαντώσεις
x1=Aημωt x2=Aημ(ωt+φ)
Εξηγεί πώς το σώμα μετέχει στις δύο παραπάνω ταλαντώσεις;
Εσείς προσωπικά πώς εξηγείτε αυτήν την συμμετοχή;
Παραπάνω έδωσα συγκεκριμένο τρόπο που πραγματοποιείται το φαινόμενο που δόθηκε. Το σώμα είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου και δέχεται μια εξωτερική αρμονική δύναμη. Αυτή είναι η περιγραφή και αυτή οδηγεί στη γραφική παράσταση που δόθηκε και που αποδεικνύει ότι έχουμε μια κίνηση που εμφανίζει διακροτήματα.
Μπορείτε εσείς να μας δώσετε μια αντίστοιχη περιγραφή πώς βάζετε ένα σώμα να μετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις; Μπείτε στον κόπο να μας δώσετε μια αντίστοιχη περιγραφή, του μηχανισμού πραγματοποίησης μιας τέτοιας κίνησης.
Όσον αφορά τους συντελεστές, στους μαθητές θα έλεγα ότι αυτό βγάζουν τα μαθηματικά και θα το σταματούσα εκεί. Σε συνάδελφο θα έλεγα ότι αυτό δίνει η διαφορική εξίσωση μιας εξαναγκασμένης χωρίς απόσβεση.
β) Αν η άσκηση προορίζεται για απλοποίηση του φυσικού φαινομένου, θα ήθελα να εξηγηθεί ΓΙΑΤΙ η συγκεκριμένη προσέγγιση την απλοποιεί.
Το αν απλοποιεί κάτι ή όχι, είναι υποκειμενικό θέμα. Αυτό που θα απαντούσα είναι το εξής:
Δίνεται στην παραπάνω γραφική παράσταση, μια θέση όπου το σώμα έχει απομάκρυνση 0,2m :
Αν σας ρωτήσει ένας μαθητής, πόση είναι η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης στη θέση αυτή, τι απάντηση θα του δώσετε;
Καλημέρα Διονύση.Πολύ όμορφη άσκηση.
Ακινητοποιούμε το σώμα και κάποια στιγμή t0 ασκούμε αρμονική δύναμη. Προφανώs η ακινητοποίηση γίνεται στη θέση ισορροπίαs χ=0.Το ρωτώ γιατί η εκφώνηση δεν το διευκρινίζει.