by 
Ερώτηση προς τους φίλους Φυσικούς και διδάσκοντες τη Φυσική:
Αν θέλει κάποιος να εισαγάγει την κυματοσωματιδιακή φύση του φωτός, συνήθως ξεκινά από φαινόμενα που ερμηνεύονται κυματικά ώστε να μιλήσει για μήκος κύματος και συχνότητα (συμβολή, περίθλαση), μετά από φαινόμενα που ερμηνεύονται σωματιδιακά (πίεση ακτινοβολίας, φωτοηλεκτρικό φαινόμενο) για να εξηγήσει οτι το φως μεταφέρει ενέργεια και ορμή και στη συνέχεια θέτει ένα ερώτημα του κατα πόσο είναι συμβατά αυτά τα δύο — ενδεχομένως παραθέτοντας το πείραμα της διπλής οπής για μονήρη φωτόνια.
Η ερώτηση είναι:
Το πιο άμεσο παράδειγμα που έχουν τα παιδιά αναφορικά με τα κύματα είναι τα “θαλάσσια κύματα” που παρατηρούν, στα οποία έχουμε και μεταφορά μάζας. Ένα θαλάσσιο κύμα μπορεί να με “πετάξει έξω”. Τα “ξεμπερδεύουμε” όταν τους διαχωρίζουμε τις κυματικές ιδιότητες από τις σωματιδιακές κατα τον παραπάνω τρόπο, ή διαιωνίζουμε την παπαγαλεία και τυχόν παρανοήσεις που μπορεί να έχουν;
Θα διάβασες ίσως ότι ο καθηγητής Χαρίτων Πολάτογλου ζητά από του να απαντήσουν σε ερωτήσεις που προκύπτουν από την προσομοίωση του Ηλία Σιτσανλή. Να υποθέσω ότι οι προμηθεύτηκαν μαλαματίνα;
Σε μια συζήτηση διαβάζουμε όλα όσα παρατίθενται.
Καλημέρα παιδιά.
Βλέπω προετοιμαζόμαστε για τη νέα ύλη που (ελπίζουμε!!!!) να μπει σύντομα σε διδασκαλία;
Πολύ καλές οι παραπομπές που έδωσες Γιάννη…
Γιάννη, Διονύση και λοιποί, καλημέρα.
Γιάννη, δεν μπορεί κάποιος να ξαναμάθει αύτά που ξέρει. Σε κβαντικές συζητήσεις που κάναμε σ΄ αυτό το δίκτυο προσπαθούσα να σας πείσω ότι το φωτόνιο ή το ηλεκτρόνιο δεν συμπεριφέρονται άλλοτε σαν σωματίδια και άλλοτε σαν κύματα. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι συμπεριφέρονται σαν κύματα, αλλά αν ο παρατηρητής εξετάσει αν το φωτόνιο πέρασε από μια τρύπα, όπως θα έκανε ένα σωματίδιο, βρίσκει είτε ότι πέρασε είτε ότι δεν πέρασε. Το φωτόνιο είναι κύμα αλλά ο παρατηρητής το μετέτρεψε σε σωματίδιο. Κι αυτό δεν οφείλεται στη δράση του οργάνου της παρατήρησης. Δεν υπάρχει καμία νοητή εξήγηση. Είναι σαν να καταλαβαίνει το φωτόνιο ότι παρατηρείται και δρα ανάλογα. Αυτό που έγραψα στο τέλος της απάντησής μου στο Μανώλη σ΄ αυτή τη συζήτηση ήταν:
Το φωτόνιο δεν είναι και τα δύο ταυτόχρονα. Το φωτόνιο είναι κύμα, αλλά το πέτασμα το βλέπει ένας παρατηρητής. Το φωτόνιο από "μη παρατηρούμενο" γίνεται "παρατηρούμενο". Και τότε μετατρέπεται σε σωματίδιο.
Και ο επιστήμονας που πυροβολεί τις σχισμές στο βίντεο του Γιάννη κατέληξε στη φράση:
The observer collapsed the wave-function simply by observing it"
Κι αφού Διονύση, αυτή θα είναι η νέα ύλη, θα ήθελα να σε ρωτήσω:
1. Εσύ που θα διδάξεις αυτά τα πράγματα στους μαθητές, τα γνωρίζεις; Γνωρίζεις ότι "ο παρατηρητής κατέστρεψε το κύμα γιατί πήγε να το παρατηρήσει;" (εντάξει, το "εσύ" δεν αναφέρεται σε σένα).
2. Ας πούμε ότι το γνωρίζεις κι ο μαθητής σηκώνει χέρι και ρωτά "μα πως γίνεται αυτό Κύριε;" Τι θα του απαντήσεις;
Όταν διάβαζα το παράδειγμά σου με τα χελωνάκια Γιάννη, το μυαλό μου πήγε κατευθείαν στη διάλεξη που είχε δώσει ο Feynman στην Καραιβική ( σε κάποιο νησί τέλος πάντων) στο ευρύ κοινό. Τους μιλούσε για διανύσματα που μετατοπίζονται στον χώρο ενώ παράλληλα περιστρέφονται. Ήθελε να κάνει απτά τα μαθηματικά της QED. Αλλά επειδή είχε κάποιες αμφιβολίες ότι το εγχείρημά του θα πετύχαινε, θα αποζημιόνονταν για την απόφασή του να μεταβεί στην Καραιβική απολαμβάνοντας την ωραία θάλασσα των νησιών αυτών. Αλλά, χτες αργά μετά τις 12, έχοντας καταναλώσει 500 ml malamatina, δεν είχα διάθεση να σου απαντήσω με Feynman. Το βιβλίο QED του Feynman ήταν αυτές οι διαλέξεις (κρίνοντας από την κυκλοφορία του βιβλίου, αποζημιώθηκε καλά ο Dick).
Και το παράδειγμα με τα χελωνάκια, και το βίντεο με το καθηγητή που πυροβολεί τις σχισμές και οι προσομοιώσεις του Σιστανλή καλά είναι, αλλά για τους αρχάριους.
Γιάννη, όταν ένας καθηγητής προσπαθεί να διδάξει μέσω κβαντικής ηλεκτροδυναμικής τους νόμους ανάκλασης του φωτός σε μικρούς μαθητές και για το σκοπό αυτό χρησιμοποιεί προσομοιώσεις διανυσματικής ανάλυσης χωρίς οι μαθητές αυτοί να έχουν την παραμικρή ιδέα σε τι αναφέρονται αυτά τα διανύσματα, αφού οι μαθητές μπορούν να συσχετίσουν τα διανύσματα με δυνάμεις μόνο, το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής:
Να προσδιοριστεί η επί τοις εκατό περιεκτικότητα σε αλκοόλ του ποτού που κατανάλωσαν.
Νίκο να απαντήσω ξεχωριστά στα σχόλιά σου. Στο πρώτο:
Την προσέγγιση αυτήν την παρουσιάζει ο Feynman. Θα του προσάψεις ότι τα έτσουζε;
Έχεις διαβάσει το βιβλίο του;
Οι Πολάτογλου και Σιτσανλής θεωρείς ότι αστόχησαν θέλοντας να πουν κάτι μέσω αυτής της οδού;
Διαβάζεις όλες τις παραπομπές σε μια συζήτηση, ή λες ότι έχεις ήδη σκεφτεί;
Πάμε πιο κάτω:
Εγώ δεν απευθύνομαι σε μικρούς μαθητές αλλά σε συναδέλφους. Δοκίμασα να πω (με επιτυχία ή όχι) πως κάποια σωματίδια βρίσκονται σε κάποιες θέσεις με κάποια πιθανότητα για κάθε θέση. Έτσι σε πολλές θέσεις θα έχουμε αυξημένες συγκεντρώσεις σωματιδίων. Η αρμονική μεταβολή της συγκέντρωσης οδηγεί σε εικόνα που μοιάζει με συμβολή.
Τα βελάκια θα μπορούσα να μην τα είχα αναφέρει. Αυτά είναι το πρόβλημα;
Νίκο λες:
Το φωτόνιο δεν είναι και τα δύο ταυτόχρονα. Το φωτόνιο είναι κύμα, αλλά το πέτασμα το βλέπει ένας παρατηρητής. Το φωτόνιο από "μη παρατηρούμενο" γίνεται "παρατηρούμενο". Και τότε μετατρέπεται σε σωματίδιο.
Προτιμώ τη θέση του Θρασύβουλου με τις πιθανότητες. Αυτά τα "μετατρέπεται" μοιάζουν μεταφυσικά, αν δεν είναι περίφραση.
Έστω ας δεχθούμε ότι είπες. Τι θα πούμε για τα ηλεκτρόνια; Θα πούμε:
Το ηλεκτρόνιο δεν είναι και τα δύο ταυτόχρονα. Το ηλεκτρόνιο είναι κύμα, αλλά το πέτασμα το βλέπει ένας παρατηρητής. Το ηλεκτρόνιο από "μη παρατηρούμενο" γίνεται "παρατηρούμενο". Και τότε μετατρέπεται σε σωματίδιο.
Θα προσυπέγραφες κάτι τέτοιο;
Θα χαρακτήριζες "κύμα" το ηλεκτρόνιο;
Λες μετά:
Και το παράδειγμα με τα χελωνάκια, και το βίντεο με το καθηγητή που πυροβολεί τις σχισμές και οι προσομοιώσεις του Σιτσανλή καλά είναι, αλλά για τους αρχάριους.
Το θέμα μας δεν είναι το ποιος είναι αρχάριος. Δεν συζητάμε για να δείξουμε το επίπεδο των γνώσεών μας.
Η διαφορά αρχαρίου-προχωρημένου φαίνεται από το πόσο απλά μιλάει. Πάρε τον Feynman. Ακριβώς επειδή είναι βαθύς γνώστης μπορεί και μιλάει με απλά λόγια για τα θέματα αυτά. Ένας τριτοετής δεν μπορεί να μιλήσει έτσι. Θα πλακώσει τα Μαθηματικά διότι μόνο έτσι μπορεί να μιλήσει. Ακριβώς διότι είναι αρχάριος. Όσο πιο αρχάριος είσαι τόσο συνθετότερη γλώσσα χρησιμοποιείς.
Το έχουμε δει και σε θέματα Σχετικότητας. Ο Αϊνστάιν γράφει απλά και ο αρχάριος τριτοετής πλακώνει τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ. Δεν έχει γνώση, δεξιότητες έχει.
Ο βαθύς γνώστης έχει την ικανότητα να μιλάει πολλές γλώσσες. Μία "δύσκολη" όταν κ=μιλά με ερευνητές και μια απλή όταν εξηγεί σε κοινούς ανθρώπους κάτι. Αυτό Νίκο είναι δύσκολο και θέλει και γνώση και αίσθηση και ικανότητες.
Διατυπώνω αυτό που πιστεύω. Το ότι δηλαδή η πιθανοκρατική φύση του μικρόκοσμου επιβάλλει συγκεντρώσεις διαφορετικές σε κάθε σημείο. Οι συγκεντρώσεις αυτές είναι εν προκειμένω ημιτονικές. Ημιτονική είναι και η μεταβολή της έντασης σε μια συμβολή. Έτσι υπάρχει μια αναλογία. Αναλογία όμως που δεν καθιστά τα ηλεκτρόνια, τα χελωνάκια και τα φωτόνια κύματα.
Γιάννη είναι η πιο κατάλληλη ώρα να σου μιλήσω για το Ph. D. μου που έγινε στο Liverpool University. Είναι Φασματοσκοπία επιφανειών μονοκρυστάλλων με τη μέθοδο L.E.E.D. Το LEED σημαίνει: Low Energy Electron Diffraction (Περίθλαση Ηλεκτρονίων Χαμηλής Ενέργειας). Τα ηλεκτρόνια χαμηλής ενέργειας περιθλώνται από την περιοδική διάταξη των δομικών λίθων της επιφάνειας του κρυστάλλου. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνολο από δέσμες ηλεκτρονίων που πέφτουν σε μια ημισφαιρική οθόνη αφήνοντας πράσινες κουκίδες.
Ασφαλώς οι μόνες οντότητες που έχουν την ικανότητα να περιθλαστούν είναι τα κύματα. Και βέβαια η λύση της εξίσωσης του Σρέντιγκερ είναι κύμα και, αν V=0, είναι αρμονικό κύμα.
Όλα τα σωματίδια είναι κύματα, είτε έχουν μάζα είτε όχι. Οι σύγχρονοι φυσικοί προτιμούν τη λέξη "πεδίο" αντί για "κύμα". Τα σωματίδια που ξέρουμε δεν είναι τίποτα άλλο παρά οι φορείς του πεδίου τους. Το Higgs Boson είναι ο φορέας του πεδίου Higgs.
Φαίνεται ότι δεν συμφωνείς με την άποψη της κβαντομηχανικής που εκφράζω. Εκφράζω απλά την ερμηνεία της κβαντομηχανικής της σχολής της Κοπεγχάγης (Heisemberg, Bohr…). Υπάρχουν και οι αρνητές της (Einstein, Schroedinger ας μην πω και Machairas). Ο καθηγητής που με έβαλες να παρακολουθήσω (που έκανε τα πειράματα με τις δυο σχισμές και τα μπαλάκια) εξέφραζε ακριβώς αυτή την άποψη.
Γιάννη δεν υπάρχει τρόπος να παρουσιάσεις την κβαντική ηλεκτροδυναμική χωρίς μαθηματικά. Κι ο Feynman με τα στρεφόμενα διανύσματα τα μαθηματικά της ήθελε να δώσει. Αλλά, αμφιβάλλω αν κατάλαβε κανένας. Εκλαικευμένα μαθηματικά δεν υπάρχουν.
Νίκο δεν έχω εντρυφήσει στην Κβαντομηχανική. Διδάχθηκα στο τρίτο έτος και συμπληρώνω τις γνώσεις μου όταν μπορώ.
Δεν μπορώ φυσικά να διαφωνήσω με κολοσσούς. Θα ήταν ανόητο εκ μέρους μου. Αντιλαμβάνομαι την έκφραση "Όλα τα σωματίδια είναι κύματα" ως "Η συμπεριφορά τους περιγράφεται με κυματικές εξισώσεις". Τούτο δε διότι η πιθανότητα εύρεσής τους σε μία θέση υπολογίζεται από εξίσωση μαθηματικά όμοια με κυματική εξίσωση.
Η θεωρία των πιθανοτήτων μπορεί να εξηγήσει το γιατί η παρατήρηση προκαλεί τροποποιήσεις συμπεριφοράς.
Τι άλλο εννοούμε λέγοντας ότι "Όλα τα σωματίδια είναι κύματα" ;
Ένα ηλεκτρόνιο αποφασίζει να γίνει κύμα και να συμβάλει με τον εαυτό του ή ένα ηλεκτρόνιο τοποθετείται σε κάποια θέση με κάποια πιθανότητα και οι θέσεις των ηλεκτρονίων θυμίζουν προϊόντα συμβολής;
Για το τελευταίο ¨Εκλαϊκευμένα Μαθηματικά δεν υπάρχουν" να συμφωνήσω. Μια επιστήμη είναι αυτή που είναι. Όμως υπάρχουν εκλαϊκεύσεις σε επιστήμες. Υπάρχουν ποιοτικές προσεγγίσεις θεμάτων που μπορούν να παρουσιαστούν σε πολλά επίπεδα.
Οι Αϊνστάιν , Ίνφελντ (εξέλιξη των ιδεών στη Φυσική) , Feynman, Hawking και πολλοί άλλοι το κατάφεραν. Ο Wiener γράφει δυο βιβλία για την Κυβερνητική. Ένα καθαρά μαθηματικό και ένα άκρως εκλαϊκευμένο. Δεν θα ισχυρισθεί ένας λογικός άνθρωπος ότι τα βιβλία αυτά θα χρησιμοποιηθούν από φοιτητές για να σπουδάσουν. Όμως δεν χάνουν ούτε την σοβαρότητα ούτε την αξιοπιστία τους.
Είναι περίεργο το να αμφισβητούμε την αξιοπιστία του Feynman όταν γράφει την εκλαϊκευμένη QED ως εάν ήταν μια μπούρδα δημοσιευμένη σε περιοδικό ποικίλης ύλης. Δεν είναι η φόρμα που προσδίδει σοβαρότητα.
Ο Αϊνστάιν γράφει σοβαρά πράγματα στο βιβλίο που προανέφερα. Η απουσία Μαθηματικών δεν αφαιρεί την αξιοπιστία όσων παρουσιάζει.
Μου ξέφυγε άλλο ένα λάθος σου:
Γιάννη δεν υπάρχει τρόπος να παρουσιάσεις την κβαντική ηλεκτροδυναμική χωρίς μαθηματικά.
Αν έκανες λάθος στην έκφραση να πάω πάσο. Κάνω και εγώ λάθη πολλά. Αν το πιστεύεις όμως κάνεις λάθος.
Αν ήθελες να πεις:
Γιάννη δεν υπάρχει τρόπος να μελετήσεις την κβαντική ηλεκτροδυναμική χωρίς μαθηματικά.
θα συμφωνήσω και θα πλειοδοτήσω.
Και όχι μόνο αυτήν. Ουδέν τμήμα της Φυσικής μπορείς να μελετήσεις χωρίς μαθηματικά. Αυτά είναι αυτονόητα.
Όμως λες "δεν υπάρχει τρόπος να παρουσιάσεις". Υπάρχει και στο προηγούμενο σχόλιο αναφέρθηκα σε παρουσιάσεις εκλαϊκευμένες και απόλυτα επιτυχημένες. Το παρουσιάζω έχει άλλο νόημα από το "εντρυφώ" και το "διδάσκω".
Δείτε και εδώ (μεταβείτε στο 4:14) :
https://www.youtube.com/watch?v=Iuv6hY6zsd0
Επίσης :
https://www.youtube.com/watch?v=iVpXrbZ4bnU
https://www.youtube.com/watch?v=kKdaRJ3vAmA
Έστω μια δέσμη 100 ηλεκτρονίων. Ο καθένας μπορεί να φαντάζεται 100 σημειακά σωματίδια να τρέχουν στο χώρο. Αλλά δεν είναι αυτό. Πρόκειται για μια μιγαδική συνάρτηση που έχει 100 χωρικά ορίσματα και έχει κάποια συμμετρία ως προς την αντιμετάθεση των ορισμάτων και έχει επίσης άλλες συμμετρίες (πχ ως προς τις μεταθέσεις). Εχει και κάποιες άλλες ιδιότητες (πχ μαζά και φορτίο). Τα ηλεκτρόνια δεν διακρίνονται μεταξύ τους. Δεν μπορούν να πάρουν ετικέτες, όπως ηλεκτρόνιο#1, Σωκράτης ή Αγησίλαος. Μπορούμε μόνο να πούμε πόσα ηλεκτρόνια έχει, τα οποία αποτελούν μια ενότητα. Όταν το ένα από αυτά χαθεί, δεν μπορούμε να πούμε ποιό χάθηκε.
Τα ηλεκτρόνια, τα φωτόνια κλπ έχουν κυματοσυναρτήσεις αλλά δεν έχουν πιθανότητες. Την έννοια της πιθανότητας να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε μια περιοχή του χώρου την εισήγαμε ο Max Born σαν απάντηση στον Einstein ο οποίος, λίγο μετά την διατύπωση της κβαντομηχανικής, αντέδρασε λέγοντας ότι η κυματοσυνάρτηση δεν έχει φυσική σημασία. Του απάντησε ο Born λέγοντας ότι η πιθανότητα να εντοπιστεί πειραματικά το ηλεκτρόνιο σε μια περιοχή του χώρου είναι το χωρικό ολοκλήρωμα του τετραγώνου του μέτρου του ψ(r) σ΄ αυτή την περιοχή.
Αλλά στην κβαντομηχανική η μόνη πιθανότητα για την οποία μπορούμε να μιλάμε είναι η πιθανότητα πειραματικού εντοπισμού. Το πείραμα, για την ακρίβεια η παρατήρηση, εντοπίζει το ηλεκτρόνιο, αλλά το σημείο που το εντοπίζει δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Πλήρης κατάργηση της αιτιοκρατίας. Το ηλεκτρόνιο θα εντοπιστεί κάπου, αλλά εκεί που θέλει αυτό. Κανείς δεν μπορεί να προβλέψει που. Μόνο η πιθανότητα μπορεί να προβλεφτεί.
Στο χρονικό διάστημα από την εκτόξευσή του μέχρι την παρατήρησή του το ηλεκτρόνιο δεν είναι πουθενά. Κατά τον Feynman σ΄ αυτό το χρονικό διάστημα το ηλεκτρόνιο ακολουθεί όλους τους δυνατούς δρόμους από το σημείο εκκίνησηςμέχρι το σημείο εντοπισμού. Ομως σ΄ αυτές τις άπειρες τροχιές υπάρχει μια δέσμη τροχιών που συμβάλλουν σε φάση. Έτσι το ηλεκτρόνιο είναι πολύ πιθανότερο να είναι μέσα σ΄ αυτή τη στενή δέσμη παρά να ακολουθήσει κάποια άλλη τροχιά.
Η αλήθεια είναι Γιάννη ότι και χωρίς μαθηματικά κάτι μπορείς να πείς. Αλλά τελείως ποιοτικά.
Να καταλάβω κάτι. Λες:
Κατά τον Feynman σ΄ αυτό το χρονικό διάστημα το ηλεκτρόνιο ακολουθεί όλους τους δυνατούς δρόμους από το σημείο εκκίνησης μέχρι το σημείο εντοπισμού. Όμως σ΄ αυτές τις άπειρες τροχιές υπάρχει μια δέσμη τροχιών που συμβάλλουν σε φάση.
Ακολουθεί όλους τους δρόμους το ίδιο ηλεκτρόνιο ή κάθε ηλεκτρόνιο ακολουθεί έναν δρόμο με κάποια πιθανότητα;
Πρόκειται για κύματα ή για "κύματα" πιθανοτήτων;
Κώστα τα είχε κρατήσει η σπαμοπαγίδα γιατί είχες πάνω από 2 παραπομπές …
Γιάννη, το ηλεκτρόνιο είναι κυματοσυνάρτηση. Δεν είναι "κύμα πιθανότητας". Είναι προτιμότερο να το σκεφτόμαστε σαν μαθηματική οντότητα παρά να του δίνουμε φυσική σημασία. Είναι μια μαθηματική οντότητα με μάζα και φορτίο. Έτσι και το φωτόνιο, αλλά χωρίς μάζα και φορτίο αυτό.
Μια άλλα ιδιότητα που έχουν τα σωματίδια είναι το σπιν και, βέβαια, η στροφορμή αλλά μόνο σε κεντρικά δυναμικά. Η στροφορμή και το σπιν δεν εκφράζουν τίποτε άλλο παρά τις ιδιότητες συμμετρίας της κυματοσυνάρτησης σε στροφές. Τα σωματίδια με φορτίο έχουν και μαγνητική ροπή που σχετίζεται με το σπιν.
Στην ερώτηση που έκανες η απάντηση είναι ότι το ίδιο ηλεκτρόνιο ακολουθεί όλους τους δυνατούς δρόμους ταυτόχρονα. Καθένας από αυτούς χαρακτηρίζεται από ένα πλάτος που είναι μιγαδική ποσότητα.
Μου αρέσει πολύ η εξέλιξη αυτής της συζήτησης.
Εδώ θα ήθελα να συνεισφέρω το εξής: Για να δώσουμε οριστική απάντηση στο τι είναι το ηλεκτρόνιο ή το φωτόνιο, θέλουμε κβαντική θεωρία πεδίου. Μια ωραία εισαγωγή με εύπεπτο τρόπο και αρκετό είναι εδώ https://www.youtube.com/watch?v=zNVQfWC_evg (ή αν θέλουμε πολύ κούνημα χεριών και μικρότερο χρόνο πάμε εδώ: https://www.youtube.com/watch?v=FBeALt3rxEA). Αυτό έχει από πίσω του τόμους μαθηματικών, αλλά κατα βάση μας λέει οτι το κάθε σωμάτιο είναι διέγερση ενός πεδίου το οποίο διέπει το σύμπαν. Το πεδίο του ηλεκτρονίου όταν διεγερθεί μας δίνει ηλεκτρόνιο κλπ.
Η έννοια του σωματιδίου συμπίπτει με την ένοια της πεπερασμένης έκτασης στο χώρο και της μεταφοράς ενέργειας κι ορμής, ενώ του κύματος μας μιλά για άπειρη (το μονοχρωματικό) έκταση στο χώρο.
Αν σε ένα μονοχρωματικό κύμα προσθέσω άπειρα κύματα διαφορετικών συχνοτήτων, φτιάχνω ένα κυματοπακέτο τέλεια εντοπισμένο στο χώρο, με άπειρη αβεβαιότητα στην ενέργεια. Αντίστοιχα, αν έχω άπειρη βεβαιότητα στην ενέργεια έχω άπειρη αβεβαιότητα στη θέση άρα άπειρη έκταση στο χώρο. Αυτό μας λέει η αρχή της αβεβαιότητας σε γενικές γραμμές.
Το ερώτημα είναι, θά 'πρεπε να το διδάσκουμε; Και αν ναι πώς;