by 
Ένα σώμα μάζας m ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0, δέχεται την επίδραση μιας μεταβλητής οριζόντιας δύναμης,η τιμή της οποίας μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο παρακάτω σχήμα,
οπότε αναπτύσσεται τριβή μεταξύ σώματος και δαπέδου, με μέγιστη τιμή Τορ=Τολ=10Ν.
- Ποιος ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος (μόλις δεχτεί την δύναμη F);
- Να υπολογιστεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t1=4s.
- Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t2=8s;
- Να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη F μεταφέρει ενέργεια στο σώμα, τη χρονική στιγμή t3=16s, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική εξαιτίας της τριβής, την ίδια στιγμή, αν το σώμα έχει μάζα m=2kg.
Δίνεται g=10m/s2.
ή
Μια μεταβλητή δύναμη μετακινεί ένα σώμα
Μια μεταβλητή δύναμη μετακινεί ένα σώμα
Πολύ καλή άσκηση.
Τα δύο διαγράμματα δύναμης θα μπορούσαν να ενσωματωθούν σε ένα, ή κάνω λάθος;
Σε ένα στο οποίο η ΣF μηδενίζεται από 8 ως 12.
Μια παρατήρηση:
Συχνά μιλάς για "αριθμητική ισότητα με το εμβαδόν". Τώρα λες "ένα εμβαδόν δεν είναι αρνητικό".
Δηλαδή εμβαδόν έχει μόνο ένα χωράφι ή ένα δάπεδο;
Το ολοκλήρωμα είναι εμβαδόν (γενικευμένο και για αρνητικούς) ή είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν;
Ο Αλεξόπουλος μιλάει για ισότητα κάποιου μεγέθους με το εμβαδόν και όχι αριθμητική ισότητα. Έτσι πιτσιρικόθεν είχα συνηθίσει το "είναι το εμβαδόν" και μπερδεύομαι.
Καλημέρα Γιάννη και σε ευχαριστώ.
Για το ένα διάγραμμα. Προφανώς το θέμα τελειώνει με ένα διάγραμμα από την αρχή μέχρι το τέλος.
Αν το έκανα, το όλο πρόβλημα θα γινόταν βουνό, τριπλάσιου ύψους
Τώρα για τα εμβαδά.
Νομίζω ότι στα μαθηματικά υπάρχουν μόνο θετικά εμβαδά.
Υπάρχουν αρνητικά ολοκληρώματα, αλλά όχι εμβαδά (τουλάχιστον αν δεν το έχουν αλλάξει τα τελευταία χρόνια…)
Έτσι αν έχουμε ένα διάγραμμα, όπως για παράδειγμα του σχήματος:
Τότε η μετατόπιση του σώματος, μπορεί να υπολογιστεί:
Με ολοκλήρωμα:
Με εμβαδά. Το εμβαδόν και των δύο τριγώνων είναι θετικό. Είτε το χωρίον είναι πάνω είτε είναι κάτω από τον άξονα .
Αλλά τότε η μετατόπιση δεν είναι το άθροισμα των δύο εμβαδών, αλλά η διαφορά τους. Δηλαδή γράφουμε:
Ο Αλεξόπουλος γιατί έγραφε "είναι το εμβαδόν".
Αυτά φυσικά δεν προκαλούν παρανοήσεις. Όμως το εμβαδόν ενός χωρίου εξαρτάται από το αν το σύστημά σου είναι ορθοκανονικό.
Δέχτηκα κάποτε ερώτηση:
-Είπατε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε εμβαδά ορθογωνίων, τριγώνων και τραπεζίων. Κύκλων ή τετραγώνων;
Άλλη φορά μίλησαν για Πυθαγόρειο στο υ-t.
Προτιμώ να μιλώ για "εμβαδά" δηλαδή ολοκληρώματα σε ανθρώπους που δεν έχουν διδαχθεί ολοκληρώματα. Όπως ο Αλεξόπουλος στο γυμνασιακό του αλλά και στο πανεπιστημιακό του.
Διονυση εξυπνο θεμα το οποιο εχει αρκετη αναλυση στην λυση του ! Ισως με ενα διάγραμμα που λεει και ο Γιαννης να "ετρεχε" πιο γρηγορα . Ολες αυτες οι ασκησεις εχουν ενδιαφερον μιας και η Φυσικη σκεψη χρειαζεται σε ολη την λυση τους !
Οσον αφορα τα εμβαδα . Για εμας το καθε εμβαδο εχει μια φυσικη σημασια εκφραζει ενα μεγεθος φυσικης. Αυτο αυτοματα σημαινει οτι εμεις κραταμε μονο τον αριθμο . Στην συνεχεια ομως σε αυτον τον αριθμο θα βαλουμε μπροστα προσημο και φυσικα τις μοναδες του αντιστοιχου μεγεθους που αυτο εκφραζει -αντιστοιχεί.
Παραδειγμα το διαγραμμα της αλγεβρικης τιμης της ταχυτητας συναρτηση του χρονου.
Εστω οτι απο τ=0 —>τ1 εχουμε θετικη ταχυτητα και απο τ1—>τ2 αρνητικη .
Τοτε το +Ε1—>ΔΧ1 αρα ΔΧ1>0 και το -Ε2—>ΔΧ2 αρα ΔΧ2<0
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Κώστα σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την ουσιαστική παρέμβαση στο θέμα των εμβαδών.
Γιάννη, δεν έχω κοντά μου τον Αλεξόπουλο, οπότε δέχομαι ότι μιλάει απλά για εμβαδά (κάπως έτσι το θυμάμαι και γω, αλλά ο διάβολος κρύβεται στις λεπτομέρειες…).
Επειδή μάλλον δεν έγινε κατανοητό αυτό που υποστήριξα παραπάνω, επανέρχομαι με μια ευθύγραμμη κίνηση, όπως στο σχήμα. Θέλουμε την μετατόπιση μέχρι τη στιγμή t΄=40s.
Η μετατόπιση υπολογίζεται ως το ολοκλήρωμα, από 0-40s και γράφουμε:
Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποια διαφωνία σε αυτό.
Πάμε τώρα στα εμβαδά. Τα εμβαδά αναφέρονται σε γεωμετρικά σχήματα, που στην περίπτωσή μας είναι δύο ορθογώνια. Ερώτηση:
Υπάρχει αρνητικό εμβαδόν γεωμετρικού σχήματος;
Πόσο είναι το εμβαδόν Ε2 του δεύτερου ορθογωνίου; Είναι Ε2=160 ή είναι Ε2=-160;
Αυτό είναι το ζήτημα. Το ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη 16×10 ή με μήκη 16x(-10);
Υποστηρίζω λοιπόν, ότι κάθε γεωμετρικό σχήμα έχει θετικό εμβαδόν αφού οι πλευρές του έχουν θετικά μήκη, ανεξάρτητα αν βρίσκονται πάνω ή κάτω από κάποιον άξονα t και από κει και πέρα:
Αν το χωρίο είναι πάνω από τον άξονα t (με θετική ταχύτητα…) τότε έχουμε θετική μετατόπιση, ίση αριθμητικά με το εμβαδόν Ε1. Τι σημαίνει ίση αριθμητικά; Ότι αν κάποιος υπολογίσει εμβαδόν, είναι υποχρεωμένος να μιλήσει για Ε1=120 μονάδες εμβαδού (στο S.Ι.), οπότε έχουμε μετατόπιση Δx1=120m.
Έτσι στο διάστημα από 24s-40s, το χωρίον είναι κάτω από τον άξονα, έχει εμβαδόν (θετικό) Ε2=β∙υ=16∙10=160 μονάδες εμβαδού (στο S.Ι.), αλλά η αντίστοιχη μετατόπιση έχει αντίθετο πρόσημο και είναι ίση με Δx2=-160m.
Αλλά τότε η συνολική μετατόπιση είναι αριθμητικά ίση με:
Δxολ=Δx1+Δx2 = (αριθμητικά) Ε1-Ε2=(120m)-(160m)=-40m.