Ναι με οιαδήποτε αριθμητικά δεδομένα θα προκύψει στάσιμο αν έχουν ίδιες φάσεις και συχνότητες.
Το μήκος της χορδής το επέλεξα ώστε να έχουμε ακέραια νούμερα. Όμως με την γραφική λύση μπορούμε να βρούμε τον λόγο πλατών. Θα είχαμε συντελεστή στο ημίτονο που θα ήταν περίεργος. ‘Ίσως 1,742 αντί για 2. Όμως πάλι προσθέτωντας στάσιμο θα προέκυπτε. Το γιατί είναι φανερό. Προσθέτουμε τα α.ημκx + β.ημ(κx+φ). Ημίτονικός όρος δεν προκύπτει;
Εδώ βέβαια άλλαξε η απόσταση πηγών από το πρώτο σχήμα στο δεύτερο. Όμως μπορούμε με δεδομένη την απόστασή τους να βρούμε το στάσιμο είτε με την διαδικασία που περιγράφω, είτε με “κινηματική γεωμετρία”. Δηλαδή μετακινώντας την καμπύλη και αυξάνοντας παράλληλα το ύψος της μόνο.
Γιάννη, βλέπεις να διατηρώ επιφυλάξεις, χωρίς να αντιπροτείνω λύση…
Η επιφύλαξή μου έχει να κάνει με την εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης.
Νομίζω ότι γίνεται μια επιπλέον γενίκευση. Ποιά;
Αν έχουμε δύο ΚΥΜΑΤΑ που διαδίδονται αντίθετα, τότε ισχύει η αρχή και μας δίνει αποτέλεσμα το στάσιμο. Έχουμε δύο ΚΥΜΑΤΑ που η συμβολή τους οδηγεί σε μια νέα κατάσταση που δεν είναι κύμα, αλλά μια ιδιόμορφη ταλάντωση της χορδής.
Το να πάρουμε τώρα την αντίστοιχη λογική, ότι έχεις δύο ΣΤΑΣΙΜΑ και να εφαρμόσουμε ξανά την ίδια αρχή της υπέρθεσης για να πάρουμε ένα νέο ΣΤΑΣΙΜΟ, είναι ένα …μετέωρο βήμα…
Δεν είμαι έτοιμος να το αποδεχθώ…
Ο Νίκος δίπλα, μου απάντησεότι μόνο κάτω από προϋποθέσεις έχουμε στάσιμο, δίνοντάς μου και τη συνθήκη.
Ξετσεκάρεις τις αρμονικές που δεν θέλεις και βλέπεις την εξέλιξη της χορδής.
Έχει απόλυτη ακρίβεια.”
Βλέπω την προσομοίωση και πού οδηγούμαι;
Οι αρμονικές σε τι αναφέρονται; Σε στάσιμα κύματα πάνω στη χορδή. Και ποιο είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης; Η λευκή κυματομορφή. Η οποία, ΔΕΝ αντιστοιχεί σε στάσιμο κύμα.
Η επαλληλία στασίμων μας έδωσε κυματομορφή που δεν είναι στάσιμο κύμα…
Ναι θα συμφωνήσω. Σε κείμενο που δεν ανάρτησα γιατί το βρήκα άχαρο έδειχνα πως αν οι πηγές δεν έχουν ίδια συχνότητα τότε έχουμε μια ιδιόρρυθμη κινητική κατάσταση αλλά όχι στάσιμο κύμα.
Ένα απόσπασμα από την άχαρη, παρολίγον ανάρτηση:
Να προσθέσω εκ των υστέρων ότι η υπέρθεση δύο στασίμων δεν δίνει πάντοτε στάσιμο.
Όπως η υπέρθεση δύο τρεχόντων δεν δίνει πάντοτε τρέχον. Μπορεί να δώσει στάσιμο ή κάποια κυματική κατάσταση.
Στην ανάρτηση του Πρόδρομου είναι φανερό το ότι δύο στάσιμα δίνουν κάτι που δεν είναι στάσιμο.
Αν προσέξουμε την (ακριβή) προσομοίωση δεν υπάρχουν δεσμοί και η “ψευτοκοιλία” μετακινείται.
Διονύση, έκανα δυο αναλύσεις, μια με αρμονικές συναρτήσεις και μια με μιγαδικές. Από την πρώτη έβγαλα το συμπέρασμα ότι αν οι φάσεις είναι αντίθετες, προκύπτει στάσιμο κύμα. Η δεύτερη βγάζει ότι αν οι φάσεις είναι ίσες, προκύπτει στάσιμο κύμα (δηλ. η συνάρτηση κύματος είναι το γινόμενο μιας συνάρτησης του x επί μια συνάρτηση του t). Η μιγαδική ανάλυση είναι σίγουρα σωστή. Άρα ο Γιάννης έχει δίκιο: αν οι ταλαντωτές στα άκρα έχουν την ίδια φάση, προκύπτει στάσιμο.
Στη γενική περίπτωση πάντως το κύμα στη χορδή έχει δύο αντίθετα οδεύουσες συνιστώσες, χωρίς να είναι στάσιμο (αλλά για να προκύψει αυτό Διονύση, πρέπει να ακολουθήσεις τον “ορθό δρόμο”).
Γιάννη, γενικά η επαλληλία στασίμων δεν δίνει στάσιμο. Δίνει σε μια μόνο περίπτωση: αν οι δεσμοί των στασίμων συμπίπτουν. Αντίθετα, αν οι δεσμοί του ενός είναι στις κοιλίες του άλλου, το αποτέλεσμα είναι ένα οδεύον κύμα χωρίς επιστρέφον (ένα “τρέχον κύμα” που λέτε εσείς).
Τούτο διότι η επιλογή της χρονικής στιγμής μηδέν είναι αυθαίρετη. Εσύ επιλέγεις στιγμή μηδέν εκείνη στην οποία μια κοιλία είναι στην ακραία θέση. Εγώ όταν είναι στην Θ.Ι. Ένας άλλος όταν είναι στην θέση 0,01m και έχει αρνητική ταχύτητα. Θα γραφούν διαφορετικές εξισώσεις αλλά το φαινόμενο είναι το ίδιο.
by 
Δεν καταλαβαίνω τώρα τι εννοείς. Στο κείμενο περιγράφω τι κάνουμε αν:
1. Υπάρχει πηγή και ακίνητο άκρο.
2 Υπάρχουν δύο πηγές με ίδια πλάτη, ίδιες φάσεις και ίδιες συχνότητες.
3. Υπάρχουν δύο πηγές με ίδια πλάτη, ίδιες συχνότητες και αντίθετες φάσεις.
4. Υπάρχουν δύο πηγές με ίδιες συχνότητες, ίδιες φάσεις και διαφορετικά πλάτη.
Και στις 4 περιπτώσεις θα προκύψει στάσιμο. Η γραφική διαδικασία είναι απλή και δεν αφήνει αμφιβολίες.
Εμένα Γιάννη μου αφήνει αμφιβολίες η 4):
“4. Υπάρχουν δύο πηγές με ίδιες συχνότητες, ίδιες φάσεις και διαφορετικά πλάτη.”
Ναι με οιαδήποτε αριθμητικά δεδομένα θα προκύψει στάσιμο αν έχουν ίδιες φάσεις και συχνότητες.
Το μήκος της χορδής το επέλεξα ώστε να έχουμε ακέραια νούμερα. Όμως με την γραφική λύση μπορούμε να βρούμε τον λόγο πλατών. Θα είχαμε συντελεστή στο ημίτονο που θα ήταν περίεργος. ‘Ίσως 1,742 αντί για 2. Όμως πάλι προσθέτωντας στάσιμο θα προέκυπτε. Το γιατί είναι φανερό. Προσθέτουμε τα α.ημκx + β.ημ(κx+φ). Ημίτονικός όρος δεν προκύπτει;
Δεν θα έχουμε κάτι σαν γ.ημ(κx+θ) ;
Γιατί να έχουμε αμφιβολίες;
Δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης;
Το αποτέλεσμα δεν είναι άθροισμα των δύο αποτελεσμάτων που θα είχαμε αν δούλευαν ξεχωριστά οι πηγές;
Στην παρακάτω περίπτωση ο λόγος πλατών είναι 1:3
Στην επόμενη λόγο 2:3
Οιαδήποτε σχέση πλατών δεν επιτυγχάνεται;
Εδώ βέβαια άλλαξε η απόσταση πηγών από το πρώτο σχήμα στο δεύτερο. Όμως μπορούμε με δεδομένη την απόστασή τους να βρούμε το στάσιμο είτε με την διαδικασία που περιγράφω, είτε με “κινηματική γεωμετρία”. Δηλαδή μετακινώντας την καμπύλη και αυξάνοντας παράλληλα το ύψος της μόνο.
Γιάννη, βλέπεις να διατηρώ επιφυλάξεις, χωρίς να αντιπροτείνω λύση…
Η επιφύλαξή μου έχει να κάνει με την εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης.
Νομίζω ότι γίνεται μια επιπλέον γενίκευση. Ποιά;
Αν έχουμε δύο ΚΥΜΑΤΑ που διαδίδονται αντίθετα, τότε ισχύει η αρχή και μας δίνει αποτέλεσμα το στάσιμο. Έχουμε δύο ΚΥΜΑΤΑ που η συμβολή τους οδηγεί σε μια νέα κατάσταση που δεν είναι κύμα, αλλά μια ιδιόμορφη ταλάντωση της χορδής.
Το να πάρουμε τώρα την αντίστοιχη λογική, ότι έχεις δύο ΣΤΑΣΙΜΑ και να εφαρμόσουμε ξανά την ίδια αρχή της υπέρθεσης για να πάρουμε ένα νέο ΣΤΑΣΙΜΟ, είναι ένα …μετέωρο βήμα…
Δεν είμαι έτοιμος να το αποδεχθώ…
Ο Νίκος δίπλα, μου απάντησε ότι μόνο κάτω από προϋποθέσεις έχουμε στάσιμο, δίνοντάς μου και τη συνθήκη.
Οπότε… δικαίωμα!
Κοίτα τώρα Γιάννη, αυτό που λέω παραπάνω.
Ανανεώνοντας τη σελίδα, βλέπω το σχόλιό σου προς Πρόδρομο:
“Χρόνια Πολλά Πρόδρομε.
Προσομοίωση δες εδώ.
Ξετσεκάρεις τις αρμονικές που δεν θέλεις και βλέπεις την εξέλιξη της χορδής.
Έχει απόλυτη ακρίβεια.”
Βλέπω την προσομοίωση και πού οδηγούμαι;
Οι αρμονικές σε τι αναφέρονται; Σε στάσιμα κύματα πάνω στη χορδή. Και ποιο είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης; Η λευκή κυματομορφή. Η οποία, ΔΕΝ αντιστοιχεί σε στάσιμο κύμα.
Η επαλληλία στασίμων μας έδωσε κυματομορφή που δεν είναι στάσιμο κύμα…
Ναι θα συμφωνήσω. Σε κείμενο που δεν ανάρτησα γιατί το βρήκα άχαρο έδειχνα πως αν οι πηγές δεν έχουν ίδια συχνότητα τότε έχουμε μια ιδιόρρυθμη κινητική κατάσταση αλλά όχι στάσιμο κύμα.
Ένα απόσπασμα από την άχαρη, παρολίγον ανάρτηση:
Να προσθέσω εκ των υστέρων ότι η υπέρθεση δύο στασίμων δεν δίνει πάντοτε στάσιμο.
Όπως η υπέρθεση δύο τρεχόντων δεν δίνει πάντοτε τρέχον. Μπορεί να δώσει στάσιμο ή κάποια κυματική κατάσταση.
Στην ανάρτηση του Πρόδρομου είναι φανερό το ότι δύο στάσιμα δίνουν κάτι που δεν είναι στάσιμο.
Αν προσέξουμε την (ακριβή) προσομοίωση δεν υπάρχουν δεσμοί και η “ψευτοκοιλία” μετακινείται.
Όμως δεν θα συμφωνήσω αν οι πηγές έχουν ίδια συχνότητα.
Για σκέψου να είχαμε την:
Αυτή είναι “κραγμένο” στάσιμο.
Βάλε όποια διαφορά θέλεις αντί της υπαρχούσης π/2. Στάσιμο βγαίνει.
Η άχαρη ανάρτηση βγήκε εντελώς μαθηματικά. Όμως και γραφικά ίδια λύση προκύπτει.
Πάλι υπέρθεση δύο στασίμων που δεν είναι στάσιμο.
Διονύση, έκανα δυο αναλύσεις, μια με αρμονικές συναρτήσεις και μια με μιγαδικές. Από την πρώτη έβγαλα το συμπέρασμα ότι αν οι φάσεις είναι αντίθετες, προκύπτει στάσιμο κύμα. Η δεύτερη βγάζει ότι αν οι φάσεις είναι ίσες, προκύπτει στάσιμο κύμα (δηλ. η συνάρτηση κύματος είναι το γινόμενο μιας συνάρτησης του x επί μια συνάρτηση του t). Η μιγαδική ανάλυση είναι σίγουρα σωστή. Άρα ο Γιάννης έχει δίκιο: αν οι ταλαντωτές στα άκρα έχουν την ίδια φάση, προκύπτει στάσιμο.
Στη γενική περίπτωση πάντως το κύμα στη χορδή έχει δύο αντίθετα οδεύουσες συνιστώσες, χωρίς να είναι στάσιμο (αλλά για να προκύψει αυτό Διονύση, πρέπει να ακολουθήσεις τον “ορθό δρόμο”).
Γιάννη, γενικά η επαλληλία στασίμων δεν δίνει στάσιμο. Δίνει σε μια μόνο περίπτωση: αν οι δεσμοί των στασίμων συμπίπτουν. Αντίθετα, αν οι δεσμοί του ενός είναι στις κοιλίες του άλλου, το αποτέλεσμα είναι ένα οδεύον κύμα χωρίς επιστρέφον (ένα “τρέχον κύμα” που λέτε εσείς).
Νίκο δεν θα συμφωνήσω.
Οι δεσμοί των στασίμων μπορεί να μην συμπίπτουν και όμως η υπέρθεσή τους να δώσει στάσιμο.
Για παράδειγμα τα:
y=0,02.συν(2πχ/3).ημ200πt και y=0,03.ημ(2πχ/3).ημ200πt
δεν δίνουν δεσμούς στα ίδια σημεία. Μάλιστα το ένα έχει δεσμούς εκεί που το άλλο έχει κοιλίες.
Όμως το:
y=0,02.συν(2πχ/3).ημ200πt+0,03.ημ(2πχ/3).ημ200πt
είναι στάσιμο.
Είναι πολύ εύκολο το να δειχθεί αυτό. Αν διαφωνείς να στείλω στιγμιότυπα, εξίσωση ή ότι άλλο θέλεις.
Έχεις δίκιο για το πρώτο. Το δεύτερο είναι στάσιμο αν ο τελευταίος όρος είναι συν200πt.
Πάλι δεν συμφωνώ Νίκο. Είναι στάσιμο έτσι όπως είναι. Γενικά είναι στάσιμο αν έχει οιανδήποτε μορφή όπως:
y=0,02.συν(2πχ/3).ημ(200πt+φ)+0,03.ημ(2πχ/3).ημ(200πt+φ).
Τούτο διότι η επιλογή της χρονικής στιγμής μηδέν είναι αυθαίρετη. Εσύ επιλέγεις στιγμή μηδέν εκείνη στην οποία μια κοιλία είναι στην ακραία θέση. Εγώ όταν είναι στην Θ.Ι. Ένας άλλος όταν είναι στην θέση 0,01m και έχει αρνητική ταχύτητα. Θα γραφούν διαφορετικές εξισώσεις αλλά το φαινόμενο είναι το ίδιο.
Το δεύτερο είναι πάντοτε στάσιμο.
Εντάξει, έχεις δίκιο. Μπερδεύτηκα, ήθελα να γράψω ότι, αν ο τελευταίος όρος ήταν συν200πt, το κύμα δεν θα ήταν στάσιμο.