by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο οριζόντιες όμοιες ομογενείς ράβδοι, όπως στο διπλανό σχήμα. Οι ράβδοι μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από δυο σταθερούς κατακόρυφους άξονες, όπου ο πρώτος περνά από το μέσον Κ της ράβδου ΑΒ, ενώ ο δεύτερος από το άκρο Δ της ΓΔ. Οι ράβδοι είναι παράλληλοι απέχοντας απόσταση d=2m. Θέλοντας να τους θέσουμε σε περιστροφή και να αποκτήσουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα, ασκούμε στα άκρα τους Α και Γ κατάλληλες δυνάμεις F1 και F2, για ορισμένα χρονικά διαστήματα, με αποτέλεσμα κάποια στιγμή, έστω t0=0 οι ράβδοι να βρίσκονται στις αρχικές θέσεις του σχήματος, στρεφόμενες με την γωνιακή ταχύτητα που θέλουμε, χωρίς να ασκούνται πια πάνω τους οι παραπάνω δυνάμεις. Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μℓ2/12.
i) Αν το έργο της δύναμης F1, στη διάρκεια της επιτάχυνσης της πρώτης ράβδου είναι ίσο με 4J, πόσο είναι το αντίστοιχο έργο της δύναμης F2;
Δίνεται ότι κάθε ράβδος έχει μάζα Μ=6kg και μήκος ℓ=2m.
ii) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα που απέκτησαν οι ράβδοι.
iii) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις που οι άξονες ασκούν στις ράβδους τη στιγμή t0=0.
iv) Τη στιγμή t0=0 αφαιρούνται ταυτόχρονα οι δυο άξονες περιστροφής και οι ράβδοι κινούνται ως ελεύθερα στερεά. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t1=2,25π s≈7 s:
α) οι ταχύτητες των άκρων Α και Γ των δύο ράβδων,
β) η απόσταση μεταξύ των δύο αυτών άκρων.
ή
Δυο ράβδοι σε κίνηση
Δυο ράβδοι σε κίνηση
Καλό μεσημέρι Αποστόλη.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Επανέρχομαι Παντελεήμων στο πρωινό μου σχόλιο, σε μια προσπάθεια, για μια λίγο πιο ξεκάθαρη απάντηση…
Ο πρώτος όρος «αναγνωρίζεται» ως κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής, ενώ ο δεύτερος ως μεταφορική κινητική ενέργεια. Στην πραγματικότητα η αναγνώριση αυτή ουσιαστικά έχει να κάνει με την «θεώρηση» της κίνησης ως σύνθετη.
Αν τώρα φύγει ο άξονας, βλέπουμε «όλοι» την κίνηση ως σύνθετη και αποδίδουμε αυτούς τους χαρακτηρισμούς στους δύο παραπάνω προσθετέους…
Διονυση σε ευχαριστω πολυ για την αφιερωση !
Οντως ειναι πολυ κατατοπιστικα τα οσα αναλυεις σε αυτην την αναρτηση σου. Οταν το ΣFcm=0 τοτε η περιστροφη θα γινει γυρω απο τον αξονα που διερχεται απο το CM και οπως λες ειναι και ο αξονας με την μικροτερη ροπη αδρανειας .
Για την δευτερη ραβδο ΓΔ εφοσον η αφαιρεση του αξονα γινεται σε αμεληταιο χρονικο διαστημα και WΣFεξ = 0 => Κπριν = Κμετα =>
0.5*Ιδ*ω^2 = 0.5*Ιcm*ω1^2 + 0.5*M*uo^2 , uo= ω*L/2 ==> ω1=ω
ή Στεξ=0 => Lπριν(Δ) = Lμετα(Δ) ==>
Ιδ*ω = Ιcm*ω1 + Μ*uo*L/2 , uo= ω*L/2 ==> ω1=ω
Θα μπορουσε καποιος επισης να ελεγε οτι u(Γ) = ω*L παρουσια αξονα
με την καταργηση του αξονα η ταχυτητα του σημειου Γ δεν θα αλλαξει και θα ειναι πλεον u(Γ) = u0 + ω1*L/2 , uo= ω*L/2 αρα θα εχουμε παλι ω1=ω .
… Διονύση πριν διαβάσω την απάντησή σου …
η κατάργηση της "ακτινικής" δύναμης εκ του άξονα περιστροφής έστω και ακαριαία μήπως οδηγεί σε ώθηση κατά το μήκος της ράβδου … και μάλλον τα ενεργειακά μου επιχειρήματα είναι όλα λάθος αφού υπάρχει kick κατά το μήκος της ράβδου;
… Διονύση η απάντηση που έδωσες (και που είδα τώρα) είναι αρκετή …
ουδεμία ακτινική ώθηση δεν βλέπω … άλλωστε η ακαριαία κατάργηση δύναμης αν ιδωθεί ως ασυνέχεια δύναμης στον χρόνο δεν επιτρέπει τον ορισμό ώθησης … η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση στον ορισμό της ώθησης πρέπει να είναι συνεχής συνάρτηση κατ' αρχήν …
Καλησπέρα Παντελεήμων.
Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποιο πρόβλημα με τον ακαριαίο μηδενισμό της δύναμης…
Αλλά, για χάριν συζήτησης, ας υποθέσουμε ότι η δύναμη δεν μηδενίζεται ακαριαία, αλλά από την αρχική τιμή της, μηδενίζεται σε χρονικό διάστημα 0,1s. Μιλάμε μια δύναμη κατά μήκος του άξονα της ράβδου.
Πώς ακριβώς φαντάζεσαι ότι μπορεί να μειώνεται το μέτρο της δύναμης αυτής;
Αυτή η δύναμη "δεν είναι πρωτοβουλία" του άξονα, αλλά αναπτύσσεται επειδή το κ.μ. διαγράφει κυκλική τροχιά. Δηλαδή πώς ακριβώς μπορεί να συμβεί μείωση; Μειώθηκε η γωνιακή ταχύτητα, οπότε απαιτείται μικρότερη κεντρομόλος; Όχι βέβαια…
Αλλά ας αφήσουμε το γιατί μειώνεται η δύναμη και ας περιοριστούμε ότι απλά υπάρχει μείωση. Τι αποτέλεσμα θα έχει αυτό; Απλά το κέντρο μάζας δεν θα μπορεί να εκτελέσει την κυκλική τροχιά ακτίνας l/2 και θα πρέπει να αυξηθεί η ακτίνα, πράγμα που δεν έχει καμιά λογική να θεωρήσουμε ότι αυξάνεται το μήκος της ράβδου…
Συμπέρασμα; Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποιος λόγος για περαιτέρω διερεύνηση της συνέχειας ή μη, της ασκούμενης δύναμης.
Καλησπέρα Κώστα και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και την κατάθεση της σκέψης σου.
Να την προεκτείνω λίγο;
Η ταχύτητα του άκρου Δ, όταν υπάρχει ο άξονας, είναι μηδενική, όπως μηδενική είναι και τη στιγμή αμέσως μετά την αφαίρεσή του.
Θεωρώντας την κίνηση της ράβδου σύνθετη, η ταχύτητα αυτή είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του κ.μ. και της γραμμικής ταχύτητας λόγω της περιστροφικής κίνησης. Ας δούμε την αναλογία των δύο σχημάτων, όπου στο δεύτερο ο δίσκος κυλίεται και όπου το σημείο Δ΄είναι ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής του.
… δεν κατάλαβα γιατί δεν είδα την απάντηση με την αναλογία ράβδου – κυλίνδρου πιο πριν (εμφανίστηκε πιο μετά;)
… προς Διονύση …
Η ταχύτητα του άκρου Δ, όταν υπάρχει ο άξονας, είναι μηδενική, όπως μηδενική είναι και τη στιγμή αμέσως μετά την αφαίρεσή του.
… αυτή η μηδενική ταχύτητα του Δ αμέσως μετά υποκίνησε όλα τα προηγούμενα σχόλια … (αν και δεν τα παρουσίασα σωστά)
… το ερώτημά μου τότε είναι το εξής: Στην κύλιση χωρίς ολίσθηση (κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο) υπάρχει πάντα κάποιο σημείο του κυλίνδρου σε επαφή με το ακίνητο έδαφος (που αλλάζει από στιγμή σε στιγμή και) που δεν ολισθαίνει ως προς το έδαφος … (αν μπορούσαμε να χρωματίσουμε κάθε σημείο της περιφέρειας με ξεχωριστό χρώμα το παραπάνω αποτέλεσμα θα φαινόταν καλύτερα)
… άπαξ και το Δ είναι αμέσως ακίνητο αμέσως μετά την αφαίρεση του άξονα … υπάρχει σημείο που μπαίνει στη θέση του Δ την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή; (όπως στην κύλιση χωρίς ολίσθηση;) … προς τα που θα κινηθεί το Δ; … αν η ράβδος ΓΔ απομακρυνθεί από την ΑΒ σίγουρα το Δ κινήθηκε προς τα δεξιά (αφού μετατοπίστηκε μαζί με τη ράβδο η οποία είναι στερεό σώμα)
… σε αυτό το πρόβλημα ο άξονας περιστροφής νομίζω παίζει ακριβώς ρόλο ανάλογο της στατικής τριβής στην κύλιση χωρίς ολίσθηση, όσον αφορά στη σύμπλεξη μεταφορικής και στροφικής κίνησης περί το ΚΜ … η οποία σύμπλεξη χάνεται με την κατάργηση του άξονα περιστροφής
Καλησπέρα και πάλι Παντελεήμων.
Το σχόλιο εμφανίστηκε αργότερα, αφού το έβαλα αργότερα σε απάντηση σχολίου του Κώστα Ψυλάκου.
Ας πάμε λοιπόν στην αντιστοιχία που ανέφερα παραπάνω. Γράφεις:
"προς τα που θα κινηθεί το Δ; … αν η ράβδος ΓΔ απομακρυνθεί από την ΑΒ σίγουρα το Δ κινήθηκε προς τα δεξιά (αφού μετατοπίστηκε μαζί με τη ράβδο η οποία είναι στερεό σώμα)"
Το σημείο Δ της ράβδου, θα κινηθεί προς τα εκεί που θα κινηθεί το σημείο Δ΄το σημείο του δίσκου που έρχεται σε επαφή με το έδαφος.
Βέβαια στην περίπτωση του δίσκου, τη θέση του θα πάρει ένα άλλο σημείο της περιφέρειας, στην περίπτωση της ράβδου, δεν υπάρχει αντίστοιχο σημείο να πάρει τη θέση του Δ. Τι θα υπάρξει;
Μετά από μισή περιστροφή θα βρεθεί το άλλο άκρο της ράβδου, το σημείο Γ στην ίδια θέση (απλά μετατοπισμένη κατά 1/2 υcmT) το οποίο θα έχει στιγμιαία μηδενική ταχύτητα. Μετά πρέπει να περιμένουμε άλλο 1/2Τ για να έρθει το Δ…
Να προσθέσω και κάτι ακόμη.
Αν το σημείο Δ΄ διαγράφει μια κυκλοειδή καμπύλη και το άκρο Δ της ράβδου διαγράφει την ίδια καμπύλη…