by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο οριζόντιες όμοιες ομογενείς ράβδοι, όπως στο διπλανό σχήμα. Οι ράβδοι μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από δυο σταθερούς κατακόρυφους άξονες, όπου ο πρώτος περνά από το μέσον Κ της ράβδου ΑΒ, ενώ ο δεύτερος από το άκρο Δ της ΓΔ. Οι ράβδοι είναι παράλληλοι απέχοντας απόσταση d=2m. Θέλοντας να τους θέσουμε σε περιστροφή και να αποκτήσουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα, ασκούμε στα άκρα τους Α και Γ κατάλληλες δυνάμεις F1 και F2, για ορισμένα χρονικά διαστήματα, με αποτέλεσμα κάποια στιγμή, έστω t0=0 οι ράβδοι να βρίσκονται στις αρχικές θέσεις του σχήματος, στρεφόμενες με την γωνιακή ταχύτητα που θέλουμε, χωρίς να ασκούνται πια πάνω τους οι παραπάνω δυνάμεις. Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μℓ2/12.
i) Αν το έργο της δύναμης F1, στη διάρκεια της επιτάχυνσης της πρώτης ράβδου είναι ίσο με 4J, πόσο είναι το αντίστοιχο έργο της δύναμης F2;
Δίνεται ότι κάθε ράβδος έχει μάζα Μ=6kg και μήκος ℓ=2m.
ii) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα που απέκτησαν οι ράβδοι.
iii) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις που οι άξονες ασκούν στις ράβδους τη στιγμή t0=0.
iv) Τη στιγμή t0=0 αφαιρούνται ταυτόχρονα οι δυο άξονες περιστροφής και οι ράβδοι κινούνται ως ελεύθερα στερεά. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t1=2,25π s≈7 s:
α) οι ταχύτητες των άκρων Α και Γ των δύο ράβδων,
β) η απόσταση μεταξύ των δύο αυτών άκρων.
ή
Δυο ράβδοι σε κίνηση
Δυο ράβδοι σε κίνηση
Αφιερωμένη στον Κώστα Ψυλάκο…
Όμορφη Διονύση.
Είναι "ειδικού σκοπού";
Καλησπέρα Γιάννη.
Όχι δεν είναι "ειδικού σκοπού", είχε γραφτεί εν κενώ, αλλά μεσολάβησε του Θοδωρή εδώ, που δημιούργησε κάποιες αμφιβολίες.
Έτσι ενώ την είχα κρατήσει για αργότερα, επίσπευσα την δημοσίευσή της.
Γιάννη, δεν μου είπες πώς βλέπεις την επιστροφή στο προηγούμενο περιβάλλον σχολιασμού;
Δεν χρειάζεται τίποτα ιδιαίτερο, απλά με copy-paste μεταφέρονται τα πάντα, είτε απευθείας από το Word (αν δεν έχεις εικόνες) ή αφού αντιγράψεις και την εικόνα που ανεβάσεις στον βασικό επεξεργαστή, πατώντας +προσθήκη.
Και μια εικόνα που την έβαλα δεξιά του κειμένου…
Σε σχέση με την προηγούμενη χρήση του έχει βελτιωθεί…
Δεν έχω ακόμα χρησιμοποιήσει την δυνατότητα.
Κάποια στιγμή που θα στείλω εικόνα θα σου πω.
Μοιάζει βολική βελτίωση.
Καλησπέρα Διονύση.
Ωραίο το θέμα και οι ερωτήσεις με το στόχο στις iii) και iv) νομίζω.
Μια και τη χάζευα να πω πως W2=W1+3W1=4W1=16J μια και το παραπάνω λόγω της παραπάνω ροπής αδράνειας ml^2/4=3ml^2/12 .
Επίσης αν θέλαμε τη σχέση των δυνάμεων (με σταθερά μέτρα και κάθετες στις ράβδους) για να πετύχουν ίδια ω στον ίδιο χρόνο θα ήταν F2=2F1
Απορία επί της άσκησης, πάνω στη ράβδο ΓΔ:
… κατά την κατάργηση του κατακόρυφου άξονα περιστροφής εκ του σημείου Δ δεν προκύπτει καμία απώλεια ενέργειας οπότε η ολική κινητική ενέργεια της ράβδου διατηρείται πριν και μετά την κατάργηση του άξονα περιστροφής …
… ακριβώς τη στιγμή που καταργείται ο άξονας περιστροφής ουδεμία ροπή ασκείται και τίποτα δεν επηρέασε την μεταφορική κίνηση του ΚΜ γιατί όλο το παιχνίδι αναδιάταξης δυνάμεων διεξήχθη μόνο κατά το μήκος της ράβδου (σύμφωνα με την απάντηση στο iv και το αντίστοιχο εικονίδιο) … άρα κατά την κατάργηση του άξονα περιστροφής την συγκεκριμένη στιγμή (δηλ. υπό τις ανωτέρω συνθήκες) ούτε η μεταφορική κινητική ενέργεια του ΚΜ μεταβλήθηκε (δεν υπήρξε ουδεμία ώθηση προς τα δεξιά με βάση το εικονίδιο), ούτε η στροφική κινητική ενέργεια περί το ΚΜ μεταβλήθηκε (δεν υπήρξε ουδεμία στροφική ώθηση περί το ΚΜ) …
… (το σημείο αυτό είναι ίσως κομβικό) γνωρίζουμε ότι όλη η κίνηση διεξάγεται πάνω σε λείο δάπεδο και δεν υπάρχει κανένας τρόπος ώστε να μπορεί να μετασχηματιστεί η στροφική κινητική (περί το ΚΜ) σε μεταφορική κινητική ενέργεια του ΚΜ ή το αντίστροφο μετά την κατάργηση του άξονα περιστροφής … (δηλαδή μετά την κατάργηση του άξονα περιστροφής η στροφική κινητική περί το ΚΜ ήταν όση και αμέσως πριν την κατάργηση και το αυτό ισχύει για την μεταφορική κινητική ενέργεια του ΚΜ … όμως μετά την κατάργηση του άξονα περιστροφής υπό τις ανωτέρω συνθήκες το ένα είδος κίνησης δεν επικοινωνεί καθόλου με το άλλο)
… η δε βαρυτική δυναμική ενέργεια παραμένει πάντοτε η ίδια και δεν μας απασχολεί κάπου αυτό …
… πώς το σημείο Δ απέκτησε ταχύτητα ώστε η ράβδος ΓΔ να απομακρυνθεί από την ράβδο ΑΒ?
… θα 'λεγα ότι υπό τις συνθήκες της άσκησης εξακολουθεί να παραμένει ακίνητο (κυρίως λόγω της πρότασης με τα πλάγια γράμματα παραπάνω) … όμως που είναι το σφάλμα στην παραπάνω συλλογιστική πορεία;
… με άλλα λόγια αν το σημείο Δ αποκτούσε ταχύτητα μετά την κατάργηση του άξονα (αντί να εξακολουθεί να είναι ακίνητο) νομίζω αυτό θα ερχόταν σε σύγκρουση με τη διατήρηση της ολικής κινητικής ενέργειας κατά την παραπάνω διαδικασία … γιατί όση ολική κινητική ενέργεια έχουμε με το Δ ακίνητο τόση έχουμε και ακριβώς μετά … αυτό από μόνο του όμως δεν θα αρκούσε, πιο αυστηρά λοιπόν … όση στροφική κινητική περί το ΚΜ και μεταφορική του ΚΜ ξεχωριστά είχαμε πριν (με το Δ ακίνητο) … τόσες έχουμε και ακριβώς μετά … δεν θα μπορούσε να γίνει κάποια ανακατανομή του συνδυασμού των ανωτέρω κινητικών ενεργειών (λόγω της πρότασης με πλάγια γράμματα πιο πάνω) ώστε το Δ να επιτρέπεται να κινηθεί … έχει μια ιδιαιτερότητα η στιγμή κατάργησης του άξονα περιστροφής νομίζω στο συγκεκριμένο πρόβλημα …
… αν κάνω λάθος στους παραπάνω συλλογισμούς τότε δεν καταλαβαίνω κάτι …
… έχει μια ιδιαιτερότητα η στιγμή κατάργησης του άξονα περιστροφής νομίζω στο συγκεκριμένο πρόβλημα …
=> το παραπάνω σημείο είναι λάθος (οπότε αγνοήστε το) … η ιδιαιτερότητα είναι ότι ακριβώς πριν την κατάργηση του άξονα περιστροφής η ράβδος ΓΔ περιστρέφεται ομαλά οπότε η αλληλεπίδραση με τον άξονα έχει μόνο συνιστώσα κατά το μήκος της ράβδου …
… φυσικά η απάντηση που βασίζεται στην κατάργηση της κεντρομόλου δύναμης που δέχεται το ΚΜ είναι πιο ισχυρή και δεν επιδέχεται αμφισβήτηση συνεπώς τα ενεργειακά επιχειρήματα έχουν κάποιο λογικό σφάλμα παρότι η ανάλυση έγινε ως προς το ΚΜ …
Καλημέρα Παντελεήμων.
Η κατάργηση του άξονα στο Δ, προφανώς δεν συνοδεύεται από κάποια ενεργειακή μεταβολή.
Αυτό σημαίνει ότι διατηρείται η κινητική ενέργεια, αλλά και η στροφορμή, ως προς οποιοδήποτε άξονα.
Προσοχή όμως. Διατηρείται η κινητική ενέργεια!
Δεν υπάρχει καμιά διατήρηση της μεταφορικής ή της στροφικής κινητικής ενέργειας. Τέτοιες ποσότητες αντικειμενικά, δεν υπάρχουν. Είναι ποσότητες ενέργειας που ΕΜΕΙΣ αποδίδουμε, με βάση τη θέαση του στερεού που κάνουμε.
Να το πω συγκεκριμένα:
Κανείς δεν μου απαγορεύει, όταν υπάρχει ακόμη ο άξονας στο Δ, να θεωρήσω την κίνηση της ράβδου σύνθετη.
Αν το κάνω, τότε θα βγάλω ότι έχει και μεταφορική κινητική ενέργεια ίση με 1/2 mυcm^2 και στροφική ίση με 1/2 Ιcmω^2.
Αλλά τότε εγώ θα νομίσω ότι διατηρήθηκε και η μεταφορική κινητική ενέργεια και η στροφική, πράγμα που δεν βλέπει κάποιος που θεωρούσε την κίνηση μόνο στροφική περί άξονα!!!
Στην πραγματικότητα απλά αυτοί είναι διαφορετικοί τρόποι να δούμε την πραγματικότητα, ενώ η κινητική ενέργεια που θα υπολογίζει όποιος θεωρήσει την κίνηση στροφική 1/2 IΔω^2 είναι ίση με το άθροισμα των δύο μορφών που έδωσα παραπάνω…
Συμπέρασμα η κινητική ενέργεια είναι ΜΙΑ, άσχετα πώς μπορούμε να την υπολογίσουμε ή σε ποιες κινήσεις θα την αποδώσουμε…
Διονύση καλημέρα
Θα σταθώ στο τελευταίο σου σχόλιο που είναι όλα τα λεφτα. Το ταλέντο σου με ένα μικρό ερέθισμα να κάνεις άσκηση με διδακτικο στόχο κάθε φορά είναι μοναδικο.
Πολύ ωραία η άσκηση Διονύση και πολύ διδακτική. Συγκρατώ ότι αν όλες οι εξωτερικές δυνάμεις "ασκηθούν" στο κέντρο μάζας μιας ελεύθερης ράβδου τότε προκύπτει η αναγκαιότητα ο άξονας να περνά από αυτό. Η κεντρομόλος δύναμη που οπωσδήποτε ασκείται σε ένα άλλο σημείο της ράβδου θα οφείλεται σε εσωτερικές δυνάμεις.
Καλό μεσημέρι, Χρήστο και Τάσο.
Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χαίρομαι που σας άρεσε.
Γειά σου Διονύση. Ουσιαστικότατο θέμα. Ας δοκιμάσω κι εγώ τις φατσούλες