by 
Ο κύλινδρος του διπλανού σχήματος έχει μάζα m=8kg, ακτίνα R=0,1m και στην περιφέρειά του είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα.
Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκείται μεταβλητή δύναμη το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται με τη θέση x του κέντρου μάζας του σώματος σύμφωνα με τη σχέση F=30+9x, x→m και ο κύλινδρος κυλίεται. Αρχικά το κέντρο μάζας του κυλίνδρου βρίσκεται στη θέση x=0.
i. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του δαπέδου και του κυλίνδρου είναι μ=0,5 ο κύλινδρος θα ολισθήσει στη θέση:
α. x=14m β. x=10m γ. x=7m
ii. H δύναμη στο διάστημα από τη θέση x=0 έως τη θέση x=4m μεταφέρει ενέργεια στον κύλινδρο ίση με:
α. Ε=256J β. Ε=192J γ. Ε=384J
iii. H ισχύς της δύναμης στη θέση x=4m είναι ίση με:
α. P=256W β. P=528W γ. P=1056W
iv. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη μεταφορική κίνηση στη θέση x=12m είναι:
Συνέχεια στο
Χρήστο καλημέρα και μπράβο σου για την άσκησή σου!
Τα έχεις ΟΛΑ. Μεταβλητή δύναμη, έργο μεταβλητής δύναμης, τριβή ολίσθησης, ισxύ, Ρυθμό μεταβολής κινητικής ενέργειας,…
Συμφέρει σε κάποιον υποψήφιο να ενασχοληθεί, θα θυμηθεί αρκετά για την επανάληψή του!
Καλημέρα και από εδώ Χρήστο.
Θα συμφωνήσω με τον Πρόδρομο.
Εξάλλου προσωπικά, πάντα μου άρεσαν οι μεταβλητές δυνάμεις (μάλλον τις ξεχάσαμε και αυτές…)
Εξαιρετική Χρήστο με πολύ ωραία τα δυο τελευταία ερωτήματα, τα οποία σίγουρα απαιτούν πολύ καλή γνώση από ένα μαθητή.
Καλό μεσημέρι, Χρήστο το θέμα έχει διαχρονικό ενδιαφέρον και τα ερωτήματα σου όλα ωραία.Έχω μια ένσταση για τη λύση στο ii.
Από την xA=2xcm πάμε στην υΑ =2υcm, στην αντίθετη πορεία που ακολουθείς , απαιτείται ο προσδιορισμός της σταθεράς ολοκλήρωσης. Υποθέτω ότι δεν έχεις την απαίτηση οι υποψήφιοι να ολοκληρώσουν και να προσδιορίσουν τη σταθερά ολοκλήρωσης.Αλλιώς μένει ανοικτό το ενδεχόμενο και για άλλη σχέση μεταξύ των ταχυτήτων.
Αφού δίνεις την F ως συνάρτηση του x= xcm και ζητάς στο iv τον ρυθμό μόνο στην μεταφορική, απαλλάσσεσαι από τα προηγούμενα , αν υπολογίσεις χωριστά τα έργα στην μεταφορική και στροφική με την παραδοχή, που απορρέει από την εντός ύλης θεωρία της κύλισης, φR=xcm.
Πρόδρομε, Διονύση, Τάσο και Ξενοφών καλησπέρα
Ευχαριστώ για το σχόλιο.
Ξενοφών δεκτή η ένσταση σου, στην οποία την απάντηση την δίνεις ο ίδιος. Θα μπορούσα ίσως να πω απευθείας ότι το ανώτατο σημείο έχει διπλάσια μετατόπιση σε σχέση με το κέντρο μάζας και να μην αναφέρω κάτι άλλο.
Από τη στιγμή που ξεκινά η ολίσθηση δεν μπορούμε να βρούμε γωνιακά μεγέθη. Δεν ισχύει x=Rθ αλλά και η εξάρτηση της γωνιακής επιτάχυνσης αγ συναρτήσει του χcm κάνει δύσβατο το δρόμο. Γι΄αυτό και στο τελευταίο ερώτημα ρωτώ τι συμβαίνει μόνο στο μεταφορικό τμήμα.
Χρήστο καλησπέρα. Πολύ καλό θέμα για επανάληψη και πολύ έυστοχο το σχόλιο για το έρφο μιας δύναμης (ότι εξαρτάται από την μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της).
Είχα πάντα την απορία του Ξενοφώντα (την καλησπέρα μου Ξενοφώντα) γιαν την σταθερά ολοκλήρωσης (πώς το εξηγούμε σε μαθητές). Το προσπερνάμε μάλλον στα γρήγορα και δικαίως…
Γειά σου Χρήστο. Ωραίο θέμα, με αρκετά λεπτά σημεία, που αξίζει να προσεχθούν!
Συγχαρητήρια Χρήστο. Πολύ καλή
Καλησπέρα Στάθη,(Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά!) , αναγκαζόμαστε να αναφερθούμε στο σημείο αυτό γιατί πρέπει να τονιστεί ότι οι συνθήκες acm=aγρ και υcm=υγρ είναι αναγκαίες στην κ.χ.ο, αλλά όχι ικανές.Συνήθως λέμε στα παιδιά ότι αν π.χ xcm=φR+2, ισχύει από την παραγώγιση υcm=υγρ και acm=aγρ , αλλά κύλιση δεν υπάρχει.
Καλημέρα κι από εμένα
Χρήστο πες μου σε παρακαλώ μήπως θα ήταν πιο σωστό να αναφέρεται για ποιά ισχύ μιλάμε; Επειδή η δύναμη έχει δύο ρόλους περιστρέφει και κινεί ευθύγραμμα, κι ένας που ακολουθεί το βιβλίο τυφλά όπως κάνουν οι δικοί μου αφού έτσι τους είπαν στο σχολείο, μάλλον δε θα ξέρει τι να υπολογίσει.
Πολύ καλή άσκηση και η γνώμη μου είναι ότι και το σχόλιο μπαίνει κι αυτό ως ερώτημα
Καλημέρα συνάδελφοι.
Ξενοφώντα και Στάθη, νομίζω ότι πρέπει να ξεκαθαριστεί το ζήτημα που βάζετε.
Ας αφήσουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης των μαθηματικών, όπου πράγματι έχετε δίκιο.
Αλλά όταν μιλάμε για έναν τροχό που κινείται σε ακίνητο δάπεδο, μπορεί να ισχύει ότι κάθε στιγμή το σημείο επαφής του τροχού με το δάπεδο να έχει μηδενική ταχύτητα και παρόλα αυτά να μην έχουμε κύλιση;
Καλημέρα Διονύση. Έιχα υπ' όψιν μου το παρακάτω: Θα μπορούσαμε να ορίσουμε την κύλιση όχι με το ότι το σημείο επαφής έχει μηδενική ταχύτητα ως προς το έδαφος, αλλά από το ότι η μετατόπιση του cm ισούται σε κάθε χρονική στιγμή με το τόξο που αναλογεί στην περιστροφή. Για παράδειγμα:
Έστω ότι ο κύλινδρος ακτίνας R και ο κύλινδρος ακτίνας r κινούνται ως ένα στερεό πάνω σε δύο ευθύγραμμες τροχιές α και β (όπως στο σχήμα).
Αν παρατηρήσουμε ότι στον κύλινδρο R το σημείο σε επαφή με την τροχιά α μετατοπίζεται έτσι ώστε συνεχώς ΑΑ΄ = R θ => xcm = R θ, τότε εξ' ορισμού θα λεμε ότι κυλιέται. Στην συνέχεια ο πρώτος ρυθμός μεταβολής θα δωσει την σχέση των ταχυτήτων, υcm = R ω, και ο δέυτερος την σχέση των επιταχύνσεων, αcm = R αγ. Άμεση συνέπεια είναι ότι το σημείο σε επαφή με την τροχιά α, έχει συνεχώς ταχύτητα μηδέν ως προς την τροχιά α. Τώρα δεν υπαινίσσεται καμία ολοκλήρωση και καμία σταθερά της ότι είναι μηδενική.
Προφανώς τότε για τον κύλινδρο r και για το σημειο σε επαφή με την τροχιά β, ισχύει ότι ΒΒ΄ = ΑΑ' > r θ, οπότε αυτός ο κύλινδρος ολισθαίνει και υcm > r θ, οπότε το σημείο του σε επαφή με την τροχιά έχει συνεχώς ταχύτητα διάφορη του μηδενός (κάπου είχα διαβάσει ότι το παραπάνω σύστημα καλείται τροχός του Αριστοτέλη, δυστυχώς δεν θυμάμαι που).
Ανάλογα θα μπορούσαμε να αντιμετωπίσουμε και τα μη εκτατά νήματα τα οποία δεν ολισθαίνουν σε τροχαλίες. Φυσικά δεν έχω κανένα πρόβλημα να ορίζουμε την κύλιση απ' ευθείας από την σχέση υcm = ω R.
Καλημερα !
Καλη η σκεψη σου Χρηστο ! Θελει μεγαλη προσοχη στο πως εκφραζεται η δυναμη F ,οτι ειναι συναρτηση το χcm.
Φυσικα για το τελευταιο δεν πρεπει να ξεχασει κανει οτι το εργο της Τστ ειναι υπαρκτό για την μεταφορικη κινηση και οτι για οσο εχουμε ΚΧΟ ειναι Τστ=(1/3)*F .
Καλημέρα και καλή εβδομάδα,Διονύση στην περίπτωση που περιγράφεις προφανώς και ισχύει υcm=υγρ, φοβάμαι όμως ότι θα έρθει η περίπτωση όπου θα ισχύει η προηγούμενη σχέση για τα μέτρα των ταχυτήτων , αλλά αυτές θα είναι ομόρροπες και κάποιοι λόγω κεκτημένης ταχύτητας θα μιλούν για κύλιση.Γι αυτό καλό είναι πάντα μπροστά το άλογο και πίσω το κάρο…
Καλημέρα και πάλι Στάθη και Ξενοφώντα.
Ξενοφώντα η σχέση υ=ωR που χρησιμοποιούν οι μαθητές χωρίς να καταλαβαίνουν τι ακριβώς λέει, προφανώς ΔΕΝ λέει τίποτα και δεν μπορεί να εξασφαλίζει τίποτα…
Αν αναφερόμαστε όμως σε έναν τροχό και οι δυο ταχύτητες του κέντρου μάζας και η γραμμική είναι ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ (και όχι ίσου μέτρου), τότε έχουμε κύλιση!
Στάθη το "παράδοξο του τροχού του Αριστοτέλη" έχει μείνει στην ιστορία επειδή νομίζουμε ότι και οι δύο κύλινδροι κυλίονται, πράγμα που προφανώς δεν ισχύει. Αν κυλίεται ο μεγάλος, ολισθαίνει ο μικρός και αντίστροφα. Αλλά η συνθήκη για την κύλιση (και στους δύο κυλίνδρους…) μπορεί να γίνει είτε συγκρίνοντας τόξα και μετατοπίσεις κέντρου μάζας, είτε ταχύτητες κέντρου μάζας και γραμμικές ταχύτητες.
Αλλά επί της ουσίας, ας δούμε κάτι ακόμη παρακάτω.