by 
Στον πρόσφατο διαγωνισμό Φυσικής, μπήκε το ερώτημα:
Ένα κλειστό δοχείο βρίσκεται σε περιοχή όπου δεν υπάρχει βαρυτικό πεδίο και επικρατεί κενό. Μέσα στο δοχείο υπάρχει ιδανικό υγρό και με κάποιο μηχανισμό επικρατεί σταθερή πίεση P. Κάποια στιγμή ανοίγει μια μικρή τρύπα, εμβαδού Α στο δοχείο, οπότε αρχίζει να εκρέει το υγρό. Η πίεση εξακολουθεί να παραμένει σταθερή και ίση με P. Η δύναμη F που ασκείται στο δοχείο, εξαιτίας του υγρού που εξέρχεται, ισούται με:
α. 1/2 ΡΑ. β. ΡΑ. γ. 3/2 ΡΑ δ. 2ΡΑ
Σωστή απάντηση θεωρήθηκε η δ.
Μου γράφει ένας φίλος:
Κατανοώ πως από την εξίσωση Bernoulli η πίεση p προκύπτει ίση με 1/2ρυ^2. Αλλά για να καταλήξουμε στην εξίσωση Bernoulli δεν θεωρούμε πως στη στοιχειώδη ποσότητα υγρού μάζας Δm ασκείται από το υπόλοιπο υγρό δύναμη F=pΑ (και όχι 2pΑ) της οποίας το έργο pAΔx ισούται με 1/2Δmυ^2;
Από την άλλη, η σχέση F=Δmυ/Δt μας δίνει F=2pA. Πώς συνδυάζονται αυτά τα δύο συμπεράσματα; Είναι άλλη αυτή η F; Πού κάνω λάθος;
Τι λέτε συνάδελφοι;
Καλή Κυριακή σε όλους.
Μέχρι να φτάσουμε, στη στιγμή που να δώσουν οι υποψήφιοι τα μαθηματικά τους και να ασχοληθούν ξανά με Φυσική, ας δούμε ένα ερώτημα συναδέλφου, που μου τέθηκε…
Καλημέρα Διονύση.
Μια λύση χωρίς Μπερνούλι:
Ευχαριστώ Γιάννη.
Πρόσεξε τι λες:
…Αυτό είναι ίσο με F.δx=PA.δx
Ήδη έχεις θεωρήσει ότι η δύναμη έχει μέτρο F=PA… και στη συνέχεια καταλήγεις στο 2ΡΑ!!!
Αυτό επισημαίνει ο φίλος με το ερώτημά του…
Όχι βέβαια!
Δεν μιλώ για F.A. Μιλώ για την Fεμβ.Αερμβ.
Συμπληρώνω αμέσως.
Το λάθος μου ήταν στο ότι συμβόλισα με Α δύο διαφορετικά εμβαδά. Έχω διορθώσει τώρα.
Δηλαδή άλλη είναι η δύναμη που ασκεί ο μηχανισμός και άλλη η δύναμη που δέχεται η μαζούλα.
Μιλώ για Fεμβ και για F.
Θα μπορούσα να πω κατ' ευθείαν ότι το έργο είναι P.δV (χωρίς να μπλέξω Fεμβ και Αεμβ ,) αλλά το ήθελα μαθητικότερον.
Γιάννη, να το …τραβήξουμε λίγο.
Και γιατί να σκεφτείς με το έμβολο και τη δύναμη που του ασκείται;
Το σχήμα το πρόσθεσα εγώ, στην εκφώνηση μιλάει για μηχανισμό που εξασφαλίζει σταθερή πίεση.
Γιατί να μην εστιάσουμε σε ένα στοιχειώδη όγκο ρευστού, σχήματος κυλίνδρου με βάση Α και να βρούμε την δύναμη που επιταχύνει τον όγκο αυτό και του προσδίδει ταχύτητα υ;
Γιατί όχι Διονύση.
Ο κύλινδρος βρίσκεται σε πίεση P αρχικά και σε μηδενική πίεση τελικά. Έτσι παράγεται επ' αυτού έργο abs(ΔP.δV)=(P-0)δV.=P.δV
Αν ο κύλινδρος Γιάννη επιταχύνεται από κάποια δύναμη F, τότε το έργο που λες, γράφεται:
ΡΔV=(F.A).Aδx=Fδx
όπου F=PA
Υποπτεύομαι πως θέλεις να το τραβήξουμε και άλλο. Μήπως θέλεις τον υπολογισμό του έργου επί του κυλινδράκου να εκφραστεί ως δύναμη επί μετατόπιση (ύψος κυλίνδρου);
Αυτό έγραψα παραπάνω Γιάννη…
Γράφαμε μαζί. Υποπτευόμουν πως αυτό θέλεις τελικά.
Ελπίζοντας ότι τώρα δεν γράφουμε μαζί, ας πω ότι άλλο έργο έχει μια δύναμη που κινεί έναν κύλινδρο με σταθερή ταχύτητα και άλλο μία δύναμη που από την ακινησία του προσδίδει ταχύτητα υ.
Καλησπέρα σε όλους.
O Γιάννης εφαρμόζει επιτυχώς του θεώρημα Euler.
Το λάθος στην αρχική ερώτηση κατ' εμε, προκύπτει από την θεώρηση της μαζούλας στην απόδειξη του θεωρήματοBernoulli, η οποία οδήγησε στο ότι δέχεται δύναμη pA από το υπόλοιπο υγρό. Δεν είναι μαζούλα αλλά φλέβα, και δέχεται μία δύναμη p Αεμβ από τον μηχανισμό και μία δύναμη -pεξ Α από το άνοιγμα. Τώρα ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της φλέβας ισούται με
-δm/δt υεμβ + δm/δt υ = -ρ Αυ^2 + ρ Αεμβ υεμβ^2
(η ορμή της ποσότητας που εξέρχεται, μείον την ορμή της ποσότητας που κατέρχεται)
Αλλά pεξ = 0 και υεμβ=0, οπότε
pεμβ Α – pεξ Α = – ρ Αεμβ υεμβ^2 + ρ Α υ^2 => pεμβ Α = ρ Α υ^2 => F = ρ Α υ^2.
Τα υπόλοιπα είναι γνωστά, από Bernoulli, υ^2 = 2p/ρ, οπότε F = 2pA.
(Γράφω από το κινητό και έχω ένα μικρό πρόβλημα στα σύμβολα)
Καλησπέρα Στάθη.
Νομίζω πως άλλο θέλει ο Διονύσης και όχι μια σωστή λύση. Ρωτάει (μάλλον) γιατί η δύναμη που δέχεται η μαζούλα να μην είναι ίση με την πίεση P επί την διατομή Α;
Για να πω την αμαρτία μου Γιάννη, ποτέ δεν κατάλαβα τις μαζούλες στα υγρά. Ποια μαζούλα είναι αυτή, ποια η διατομή της και γιατί η δύναμη πάνω της ισούται με pΑ; Μήπως ένας κύβος με εμβαδόν έδρας ίσο με Α, ακριβώς πίσω από το άνοιγμα;