by 
Στον πρόσφατο διαγωνισμό Φυσικής, μπήκε το ερώτημα:
Ένα κλειστό δοχείο βρίσκεται σε περιοχή όπου δεν υπάρχει βαρυτικό πεδίο και επικρατεί κενό. Μέσα στο δοχείο υπάρχει ιδανικό υγρό και με κάποιο μηχανισμό επικρατεί σταθερή πίεση P. Κάποια στιγμή ανοίγει μια μικρή τρύπα, εμβαδού Α στο δοχείο, οπότε αρχίζει να εκρέει το υγρό. Η πίεση εξακολουθεί να παραμένει σταθερή και ίση με P. Η δύναμη F που ασκείται στο δοχείο, εξαιτίας του υγρού που εξέρχεται, ισούται με:
α. 1/2 ΡΑ. β. ΡΑ. γ. 3/2 ΡΑ δ. 2ΡΑ
Σωστή απάντηση θεωρήθηκε η δ.
Μου γράφει ένας φίλος:
Κατανοώ πως από την εξίσωση Bernoulli η πίεση p προκύπτει ίση με 1/2ρυ^2. Αλλά για να καταλήξουμε στην εξίσωση Bernoulli δεν θεωρούμε πως στη στοιχειώδη ποσότητα υγρού μάζας Δm ασκείται από το υπόλοιπο υγρό δύναμη F=pΑ (και όχι 2pΑ) της οποίας το έργο pAΔx ισούται με 1/2Δmυ^2;
Από την άλλη, η σχέση F=Δmυ/Δt μας δίνει F=2pA. Πώς συνδυάζονται αυτά τα δύο συμπεράσματα; Είναι άλλη αυτή η F; Πού κάνω λάθος;
Τι λέτε συνάδελφοι;
Κε Κυριακόπουλε, γράφετε ότι "άλλη είναι η δύναμη που ασκεί ο μηχανισμός και άλλη η δύναμη που δέχεται η μαζούλα". Η δύναμη που δέχεται η μαζούλα, έστω F, δεν είναι που την επιταχύνει σε ταχύτητα υ; Αυτής της δύναμης το έργο δεν είναι ίσο με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια της μαζούλας;
Και το έργο της θα είναι WF=FΔx, όπου Δx το ύψος κυλίνδρου διατομής Α;
Σ' αυτήν την περίπτωση εξισώνοντας το έργο της δύναμης από το έμβολο WFεμβ=FεμβΔxεμβ με το έργο της F, και θεωρώντας ότι ΑεμβΔxεμβ=ΑΔx=ΔV, προκύπτει ότι η F είναι ίση με pΑ.
Μια Μπερνουλοπρεπής λύση:
Στάθη είναι μια στοιχειώδης μάζα. Είναι ακίνητη σε περιβάλλον πίεσης P και μεταβαίνει σε περιβάλλον μηδενικής πίεσης.
Το επ' αυτής έργο είναι P.δV. Γίνεται κινητική ενέργεια ίση με 1/2.ρ.δV,υ.υ.
Ναι Θοδωρή η δύναμη F επιταχύνει τη μαζούλα. Το έργο της είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής της ενέργειας, δηλαδή 1/2.ρ.δV,υ.υ.
Στο μυαλό μου είχα την λύση που έστειλα αρχικά.
Ψάχνω την αντίφαση τώρα.
Μοιάζει να μην είναι το έργο F.δx αλλά F.δx/2.
Γιάννη αν κάνω την μάζα υλικό σημείο, το οποίο δέχεται δύναμη p dA στην πίσω πλευρά της και μηδέν από μπροστά, η δύναμη είναι p dA, όχι pA. Αν η μάζα δεν είναι υλικό σημείο αλλά μία φλέβα, ξέρω, προσεγγιστικά, μόνον τις δυνάμεις στα άκρα της, αν και μόνον άν η φλέβα ξεκινά από το έμβολο/μηχανισμό και καταλήγει στην οπή. Δεν είναι διαφορετικό πρόβλημα;
Σκέφτομαι Θοδωρή ότι δεν είναι η δουλειά ίδια για όλα τα τμήματα του κυλινδράκου.
Το πρόσθιο τμήμα βγαίνει αμέσως έξω. Το οπίσθιο πρέπει να μετατοπισθεί κατά δx ώστε να βγει΄έξω. Το μεσαίο πρέπει να μετατοπισθεί κατά δx/2 ώστε να βγει έξω. Το έργο είναι το άθροισμα:
F.0+F.δx1+F.δx2+…. +F.δxi+……
Αισθάνομαι (και μάλλον αποιδεικνύεται εύκολα) ότι το άθροισμα είναι F.δx/2.
Στάθη δεν κατάλαβα γιατί αντικαθιστάς το P.A με το P.dA. Δεν είναι απειροστή η διατομή.
Το θέμα όμως είναι πως η δύναμη είναι 2P.A και όχι P.A.
Εν τω μεταξύ Διονύση στο σχήμα φαίνεται η φλέβα να "πέφτει" προς τα κάτω, εν τη απουσία βαρυτικού πεδίου…
(έκανα μία ώρα νε επιλέξω "φάτσα")
Γιάννη αυτό ακριβώς λέω. Η δύναμη σε μία μαζούλα είναι pdA, αλλά η δύναμη στο δοχείο οφείλεται σε όλη την φλέβα. δηλαδή το υγρό στο δοχείο. Δεν είναι όλα τα απειροστά ίσα. Φοβάμαι ότι σε αυτό το πρόβλημα, η μαζούλα κρύβει κινδύνους. Ακόμα και αν το εμβαδόν είναι ίσο, πώς ξέρω την πίεση πίσω της; Στην πράξη είναι ο ορισμός του vena contracta, η μαζούλα θα επιταχύνεται και αφού εγκαταλείψει το δοχείο. Νομίζω, αν δεν είμαι λάθος, ότι εδώ η φλέβα είναι πιο ασφαλής προσέγγιση.
Παραθέτω ότι ο Heisenberg είχε πει, ότι όταν συναντήσει τον "δημιουργό", θα τον ρωτήσει γιατί η σχετικότητα και γιατί η ρευστομηχανική. Και συμπλήρωσε ότι για το δέυτερο δεν περιμένει απάντηση…
Στάθη παραθέτω άλλη μία λύση:
Έτσι μάλλον παρακάμπτουμε και τη μαζούλα και τις φλέβες. Δηλαδή οι φλέβες υπάρχουν στην απόδειξη του θεωρήματος Bernoulli αλλά δεν τις ανακατέψαμε. Θεωρήσαμε ισχύον το θεώρημα. Γιατί όχι εξ' άλλου;
Έτσι με τα κλασικά των συστημάτων μεταβλητής μάζας υπολογίζουμε την προωστική δύναμη που δέχεται το δοχείο, η οποία εξουδετερώνεται από αυτήν που δέχεται από το δάπεδο, ίσως τριβή.
Καλησπέρα συνάδελφοι και σας ευχαριστώ για τη συμμετοχή.
Ας πω και γω μια γνώμη, πάνω στην αντίφαση που έχουμε.
Προφανώς αν εφαρμόσουμε Bernoulli από το έμβολο μέχρι την έξοδο και γενικευμένο νόμο στη συνέχεια έχουμε σωστό αποτέλεσμα.
Έχουμε μια φλέβα που επιταχύνεται από μια πίεση P. Όλη η φλέβα και όχι ένα τμήμα της.
Αν τώρα έρθουμε σε ένα μικρό κύλινδρο με βάση Α, όπως στο σχήμα:
Αυτός, πράγματι στη μια βάση του δέχεται δύναμη F=PA, το έργο της οποίας όμως, δεν δίνει την κινητική ενέργεια του υγρού του κυλίνδρου, αλλά τη μεταβολή της κινητικής ενέργειάς του. Έχουμε δηλαδή:
ΡΑ.δx = ΔK
αφού δεν είναι ακίνητο το ρευστό που περιέχεται στον μικρό κύλινδρο. Έχει ήδη κάποια ταχύτητα κάθε στοιχειώδης "μαζούλα" που περιέχεται στο κύλινδρο με το σκούρο χρώμα στο σχήμα.
Καλησπέρα Διονύση.
Να δεχθώ φυσικά όσα γράφεις, όμως γράφεις ότι η δύναμη είναι P.A;
Εννοείς ότι P.A είναι η συνισταμένη, ενώ η δύναμη στην αριστερή επιφάνεια είναι 2P.A ;
Όχι Γιάννη.
Η δύναμη στη βάση του σκούρου κυλίνδρου είναι ΡΑ, αλλά δεν είναι αυτή η δύναμη στην οποία οφείλεται η τελική ταχύτητα του νερού.
Η δύναμη στην οποία οφείλεται η τελική ταχύτητα του ακίνητου υγρού, είναι διπλάσια!!!!
Αυτό το ξέρουμε τελικά.
Όμως αν το υπόλοιπο σύστημα ασκεί δύναμη P.A στη βάση του σκούρου κυλίνδρου, τότε πρέπει να δέχεται δύναμη ίση με P.A.
Γιατί η προωστική δύναμη να μην είναι P.A , ίση δηλαδή με την αντίδραση της δύναμης στη βάση του σκούρου κυλίνδρου;
Αν η προωστική δύναμη είναι 2P.Α πρέπει η εκτοξευόμενη μάζα να δέχεται δύναμη ίση με 2P.A.
Που δέχεται η εκτοξευόμενη μάζα την δύναμη 2P.A;
Δεν την δέχεται στη βάση του κυλίνδρου που σχεδίασες;
Γιατί η μάζα που θεωρούμε στον δεδομένο σκούρο κύλινδρο, μέχρι να φτάσει στη θέση αυτή, έχει επιταχυνθεί δεχόμενη και οριζόντια συνιστώσα δύναμη.
Με άλλα λόγια, υπάρχουν και άλλες μάζες που επιταχύνονται μέσα στο δοχείο και που η συνισταμένη δύναμη στην οριζόντια διεύθυνση είναι 2ΡΑ