by 
Ένας αγωγός σχήματος ημικυκλίου ακτίνας R, βρίσκεται με το επίπεδό του κάθετο στις δυναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίου έντασης Β. Ο αγωγός διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης i. Να σχεδιάσετε τη δύναμη Laplace που δέχεται ο αγωγός και να υπολογίσετε το μέτρο της.
Αφιερωμένη στο Διονύση, που ασχολείται με τους αγωγούς παντός σχήματος… Μάλλον δεν είναι για μαθητές.
Δυστυχώς ή ευτυχώς Ανδρέα νομίζω ότι η άσκηση είναι και για μαθητές αφού είναι η άσκηση 36 του σχολικού βιβλίου. Άρα είναι άσκηση της διδακτέας ύλης αν δεν κάνω λάθος.
Και μία ερώτηση επί τη ευκαιρία. Αν πάρουμε μία κυκλική σπείρα που διαρρέεται από ρεύμα i και βρίσκεται παράλληλα στις δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β, τότε η συνολική δύναμη που δέχεται η σπείρα είναι μηδέν αφού χωρίζοντας τη σπείρα σε δύο ημικύκλια στο κάθε ημικύκλιο θα ασκείται δύναμη F=Bi2R όπως έχεις αποδείξει και οι δυνάμεις είναι αντίρροπες δημιουργώντας έτσι ένα ζεύγος. Πόση είναι η ροπή αυτού του ζεύγους;
Καλησπέρα Ανδρέα και σε ευχαριστώ για την αφιέρωση.
Μπορούμε να «αποφύγουμε» το … καραμπινάτο ολοκλήρωμα, σκεπτόμενοι ως εξής.
Παίρνουμε το στοιχειώδες τόξο ds, το οποίο δέχεται την δύναμη dF, όπως στο σχήμα. Την αναλύουμε στις συνιστώσες dFy και dFx. Εξηγούμε όπως και συ γιατί η οριζόντια dFx εξουδετερώνετε και στη συνέχεια γράφουμε:
dFy=dF∙ημφ=ΒΙ∙ds∙ημφ=ΒΙ∙dsx
οπότε δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε τις επιμέρους συνιστώσες και να προσθέσουμε τα dsx, βρίσκοντας F=Β∙Ι∙2R
Καλησπέρα Πάνο,
Για το πόσο είναι η ροπή, το έγραψα δίπλα.
Διονύση δεν σε φτάνει κανείς με τίποτα. Είσαι το φως του διαδικτύου αφού κανείς δεν μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητά σου. Στην περίπτωση του κυκλικού αγωγού θα μπορούσε κάποιος πολύ εύκολα να κάνει το λάθος και να πει ότι η ροπή στην περίπτωση που το πλαίσιο είναι παράλληλο με τις δυναμικές γραμμές ισούται με τ=FD όπου D η διάμετρος του πλαισίου, αν βέβαια σχεδίαζε τη δύναμη Λαπλάς πάνω στο πλαίσιο. Το σημείο εφαρμογής όμως της δύναμης βρίσκεται σ' ένα σημείο μέσα στο πλαίσιο και απέχει από το κέντρο (2/π)R
Καλησπέρα Πάνο. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό. Δεν είχα προσέξει ότι είναι η άσκηση 36 σελ. 185 του “Α΄τεύχους”. Και πως θα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα από τους μαθητές;
Για το ερώτημά σου, αν το Β είναι στο επίπεδο της σπείρας:
Από το διπλανό σχήμα, φαίνεται ότι
ΣF = 0 και τ = F.2R, όπου για την F το ολοκλήρωμα, αν δεν κάνω λάθος, δεν έχει ημφ και δίνει
F = BiR.π, άρα τ = BiRπ.2R = 2BiπR^2 και σε αυτή τη θέση είναι μέγιστη.
Από την άλλη γνωρίζουμε ότι η ροπή που δέχεται είναι τ = μ.Β.ημ90, όπου μ η μαγνητική ροπή του βρόγχου, άρα βγαίνει τ = i.S.B = i.πR^2.B και δε βγαίνει το 2 ! Που είναι το λάθος;
Η ροπή δεν είναι τ=F2R αφού η F δεν είναι πάνω στον αγωγό αλλά πιο μέσα όπως έγραψα στην ανάρτηση του Διονύση για το πλαίσιο. Η δύναμη (για το ημικύκλιο) είναι F=Bi2R αφού η δύναμη για αγωγό οποιουδήποτε σχήματος είναι ίση με BI(AB) όπου ΑΒ είναι τα άκρα του αγωγού. Για την πρόταση αυτή έχω μια πολύ απλή απόδειξη χωρίς στοιχειώδη τμήματα ή ολοκλήρωμα, αλλά θα τη γράψω αργότερα
Καλησπέρα Διονύση. Η απόδειξή σου μου θύμισε το έργο σταθερής δύναμης σε καμπύλη διαδρομή. Όντως παρακάμπτει το ολοκλήρωμα και είναι νόμιμη. Σε ευχαριστώ.
Πάνο η δύναμη είναι F=Bi2R, όταν το επίπεδο του βρόγχου είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο. Η ερώτησή σου δεν αφορούσε την περίπτωση το Β να είναι στο ίδιο επίπεδο με το βρόγχο; Πάλι F=Bi2R είναι το μέτρο της δύναμης; Για το σημείο εφαρμογής σίγουρα έχεις δίκιο, αφού ο σωστός τύπος βγάζει τ = iπR^2B.
Ανδρέα έστω ότι έχουμε έναν ρευματοφόρο αγωγό σχήματος ημικυκλίου με άκρα ΑΒ που βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Αν η διάμετρος ΑΒ είναι και αυτή παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο η δύναμη Λαπλας είναι μηδέν. Αν η διάμετρος ΑΒ είναι κάθετη στο μαγνητικό πεδίο τότε η δύναμη Λαπλάς είναι ίση με F=BI(AB)
ανάρτηση του καλού συναδέλφου και φίλου Βασίλη Τσούνη στις 20 Ιουλίου στο fb
(Βασίλη χωρίς την άδειά σου, ελπίζω να μην μου θυμώσεις…)
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2298050283643398&set=a.161737597274688&type=3&theater
Καλησπέρα Πάνο. Έχεις δίκιο, δεν υπάρχει π. Η απόδειξη είναι ίδια με αυτή που έκανα στην ανάρτηση ή αυτή που έχει ο Διονύσης. Και πάλι βγαίνει F = B.i.δ
Άρα σε έναν αγωγό όπως αυτόν η ΣF = B.i.δ-B.i.δ = 0.
Βαγγέλη καλησπέρα. Ο σύνδεσμος δεν λειτουργεί. Σε τι αναφέρεται;