Η τροχιά Hohman

Στην πρόσφατη ανάρτησή του εδώ, ο Παναγιώτης Κουμαράς προσπάθησε να αποδείξει την εξής φαινομενικά παράδοξη θέση: όταν ένας αστροναύτης κινείται γύρω από τη γη σε κυκλική τροχιά και δώσει ώθηση στο όχημά του, αυτό θα μπει σε νέα κυκλική τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας, μεγαλύτερης ενέργειας, αλλά μικρότερης ταχύτητας. Συμπέρανε δηλαδή ότι η ώθηση που δίνει αυξάνει την ενέργεια αλλά μειώνει την ταχύτητα. Όλοι μας αισθανόμαστε ότι το συμπέρασμα αυτό δεν μπορεί να είναι σωστό, και πράγματι δεν είναι όπως θα προσπαθήσω να δείξω.
Όλες οι κυκλικές τροχιές στο πεδίο βαρύτητας σφαιρικά συμμετρικού σώματος είναι ομόκεντρες. Αν ο αστροναύτης ήταν αρχικά σε κυκλική τροχιά ακτίνας r1 και ήθελε να μεταβεί σε κυκλική τροχιά μεγαλύτερης ακτίνας r2, επομένως και μεγαλύτερης ενέργειας, κι αυτό μπορούσε να το πετύχει με ένα απλό «γκάζωμα», τότε θα έπρεπε να περιμένουμε ότι στη νέα τροχιά θα είχε και μεγαλύτερη ταχύτητα. Όμως, όπως πολύ σωστά απέδειξε ο κύριος Κουμαράς, η νέα κυκλική τροχιά έχει μικρότερη ταχύτητα. Που βρίσκεται επομένως το λάθος;
Το λάθος βρίσκεται στο γεγονός ότι: Δεν είναι δυνατόν να μεταφερθούμε από μια τροχιά σε μια άλλη με απλό γκάζωμα, εκτός αν οι δυο τροχιές έχουν ένα κοινό σημείο.
Για παράδειγμα: όπως ανάφερα όλες οι κυκλικές τροχιές στο πεδίο βαρύτητας σφαιρικά συμμετρικού σώματος είναι ομόκεντρες. Αφού οι ομόκεντρες τροχιές δεν έχουν κοινό σημείο, δεν αρκεί ένα απλό γκάζωμα για να πάμε από μια τροχιά σε μια άλλη μεγαλύτερης ενέργειας. Ας εξετάσουμε όμως τι θα συμβεί αν ο αστροναύτης δώσει ένα σύντομο γκάζωμα.
Στην κυκλική κίνηση, το διάνυσμα της ταχύτητας είναι πάντα κάθετο στην επιβατική ακτίνα. Μια στιγμιαία εφαπτομενική ώθηση, θα αυξήσει το μέτρο της ταχύτητας αλλά όχι την κατεύθυνσή της. Αμέσως μετά την ώθηση η ταχύτητα θα είναι πάλι κάθετη στην επιβατική ακτίνα. Όμως η τροχιά θα πάψει να είναι κυκλική και θα γίνει ελλειπτική. Μια ελλειπτική τροχιά έχει δυο χαρακτηριστικά σημεία, το περιήλιο και το αφήλιο, στα οποία η επιβατική ακτίνα είναι κάθετη στην ταχύτητα. Το διαστημόπλοιό μας, αμέσως μετά την ώθηση, θα βρεθεί στο περιήλιο. Αυτό θα συμβεί γιατί, αμέσως μετά την ώθηση, η επιβατική ακτίνα θα είναι κάθετη στην ταχύτητα, όπως πριν, και γιατί, μετά την ώθηση, η επιβατική ακτίνα θα αρχίσει να μεγαλώνει, όπως συμβαίνει στο περιήλιο.
Πηγαίνοντας από το περιήλιο στο αφήλιο, η ταχύτητα θα μικραίνει και η ακτίνα θα μεγαλώνει. Πηγαίνοντας από το αφήλιο στο περιήλιο, θα συμβαίνουν τα αντίθετα.
Αφού με ένα απλό γκάζωμα η τροχιά μετατρέπεται από κυκλική σε ελλειπτική που εφάπτεται της αρχικής κυκλικής σε ένα σημείο, στο περιήλιο, δεν μπορούμε μ΄ αυτόν τον τρόπο να μεταβούμε από μια κυκλική τροχιά σε μια άλλη ομόκεντρη με αυτή. Για να συμβεί αυτό θα χρειαστεί ο χειριστής να κάνει κι άλλους χειρισμούς. Για παράδειγμα, καθώς απομακρύνεται από τον ήλιο και τη στιγμή που η απόστασή του από αυτόν γίνει όση και η επιβατική ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που θέλει να ακολουθήσει, να στρίψει ώστε η κατεύθυνση κίνησής του να γίνει κάθετη της επιβατικής ακτίνας και η ταχύτητά του να πάρει την τιμή που αντιστοιχεί στη δεδομένη ακτίνα. Θυμίζω ότι το τετράγωνο της ταχύτητας είναι αντιστρόφως ανάλογο της ακτίνας.
Ένας απλούστερος τρόπος είναι να ακολουθήσει την τροχιά Hohman. Έστω ότι η ακτίνα της αρχικής τροχιάς του είναι r1 και θέλει να μεταβεί σε τροχιά ακτίνας r2. Δίνει την κατάλληλη ώθηση ώστε, στην ελλειπτική τροχιά που θα βρεθεί, το αφήλιο να έχει επιβατική ακτίνα r2. Όταν φτάσει στο αφήλιο, δίνει την κατάλληλη ώθηση ώστε η τροχιά να ξαναγίνει κυκλική. Οι τρείς τροχιές που θα πάρει το διαστημόπλοιο, δίνονται στο παρακάτω σχήμα:

Η νέα τροχιά θα έχει μεγαλύτερη ακτίνα αλλά και μεγαλύτερη ενέργεια: πράγματι, η πρώτη ώθηση θα αυξήσει την ενέργεια. Το διαστημόπλοιο θα διατηρήσει την ενέργειά του μέχρι να φτάσει στο αφήλιο. Εκεί, η νέα ώθηση θα αυξήσει κι άλλο την ενέργεια.
Όμως η ταχύτητα του διαστημοπλοίου θα μικρύνει. Αυτό θα συμβεί γιατί, ενώ η κάθε ώθηση θα αυξάνει την ταχύτητα, η μετάβαση από το περιήλιο στο αφήλιο θα μειώσει την ταχύτητα τόσο, ώστε συνολικά η ταχύτητα θα μειωθεί.
Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι: για να μεταβεί από τη μια κυκλική τροχιά το διαστημόπλοιο σε μια άλλη ομόκεντρη μεγαλύτερης ακτίνας χρειάζονται τουλάχιστον δυο γκαζώματα.