Το κέντρο μάζας τριγωνικής πλάκας.

Γιάννη, εσύ για να αποδείξεις το νόμο του Αρχιμήδη, χρησιμοποιείς ένα παρατηρησιακό δεδομένο: ότι το νερό που περιέχεται σε έναν όγκο νερού ισορροπεί μέσα στο νερό. Με παρόμοια μέθοδο μπορείς να αποδείξεις και άλλα πράγματα. Για παράδειγμα: μέσα από ένα χάλκινο σωλήνα μήκους 1 μέτρο και πάχους 1 εκ. μπορεί να περάσει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκος κύματος της τάξης του μm. Γιατί, αν δεν μπορούσε να περάσει, δεν θα βλέπαμε αν βάζαμε το χάλκινο σωλήνα μπροστά από το μάτι μάς.

Στο πρόβλημα της άνωσης: την απόδειξη του Αλεξόπουλου την είχα μάθει και γω σε μικρή ηλικία. Δεν είναι δα και καμιά ανώτερη πνευματική διαδικασία. Επί πλέον υπάρχουν αντιρρήσεις: Το να κρατιέται στη θέση του νερό μέσα στο νερό είναι διαφορετικό από το να κρατιέται στερεό μέσα στο νερό γιατί το στερεό έχει στερεή επιφάνεια για να ασκείται πίεση επάνω της. Η μαθηματική απόδειξη είναι ανώτερη αλλά, για να δω, μπορεί να μου την κάνει κανένας;

Εστιάζεις πολύ στη διαδικασία και λίγο στο αποτέλεσμα. Μερικές φορές το αποτέλεσμα έχει πολύ ενδιαφέρον, αλλά για να φθάσεις σ΄ αυτό δεν αρκούν οι "νοητικές διαδικασίες". Θα σου πω ένα παράδειγμα: όταν έχεις ένα ρευματοφόρο βρόγχο και υπολογίσεις το μαγνητικό πεδίο σε αποστάσεις πολύ μεγαλύτερες από τις διαστάσεις του βρόγχου (το μακρινό πεδίο) η μορφή του είναι στάνταρ, δηλ. δεν εξαρτάται από το σχήμα του βρόγχου. Ο τύπος έχει μόνο τη διπολική ροπή, δηλ. το γινόμενο του Ι και του S, την απόσταση και βέβαια το μοναδιαίο διάνυσμα από το βρόγχο προς το σημείο παρατήρησης. Αυτό το αποτέλεσμα δεν βγαίνει με νοητικές διαδικασίες.

Ο υπολογισμός της άνωσης γίνεται, πολύ σωστά, με χρήση του gradient theorem.

Πολλά πράγματα δεν τα είχαμε διδαχτεί στο φυσικό. Σαν φοιτητής είχα μάθει το θεώρημα του Gauss (το divergence theorem) από προσωπική μελέτη αλλά δεν θυμάμαι αν είχε γίνει από έδρας. Το gradient theorem ούτε το είχα μάθει ούτε είχε γίνει. Κάποτε όμως έπεσα σε ένα ολοκλήρωμα σαν αυτό της άνωσης. Με λίγη προσωπική έρευνα (επαν)ανεκάλυψα το gradient theorem βασιζόμενος στο divergence theorem.

Στη μελέτη που μου έστειλες γίνεται η απόδειξη του gradient theorem στη βάση του divergence theorem. Όμως η απόδειξη γίνεται εκφράζοντας το διανυσματικό πεδίο E(r) σαν γινόμενο ενός βαθμωτού πεδίου επί μια διανυσματική σταθερά. Γενικά ένα διανυσματικό πεδίο δεν εκφράζεται έτσι. Σε ρωτάω: δηλαδή η απόδειξη του gradient theorem από το divergence theorem δεν απαιτεί μια ανώτερη πνευματική διεργασία; Θέλω λοιπόν να δω αν κάποιος από το δίκτυο μπορεί να την κάνει. Και μάλιστα χωρίς να πάρει βοήθεια από αλλού.

Γιάννη, με τον ίδιο τρόπο που:

Έχει νόημα να σου αποδείξω το θεώρημα Στάινερ τη στιγμή που έχω δει την απόδειξη παλαιόθεν;

και για μένα δεν έχει νόημα να σου αποδείξω την αρχή του Αρχιμήδη με το μέθοδο της ισορροπίας του νερού στο νερό, αφού… έχω δει αυτή τη μέθοδο παλαιόθεν.

Έχω όμως την πεποίθηση ότι, πολύ λίγοι ξέρουν το divergence theorem, ακόμα λιγότεροι το gradient theorem και ακόμα λιγότεροι τη διαδικασία με την οποία το δεύτερο θεώρημα αποδεικνύεται από το πρώτο. Η απόδειξη είναι εύκολη, αλλά θέλει λίγη φώτιση. Και η φώτιση είναι ανώτερη πνευματική διεργασία.