by 
Υπάρχει κάποιος που δεν γνωρίζει ότι το κέντρο μάζας ομογενούς και ισοπαχούς πλάκας βρίσκεται στο βαρύκεντρο, ήτοι το σημείο τομής των διαμέσων του;
Αναζητούμε απόδειξη. Η απλούστερη κερδίζει.
Αφιερωμένη στον Σπύρο Τερλεμέ που με ώθησε να την σκεφτώ ως παράδειγμα.
Ευχαριστώ πολύ κ.Γιάννη για την αφιέρωση.
Τυγχάνει να έχω ασχοληθεί αρκετά με το παραπάνω θέμα….
Εφόσον αναζητείτε την συντομότερη λύση, να κάνω μια προσπάθεια:
Αναφέρετε ότι η πλάκα είναι ομοιογενής. Κατά συνέπεια έχουμε την ίδια πυκνότητα παντού. Χωρίζουμε σε λεπτές ράβδους, παράλληλες μεταξύ τους και παράλληλες με τη μια έστω πλευρά. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά, χωρίζει στη μέση κάθε μια από τις ράβδους. Τότε κάθε μικρή ράβδος (τομή) μπορεί να ισορροπηθεί στην διάμεσο, και προφανώς αυτό δεν θα γινόταν αν το κέντρο μάζας ήταν εκτός….Εφαρμόζουμε την λογική αυτή για κάθε πλευρά και είναι φανερό ότι το κέντρο μάζας είναι το σημείο τομής των διαμέσων.
Τα πράγματα φυσικά αλλάζουν αν δεν υπάρχει ομοιογένεια, και εκεί πρέπει να εμπλέξουμε ολοκληρώματα αν γνωρίζουμε την συνάρτηση της πυκνότητας.
Γεια σου Γιάννη
Μπήκα στον πειρασμό για το λουκούμι.
Χωρίζω το τρίγωνο σε συνεχόμενες ράβδους από το Α προς την ΒΓ παράλληλες προς αυτήν.
Το cm κάθε ράβδου είναι στο μέσο της. Τα cm όλων των ράβδων είναι πάνω στη διάμεσο.Επομένως το cm του τριγώνου οφείλει να είναι σε σημείο της διαμέσου.
Κάνω το ίδιο ξεκινώντας από μια άλλη κορυφή και καταλήγω στο ίδιο συμπέρασμα. Άρα το cm τελικά οφείλει να είναι στο σημείο τομής των διαμέσων
καλησπέρα Γιάννη
δεν έχω δει την απόδειξη του Σπύρου (εξαιρετικό το επίπεδο του οποίου σε όσα έχω δει)
σύντομη απόδειξη: α. θεωρώ ότι το τρίγωνο χωρίζεται σε μικρού εύρους λωρίδες παράλληλες στην πλευρά ΒΓ (αυτές είναι τραπέζια, σχεδόν παραλληλόγραμμα, όμως, λόγω του μικρού εύρους). Το κέντρο μάζας κάθε λωρίδας είναι στο μέσον της, άρα το κέντρο μάζας όλων των λωρίδων, δηλαδή του τριγώνου, είναι κάποιο σημέιο της ευθείας που αυτά ορίζουν, δηλαδή της διαμέσου ΑΔ, β. ομοίως για την ΒΕ, γ. ομοίως για την ΓΖ (προφανώς από Γεωμετρία, μας φτάνουν τα α. και β.)
Γεια σου Σπύρο. Γράφαμε μαζί. Με πέρασες ένα λεπτό. Με την ευκαιρία συγχαρητήρια για τις γνώσεις σου!!!
Ευχαριστώ πολύ κ.Βαγγέλη και κ.Γιώργο,
Από ότι βλέπω όλοι κινούμαστε σε παρόμοιες μεθόδους.
Καλησπέρα Βαγγέλη. Ως πειραματικός φυσικός περίμενα να κάνεις μια λακουβίτσα στο σημείο τομής των διαμέσων και να στηρίξεις το τρίγωνο πάνω σε μια βελόνα.
. Λες να εννοεί αυτό ο Γιάννης?
Καλησπέρα παιδιά.
Φυσικά αυτό εννοεί ο Γιάννης:
Υποσχέθηκα στον Σπύρο σε άλλη συζήτηση ένα παράδειγμα.
Η συζήτηση σχετίζεται με την χρήση των Μαθηματικών και την κομψότητα.
Κάνατε και οι τρεις την άριστη (επί του παρόντος, διότι καφετζού δεν είμαι λύση).
Σκεφθείτε να δοθεί μια λύση που θα υπολογίζει τη θέση του κέντρου μάζας μέσω επιφανειακής πυκνότητας και ολοκληρωμάτων είτε διπλών (dx.dy) είτε απλών (μόνο dx).
Αυτό ήθελα να πω στον Σπύρο.
καλησπέρα Σπύρο
καλησπέρα Γιώργο, το πείραμα το είχα δείξει πολλές φορές στο Γυμνάσιο (28 χρόνια εκεί) και στο ΕκΦΕ, αλλά και είχα επιμείνει, επίσης πολλές φορές, στη δύναμη βάρος
Γιάννη, θεωρώ ότι κερδίζει ο Σπύρος και γιατί είναι μαθητής και γιατί μας πρόλαβε
Φυσικά κερδίζει.
Φυσικά θα κερδίζει πάντα αν σκέφτεται πριν κάνει άσκοπη χρήση Μαθηματικών.
Άλλο ένα παράδειγμα:
Δεν ξέρω αν κάποιος του βρίσκει κάποιου είδους κομψότητα.
Αν ζωγράφιζε τα δύο διανύσματα έχων καταλάβει ότι είναι κάθετα, θα έβλεπε ότι αυτονοήτως μπορεί να εφαρμόσει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Προς τι οι πράξεις;
Δίνω και γω μια απόδειξη ότι το κέντρο μάζας είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Η απόδειξη όμως ξεκινά από τον ορισμό του ΚΜ και χρησιμοποιεί αναλυτική γεωμετρία.
Η απόδειξη εδώ.
Και επειδή τα .pdf είναι καλύτερα:
Η απόδειξη σε .pdf εδώ.
Αυτά εννοούσα.
Φυσικά είναι χαριτωμένο παιγνίδι. Παιγνίδι όμως.
Η απλή απόδειξη που παρέθεσαν οι προηγούμενοι είναι μια ανώτερη νοητική διεργασία.
Δεν το λέω μόνο λόγω της απουσίας κάθε πράξης.
Όπως υπάρχουν δύο υπολογισμοί της άνωσης. Ο συνήθης με τη διαφορά πιέσεων και αυτός με το νερό που αντικαθιστά το σώμα.
Ο δεύτερος είναι κλάσεις ανώτερη νοητική διεργασία.
Γιάννη, φοιτητής ων, είχα ακούσει ένα ανέκδοτο για τον Αινσταιν. Πήγε λέει ο Αινσταιν να επισκευτεί μια φυλή ιθαγενών της Αφρικής. Εκεί τους ζήτησε φωτιά για να ανάψει την πίπα του. Αυτοί πήραν δυο ξύλα και άρχισαν να τα τρίβουν με τον τρόπο που τα τρίβουν για να βγάλουν φωτιά. Χρειάστηκε αρκετός χρόνος, αλλά, εν τέλει, το ένα ξύλο πήρα φωτιά. Την έδωσαν στον Αινσταιν να ανάψει την πίπα του. Τότε ο Αινσταιν έσκισε τα ρούχα του και αποφάσισε να ζήσει με αυτούς τους ιθαγενείς.
Μου είχε κάνει μεγάλη εντύπωση το ανέκδοτο. Αφού το θυμάμαι ακόμα.
Γιάννη, εντάξει. Μπορείς να υπολογίσεις την άνωση που δέχεται ένα σώμα με τα τεχνάσματα που ξέρεις. Αλλά μπορείς να την υπολογίσεις και με μαθηματικά.
Ο υπολογισμός με μαθηματικά είναι εύκολος αν το σώμα έχει ένα απλό σχήμα, είναι πχ κύβος. Τι γίνεται όμως αν έχει ακανόνιστο;
Αφού μας έδειξες πως υπολογίζεις την άνωση με τέχνασμα, θα σε προκαλέσω να την υπολογίσεις με μαθηματικά. Για σώμα ακανόνιστου σχήματος.