by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m και μάζας m=3kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=6Ν, κάθετη στην ράβδο, στο άκρο της Α, όπως στο σχήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ιcm= mℓ2/12.
- Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο της ράβδου, καθώς και η επιτάχυνση του άκρου Α, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.
- Υποστηρίζεται ότι η κίνηση της ράβδου μπορεί να θεωρηθεί μόνο στροφική. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.
- Μπορείτε να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το άκρο Α της ράβδου και όχι το κέντρο μάζας Ο;
- Αν σας δίνετε ότι το άκρο Α της ράβδου αποκτά επιτάχυνση αΑ=4m/s2, όταν αλλάξουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, να βρείτε την αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο της ράβδου, θεωρώντας την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική και μια περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Α.
Τα δύο τελευταία ερωτήματα απευθύνονται μόνο σε καθηγητές.
ή
Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;
Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;
Γιάννη έχεις δίκιο, είναι θέμα Γεωμετρίας.
Ας δούμε το θέμα με βοήθεια από το μακρινό παρελθόν
που εκτιμούσαν τη Γεωμετρία:
Stefan Banach Mechanics
κεφ. 7, KINEMATICS OF A RIGID BODY σελ 311
Όταν το διάβασα για πρώτη φορά με είχε εντυπωσιάσει και είχα δημιουργήσει
δικά μου σχήματα, τα οποία δυστυχώς δεν μπορώ να βρω.
ΥΓ.
Από το δεύτερο link μπορείς να κατεβάσεις το κεφ. 7 που περιέχει την απόδειξη.
Νίκο μου φαίνεται τόσο αυτονόητο που απορώ πως έχει θέση θεωρήματος.
Μετακινώ το σχήμα ώστε το Α να συμπέσει με το Α΄. Έπειτα περιστρέφω περί το Α ώστε το Β να συμπέσει με το Β΄.
Τελείωσα διότι είναι στερεό και θα συμπέσουν όλα τα σημεία. Ξέρουμε πως τρίγωνα με ίσες πλευρές είναι ίσα.
Ποιος είμαι φυσικά ώστε να σχολιάζω προiόντα του Euler αλλά….
Μου θυμίζει το θεώρημα των λουκουμιών:
-Αν βγάλω όλα τα λουκούμια από το κουτί τους, αυτό θα μείνει άδειο!
Καλημέρα Νίκο, καλημέρα Γιάννη.
Νίκο σε βλέπω σε μεγάλα κέφια, ελπίζω να μην έχουμε εικόνες, ανάλογες με αυτήν που έβαλες παραπάνω
οι οποίες να περιέχουν απωθητικές μαθηματικές εξισώσεις ή διανύσματα όπως το παρακάτω:
Καλημέρα Νίκο, ξανακαλημέρα Διονύση.
Νίκο ξαφνιάστηκα χθες. Μίλησα για Κινηματική Γεωμετρία. Το είδα καλύτερα σήμερα. Είναι απλή κλασική Γεωμετρία.
Θέλεις να βρούμε μια στροφική κίνηση για κάθε μετατόπιση και αλλαγή προσανατολισμού.
Η κατασκευή:
Το Α πηγαίνει στο Γ και το Β στο Δ. Σχεδιάζουμε τις μετατοπίσεις. ΑΓ και ΒΔ.
Φέρουμε τις μεσοκαθέτους των ΑΓ και ΒΔ. Τέμνονται στο Ε. Αυτό είναι το κέντρο της στροφής.
Μπορούμε να δείξουμε ότι η γωνία ΑΕΓ είναι ίση με την ΒΕΔ.
Δεν θα το κάνω, πάντως είναι ίσες. Με τη βούλα του Geogebra. Στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι αμφότερες 53,13 μοίρες.
Έτσι καταλαβαίνουμε γιατί η χθεσινή περίπτωση δεν είχε λύση.
Οι μεσοκάθετοι δεν τέμνονταν.
Να προσθέσω ιδιαίτερα σύντομη αόδειξη:
Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΓΕΔ είναι ίσα, ως έχοντα τις πλευρές ίσες.
Καλημέρα Γιάννη.
Μήπως τέμνονται πάντα οι δυο μεσοκάθετοι και υπάρχει πάντα κέντρο περιστροφής, εκτός και αν η κίνηση είναι μεταφορική, όπως στο σχήμα:
Ακριβώς αυτό που λες.
Έτσι δεν την πάτησα χθες και είπα ότι δεν γίνεται;
Είχα μια στροφή 180 μοιρών.
Επίσης ας μην είναι μεταφορική η κίνηση. Θα υπάρξει πρόβλημα αν το σώμα εκτελέσει ακέραιο αριθμό ημιπεριστροφών.
Όμως δεν έχω καταλάβει που το πάει ο Νίκος. Δηλαδή πως σχετίζονται αυτά με την παρούσα ανάρτηση που είναι αναντάμ μπαμπαντάμ Δυναμική.
Σωστά για το ακέραιο πλήθος ημιπεριστροφών.
Μήπως λοιπόν, πρέπει να μην μείνουμε σε δυο συγκεκριμένες θέσεις, αλλά για δύο τυχαίες στιγμές-θέσεις;
Ναι. στην τυχαία θέση έχουμε λύση.
Υποθέτω πως το θεώρημα μιλάει για μια μεταφορά συν μια περιστροφή και όχι για μια περιστροφή μόνο ώστε να καλύψει κάθε περίπτωση, ακόμα και αυτήν των ημιπεριστροφών.
Αντιλαμβάνομαι επίσης το "αναλύεται σε μια μεταφορά συν μία περιστροφή" ως εμπλοκή των δύο ταχυτήτων. Της υ κάποιου σημείου και της υπ ως προς το σημείο. Τότε φεύγουμε από την Γεωμετρία (μετατοπίσεις με στροφή) και πάμε στην Φυσική, στην οποία προτιμάμε το κέντρο μάζας έναντι όλων των άλλων.
Εκτός αν θέλουμε να ανακατέψουμε στροφορμές, κάτι που δεν διδάσκεται από εμάς στην Γ.
Καλημέρα Διονύση και σε όλη την παρέα. Διδακτικότατο θέμα και ενδιαφέρουσα η κουβέντα που προέκυψε. Άραγε ο Θοδωρής ψαρεύει ακόμα;
Καλό μεσημέρι Αποστόλη.
Καλός είναι ο καιρός, σχολείο δεν έχει ο Θοδωρής, μπορεί να πήρε το καλάμι και να κατέφυγε σε κάποια παραλία
Γιάννη το θεώρημα είναι απλά γεωμετρικό και λέει:
Μπορώ να πιάσω ένα στερεό που βρίσκεται σε μια "θέση" Α ενός επιπέδου,
και να το τοποθετήσω σε μια οποιαδήποτε άλλη "θέση" Β του ίδιου επιπέδου
εκτελώντας, ή ΜΟΝΟ μία μεταφορά
ή ΜΟΝΟ μία περιστροφή γύρω από κατάλληλο άξονα κάθετο στο επίπεδο.
Δηλ. στην επίπεδη κίνηση, χωρίς να απαγορεύονται δεν απαιτούνται
οι ταυτόχρονες κινήσεις για να αλλάξει η θέση ενός στερεού.
Στο παράδειγμα σου με τη κοκκινο-πράσινη ράβδο, απαιτείται μόνο μία μεταφορά.
Διαβάζοντας την άσκηση του Διονύση θυμήθηκα το θεώρημα.
Το σωστό θα ήταν να το αναρτήσω στο Forum
Καλησπέρα Νίκο.
Διακρίνω μια διαφορά μεταξύ της πρωινής τοποθέτησης του Γιάννη και του παραπάνω σχολίου σου.
Ο Γιάννης δίνει δύο θέσεις και ψάχνει να βρει με ποιο τρόπο πήγε το στερεό από την μία στην άλλη, με αποτέλεσμα όταν εγώ μίλησα για μεταφορά, μου απάντησε ότι μπορεί να μεσολαβεί και ακέραιο πλήθος ημιπεριστροφών.
Εσύ μιλάς για “τοποθέτηση” σε μια άλλη θέση και τουλάχιστον προσωπικά, το εισπράττω ότι αδιαφορείς για …τις ενδιάμεσες θέσεις.
Είναι έτσι;