by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ηρεμεί μια ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2m και μάζας m=3kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια οριζόντια δύναμη μέτρου F=6Ν, κάθετη στην ράβδο, στο άκρο της Α, όπως στο σχήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, Ιcm= mℓ2/12.
- Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο της ράβδου, καθώς και η επιτάχυνση του άκρου Α, αμέσως μόλις ασκηθεί η δύναμη F.
- Υποστηρίζεται ότι η κίνηση της ράβδου μπορεί να θεωρηθεί μόνο στροφική. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό ή όχι.
- Μπορείτε να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το άκρο Α της ράβδου και όχι το κέντρο μάζας Ο;
- Αν σας δίνετε ότι το άκρο Α της ράβδου αποκτά επιτάχυνση αΑ=4m/s2, όταν αλλάξουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, να βρείτε την αρχική επιτάχυνση του κέντρου Ο της ράβδου, θεωρώντας την κίνηση σύνθετη, μια μεταφορική και μια περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα ο οποίος περνά από το σημείο Α.
Τα δύο τελευταία ερωτήματα απευθύνονται μόνο σε καθηγητές.
ή
Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;
Γύρω από ποιο άξονα περιστρέφεται η ράβδος;
Αφιερωμένη στο Θοδωρή Παπασγουρίδη, ο οποίος την προκάλεσε, με τα ερωτήματα που έβαλε σε σχόλιο εδώ.
Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλή.
Κατάλαβα τι εννοείς λέγων "στρεφόμενος". Μιλάς γι έναν παρατηρητή που κινείται όπως το Α διατηρώντας τον προσανατολισμό του.
Διαφορετικά έχουμε την D' Alembert, την φυγόκεντρο (που είναι μηδενική την στιγμή μηδέν) την Coriolis (που είναι μηδενική την στιγμή μηδέν) και την Euler.
Καλημέρα Γιάννη.
Ας μην το κάνουμε πιο δύσκολο!
Ναι, μιλάω για έναν κινούμενο μη αδρανειακό παρατηρητή που “βλέπει” δύναμη d’ Alembert να ασκείται στο κέντρο μάζας.
Προφανώς και δεν στρέφεται και έτσι αποφεύγουμε τις υπόλοιπες δυνάμεις…
Να το ξεμπερδέψουμε πάμε, όχι να το μπερδέψουμε…
Καλημέρα Διονύση και ευχαριστώ για τον κόπο σου
Η αλήθεια είναι ότι πλησιάζοντας τα 55 ψάχνεις τρόπους να νιώθεις νεότερος..
Μόλις μου έδωσες έναν….αφού διαβάζοντας αισθάνθηκα αλληλέγγυος με τους μαθητές
Εντάξει τα δύο πρώτα…λίγο πολύ γνωστά
Τα άλλα δύο θέλουν χρόνο, χαρτί, μολύβι και επανάληψη….
Διαβάζοντας δε το σχόλιο του Γιάννη, σκέφτομαι να πάω…….. για ψάρεμα
Καλημέρα κ.Διονύση,
Είναι ακόμα μια εξαιρετική άσκηση!
Νομίζω το σημαντικότερο είναι αυτό που τονίζετε στο τέλος:
"Αλλά η πραγματικότητα είναι ότι αν δεν υπάρχει ένας πραγματικός άξονας περιστροφής, η δική μας οπτική ματιά μπορεί να δει τα πράγματα από άλλες γωνίες, ισοδύναμα…"
Πράγματι το όλο θέμα έχει να κάνει με την σκοπιά από την οποία μελετάμε τις κινήσεις. Ίσως είναι δύσκολο να γίνει αντιληπτό ότι μπορεί ο άξονας να είναι σε οποιαδήποτε σημείο,αλλά τα μαθηματικά το επιβάλλουν. Γενικότερα, η επιλογή της θέσης του παρατηρητή είναι ένα κομμάτι σημαντικό που απλοποιεί ορισμένα προβλήματα, χωρίς να χρειάζεται να καταφύγει κανείς σε πολύπλοκους υπολογισμούς.
Για παράδειγμα, η επίκληση κινούμενου παρατηρητή σε έναν δίσκο, μπορεί εύκολα να εξηγήσει τον λόγο που η γωνιακή ταχύτητα δεν εξαρτάται από τον άξονα στροφής. Δηλαδή:
Έστω κυλιόμενος δίσκος και Α το σημείο επαφής με μηδενική ταχύτητα ως προς εξωτερικό παρατηρητή. Βάζουμε παρατηρητή στο Α και βλέπουμε για το κέντρο μάζας μια ταχύτητα υ. Αντίστοιχα, βάζουμε στο κέντρο μάζας παρατηρητή και βλέπουμε για το σημείο Α μια ταχύτητα υ'. Οι δύο είναι ίσες. Αυτό σημαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα που βλέπει στο Α κάποιος, με αυτήν που βλέπει στο κέντρο μάζας κάποιος άλλος είναι ίσες, αφού έχουμε:
υ=ωR και υ'=ωR . Αφού όμως υ=υ' είναι προφανώς ω=ω'. Γενικότερα δηλαδή ο άξονας δεν μας επηρεάζει στην γωνία στροφής μέσα σε ορισμένο χρόνο. Αντίστοιχα φυσικά και για την γωνιακή επιτάχυνση…..
Καλημέρα Θοδωρή.
Το σχόλιό μου εστιάζει μόνο σε μία λέξη που έχει "πρόβλημα". Την λέξη "στρεφόμενος".
Ένα σύστημα αναφοράς που διατηρεί τον προσανατολισμό του και η αρχή των αξόνων του διαγράφει κύκλο δεν είναι στρεφόμενο.
Θα το έλεγα κινούμενο μη αδρανειακό. Όμως γίνεται κατανοητό τι εννοούσε από την συνέχεια. Αφού βάζει μόνο την D' Alembert δεν είναι στρεφόμενο, με την έννοια της αλλαγής προσανατολισμού.
Σπύρο το ότι ω=ω΄ επιβάλλεται από την κοινή λογική και όχι από κάποιους υπολογισμούς.
Δεν λέω "από κάποια Μαθηματικά" διότι Μαθηματικά δεν είναι μόνο οι υπολογισμοί. Η χρήση της κοινής λογικής συνοδευόμενη από μηδενικές πράξεις Μαθηματικά είναι.
Καλημέρα Διονύση. Πολύ διδακτική η ανάρτηση αυτή, ξεκαθαρίζει αρκετά θέματα για τον άξονα.
Στην ανάρτηση Ο δίσκος και η κινούμενη πυραμίδα (ε) ερώτημα, έγραψα:
"Η πυραμίδα δέχεται ΣFx διάφορη του 0, άρα εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση,
Όταν η συνισταμένη των δυνάµεων είναι διάφορη του µηδενός, δηλαδή το σώµα έχει επιτάχυνση, αν στρέφεται, θα στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο µάζας. Αν λοιπόν θέλουµε το στερεό να µην στρέφεται, µόνο ως προς αυτόν τον άξονα η συνολική ροπή θα πρέπει να είναι µηδέν. Ως προς τα υπόλοιπα σηµεία µπορεί η ροπή να µην είναι µηδέν, χωρίς να σηµαίνει ότι το στερεό θα έχει γωνιακή επιτάχυνση."
Θα ήταν καλύτερο για έναν μαθητή να έγραφα:
…Όταν η συνισταμένη των δυνάµεων είναι διάφορη του µηδενός, δηλαδή το σώµα έχει επιτάχυνση, αν στρέφεται, η απλούστερη προσέγγιση είναι να θεωρήσουμε ότι θα στρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο µάζας. Αν λοιπόν θέλουµε το στερεό να µην στρέφεται, µόνο ως προς αυτόν τον άξονα η συνολική ροπή θα πρέπει να είναι µηδέν. Ως προς τα υπόλοιπα σηµεία µπορεί η ροπή να µην είναι µηδέν, χωρίς να σηµαίνει ότι το στερεό θα έχει γωνιακή επιτάχυνση."
Ή αυτό που πρότεινε ο Νίκος θα ήταν πιο φιλικό προς τον υποψήφιο;
"Επειδή η βάση εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση, η συνισταμένη δύναμη διέρχεται υποχρεωτικά από το κέντρο μάζας,
οπότε η ολική ροπή ως προς το κέντρο μάζας είναι σίγουρα ίση με το μηδέν."
Καλημέρα κ.Γιάννη,
Θα συμφωνήσω ότι τα Μαθηματικά-Μαθηματική Σκέψη, δεν συνδέονται πάντα με υπολογισμούς. Είναι θέμα σωστής οργάνωσης των συλλογισμών και ο τρόπος δομής, θεμελιώνεται στα μαθηματικά……
Καλημέρα Θοδωρή, Σπύρο και Ανδρέα, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Θοδωρή λες:
“Η αλήθεια είναι ότι πλησιάζοντας τα 55 ψάχνεις τρόπους να νιώθεις νεότερος..
Μόλις μου έδωσες έναν….αφού διαβάζοντας αισθάνθηκα αλληλέγγυος με τους μαθητές”
Δύο πράγματα.
1) Δηλαδή όταν φτάσεις τα 65 τι θα γίνει; Λες να αυτοκτονήσω;
2) Σε βλέπω σε αντίθετη πορεία από τον Σπύρο. Αυτός … βιάζεται να μεγαλώσει!!!
Ανδρέα συμφωνώ ότι υπάρχουν διάφορες διατυπώσεις για να πούμε το ίδιο πράγμα. Αν και έχω χρησιμοποιήσει κατά το παρελθόν διάφορες εκδοχές, η παραπάνω διατύπωση του Νίκου Ανδρεάδη, μάλλον είναι η καλύτερη:
“Επειδή η βάση εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση, η συνισταμένη δύναμη διέρχεται υποχρεωτικά από το κέντρο μάζας, οπότε η ολική ροπή ως προς το κέντρο μάζας είναι σίγουρα ίση με το μηδέν.”
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους.
Διονύση η ανάρτηση σου φωτίζει δύσκολα σημεία και με έκανε
να γυρίσω αρκετά χρόνια πίσω, ήδη νιώθω νεώτερος και ακμαιότερος.
Αφού τα σχολεία έκλεισαν και υπάρχει ελεύθερος χρόνος,
ας κάνω κάποιες επισημάνσεις για να δω αν θυμάμαι καλά.
Αν κάνω κάποιο λάθος, ο Γιάννης θα το βρεί σε χρόνο dt και θα μου
υποδείξει το σωστό, με απλό και κατανοητό τρόπο, επικαλούμενος,
μη αδρανειακά συστήματα, με τις απαραίτητες φυγόκεντρο, Coriolis, d’Alembert και Euler.
Θα ανεβάσει μια απλή εικόνα με χαρούμενους παρατηρητές, όπως την παρακάτω.
Θα ανεβάσει και αρχεία IP no1, IP no2, … μέχρι να επιτύχει το άριστο IP.
Στο τέλος θα δώσει και μία λύση με τη κοινή λογική, δηλ. χωρίς μαθηματικά.
Ας ξεκινήσω τις επισημάνσεις, αποφεύγοντας να γράψω τύπους.
1. Έστω ένα στερεό που βρίσκεται σε μια "θέση" Α ενός επιπέδου.
Μπορώ να πιάσω το στερεό, να το σύρω και να το τοποθετήσω σε μια οποιαδήποτε άλλη "θέση" Β
του ίδιου επιπέδου προκαλώντας και αλλαγή του προσανατολισμού του, μόνο με μια στροφική
κίνηση γύρω από κατάλληλο άξονα κάθετο στο επίπεδο.
Δηλ. στην επίπεδη κίνηση, χωρίς να απαγορεύονται δεν απαιτούνται
οι ταυτόχρονες κινήσεις για να αλλάξει η θέση ενός σώματος.
2. Σε κάθε επίπεδη κίνηση στερεού που αλλάζει ο προσανατολισμός του, κάθε στιγμή,
υπάρχει ένα σημείο πάνω στο στερεό ή στην άυλη στερεή προέκτασή του
(για συντομία το λέμε σημείο επί του στερεού) που έχει ταχύτητα ίση με το μηδέν.
Άρα κάθε στιγμή το στερεό εκτελεί μόνο στροφική κίνηση.
Με απλά λόγια μια επίπεδη κίνηση, κάθε στιγμή, είναι ή μεταφορική ή στροφική.
Εμάς φυσικά μας βολεύει να θεωρούμε ότι εκτελούνται ταυτόχρονα δύο κινήσεις.
Θοδωρή μη σου ξεφύγει το ταυτόχρονα και χάσεις το νόημα.
3. Η παρακάτω εικόνα βοηθά να καταλάβουμε πως κινείται
ένας παρατηρητής που είναι "καρφωμένος" σε ένα υλικό σημείο.
Πιο σωστά ένας παρατηρητής που επιβαίνει σε ένα σύστημα συντεταγμένων,
η αρχή του οποίου είναι "καρφωμένη" σε ένα υλικό σημείο.
Το σύστημα και ο παρατηρητής εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση.
Η εικόνα βρίσκεται αναρτημένη στην εφεύρεση του Χρήστου Τσόλκα
"Κυλιόμενη σφαίρα παντοειδούς εδάφους"
4. Ανδρέα όταν ένα στερεό υπό τις x συνθήκες, εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη
μεταφορική κίνηση, δεν υπάρχει λόγος να ασχοληθούμε με περιστροφές.
Απλά η συνολική ροπή είναι ίση με το μηδέν σίγουρα ως προς το κέντρο μάζας,
διότι από αυτό διέρχεται υποχρεωτικά η συνισταμένη δύναμη.
Αν οι συνθήκες γίνουν y, και το στερεό αρχίσει να εκτελεί σύνθετη κίνηση,
θα στραφεί ως προς όποιο σημείο μας αρέσει.
Μη ξεχνάμε ότι και η στροφική γύρω από άξονα που δεν διέρχεται
από το κέντρο μάζας μπορεί να θεωρεί σύνθετη.
Μόνο στην περίπτωση ελεύθερου στερεού που μόνο στρέφεται
ως προς ένα αδρανειακό παρατηρητή, τότε υποχρεωτικά
η περιστροφή γίνεται γύρω από το κέντρο μάζας.
5. Διονύση στο iii ερώτημα αφού είναι μόνο για καθηγητές, πρόσθεσε
ως παρατήρηση ότι το αποτέλεσμα ήταν αναμενόμενο διότι
μπλα, μπλα… (εσύ γνωρίζεις καλύτερα).
Έχω κάποιες "απορίες" ακόμα… αλλά απαιτούν μαθηματικά οπότε τις αφήνω για άλλη μέρα.
Νίκο καλησπέρα.
Το πρόβλημα που θέτεις (αν το κατάλαβα) είναι άλυτο στην γενική περίπτωση, ακόμα και για ράβδο.
Το θέμα όμως δεν ανήκει στην αρμοδιότητα των αδρανειακών δυνάμεων και της Δυναμικής γενικότερα.
Είναι αρμοδιότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Αν φυσικά έχω καταλάβει.
Όχι στην γενική περίπτωση δεν μπορούμε να φέρουμε μια ράβδο από το Α σε τυχαίο Β με τυχαίο προσανατολισμό.
Το γιατί είναι σχετικά απλό:
Η πάνω εικόνα δείχνει την αρχική θέση και η κάτω την τελική.
Αν υπήρχε στροφική κίνηση περί κάποιο σημείο που θα το έφερνε από την αρχική θέση και προσανατολισμό στην τελική, τότε οι δύο κύκλοι αποκλείεται να είναι ομόκεντροι διότι τέμνονται. Επομένως δεν υπάρχει τέτοια στροφική κίνηση.
Σε μια στροφική κίνηση τα σημεία του στερεού διαγράφουν τόξα ομόκεντρων κύκλων με κέντρο κάποιο σημείο.
Σε κάποιες περιπτώσεις υπάρχει λύση. Αν το σώμα έχει στραφεί κατά γωνία φ,ψάχνουμε να βρούμε ένα σημείο Ο το οποίο:
1. Ισαπέχει από την τελική και την αρχική θέση.
2. Βλέπει την αρχική και την τελική θέση υπό γωνίαν φ.
Το πρόβλημα λύνεται τουλάχιστον με κινηματική Γεωμετρία σε κάποιες περιπτώσεις.
Η Δυναμική είναι εντελώς αναρμόδια.