by 
Στη διάταξη του σχήματος, ο άξονας περιστροφής του δίσκου Δ είναι οριζόντιος, έχει στερεωθεί στην κορυφή Ο της τετραγωνικής ομογενούς πυραμίδας Π, η οποία έχει μάζα M = 6kg, ύψος h = 0,4m και μπορεί να ολισθαίνει σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος έχει μάζα m = 4kg, ακτίνα R = 0,2m και φέρει αυλάκι, στο οποίο έχει τυλιχτεί πολλές φορές αβαρές και μη εκτατό νήμα. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε στο άκρο Ζ του νήματος οριζόντια δύναμη μέτρου F = 2N προς τα αριστερά, ο δίσκος αρχίζει να στρέφεται δεξιόστροφα και το σύστημα αρχίζει να κινείται.
α) Υπολογίστε την επιτάχυνση της κορυφής Ο της πυραμίδας.
β) Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου και το μήκος του νήματος, που θα ξετυλιχτεί μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 2s.
γ) Βρείτε τη μετατόπιση του άκρου Ζ του νήματος τη χρονική στιγμή t1.
δ) Υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που δέχεται ο δίσκος από τον άξονα περιστροφής του.
ε) Ποια θα ήταν η μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης που θα έπρεπε να ασκήσουμε στο άκρο Ζ του νήματος ώστε το στερεό να μην ανατρέπεται, αν η πλευρά της βάσης της πυραμίδας είναι L = 0,3m;
Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι = 0,5mR2, ο χώρος που καταλαμβάνει ο δίσκος εντός της πυραμίδας είναι αμελητέος, το κέντρο μάζας της πυραμίδας βρίσκεται πάνω στο φορέα του ύψους της σε απόσταση h/4 από τη βάση και g = 10m/s2.
Καλημέρα κ.Ανδρέα,
Εξαιρετική άσκηση που τα έχει όλα! Από τις καλύτερες που έχω δει….
Κινήσεις, αλληλεπιδράσεις, στροφές……
Στο ερώτημα (β) ρίξτε μια ματιά στον υπολογισμό του μήκους νήματος γιατί υπολογίζετε την γωνία στροφής έτσι και όχι το μήκος νήματος…..
Καλημέρα Σπύρο. Σε ευχαριστώ για το σχόλιο και την παρατήρηση για το μήκος του νήματος. Σωστά το είδες ότι υπολόγισα μόνο τη γωνία στροφής…
Καλησπέρα και από δω Ανδρέα και συγχαρητήρια για το θέμα που μοιράστηκες.
Πολύ καλός συνδυασμός!
Μια διαφορετική-γενική αντιμετώπιση του πολύ ωραίου θέματος,
Καλημέρα Διονύση. Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Σπύρο σε ευχαριστώ για την απόδειξη της θέσης του κέντρου μάζας πυραμίδας, η οποία θεωρήθηκε γνωστή, αφού η άσκηση απευθύνεται σε υποψήφιους Πανελλαδικών εξετάσεων.
Η εφαρμογή του 2ου Νόμου στη μεταφορική για το σύστημα, απλουστεύει τη λύση, αλλά ήθελα να δείξω και την αλληλεπίδραση ανάμεσα στα δύο σώματα.
Το μήκος του νήματος προτιμώ να το βρίσκω από τη στροφική, για να αποφεύγω την αφαίρεση των δύο μετατοπίσεων.
Επίσης Σπύρο ο τελευταίος τύπος για τη δύναμη που έχεις βγάλει δίνει μηδενικό παρονομαστή.
κ.Ανδρέα δίνει μηδενικό παρανομαστή γιατί από το σχήμα θεώρησα ότι η πυραμίδα είναι αν κοιταχτεί προσωπτικά, ισοπλευρική. Τότε το x θα είναι hεφ30. Δεν είχα δει όμως ότι στο τελευταίο ερώτημα δίνεται το μήκος της βάσης ίσο με L διάφορο του hεφ30, (δηλαδή δεν είναι ισόπλευρη)…..
Θα το αλλάξω λοιπόν, εμπεριέχοντας τα δεδομένα που δώσατε….
Καλησπέρα Ανδρέα. Μου άρεσε ιδιαίτερα το θέμα που ανέβασες. Μια απλή διάταξη, με ουσιαστικά όμως ερωτήματα. Μια σχεδιαστική παρατήρηση: Ο φορέας της δύναμης από τον άξονα φαίνεται να είναι πάνω στην ακμή της πυραμίδας. Ας τονίσουμε ότι το σχήμα είναι ενδεικτικό, αφού η F1 προκύπτει πολύ μικρότερη της Ν1.
Πολύ καλή Ανδρέα!
Με βάζεις να ψάξω υπολογισμό κέντρου μάζας πυραμίδας (ή κώνου) χωρίς ολοκληρώματα.
Καλησπέρα! Αποστόλη σε ευχαριστώ για την παρατήρηση της διεύθυνσης της δύναμης από τον άξονα και για να μην υπάρχει αμφιβολία την έγραψα στα σχόλια της άσκησης.
Γιάννη χαίρομαι που σου άρεσε και αν βρεις γεωμετρική απόδειξη, με κανένα Θεώρημα Πάππου για παράδειγμα, ανάρτησέ την αν μπορείς, στα σχόλια.
Ανδρέα, μπορεί η παροιμία να λέει: «Αργία μήτηρ πάσης κακίας», εσύ φρόντισες όμως να τη διαψεύσεις.
Μια πολύ καλή άσκηση, ορισμός της διαβαθμισμένης δυσκολίας, με ορισμένα πολύ έξυπνα ερωτήματα, όπως η δύναμη από τον άξονα
Και όπως πάντα εξαιρετικά γραφικά και άψογη παρουσίαση
Δώσε και στη λύση, την ακτίνα του δίσκου και άλλαξε το μήκος νήματος που ξετυλίγεται σε 2m
Μου άρεσε πολύ
Καλημέρα Ανδρέα.
Σήμερα στο σχολείο είχαμε συζήτηση για τροχαλία πάνω σε βάση
και είπα ότι την Δευτέρα θα λύσουμε σχετική άσκηση.
Ευχαριστώ για το έτοιμο υλικό.
Έχω μια διαφωνία στον τρόπο λύσης του ε ερωτήματος.
Σε σύστημα σωμάτων το Στ εξωτερικό ίσον με το μηδέν
δεν μας εξασφαλίζει "στροφική ισορροπία του συστήματος",
μας εξασφαλίζει ότι η στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.
Σε σύστημα σωμάτων η έκφραση "στροφική ισορροπία του συστήματος" δεν έχει νόημα.
Για παράδειγμα:
Έχω σύστημα από δύο όμοιους οριζόντιους δίσκους που στρέφονται γύρω
από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα με αντίθετες γωνιακές επιταχύνσεις.
Το Στ εξωτερικό ως προς τον άξονα είναι ίσο με το μηδέν,
όμως δεν υπάρχει "στροφική ισορροπία του συστήματος".
Στο ε ερώτημα θα πω ότι επειδή η βάση επιταχύνεται μόνο μεταφορικά,
σίγουρα το Στ (των δυνάμεων που ασκούνται στη βάση)
ως προς το κέντρο μάζας της βάσης είναι ίσο με το μηδέν.
Ανδρέα καλησπέρα και συγχαρητήρια για την ωραία άσκησή σου!!!
Κάνω κι εγώ παρόμοιες κινήσεις, αλλά ..light! Το τελευταίο ερώτημα που αναφέρεται στην ανατροπή, είναι "όλα τα λεφτά"!!
Δεν είχα ξαναδεί κάτι τέτοιο.
Φυσικά πρέπει να δίνεται η θέση του κέντρου μάζας της πυραμίδας, για να μπορέσει κάποιος να λύσει την άσκηση.
Να είσαι καλά.
Ανδρέα καλησπέρα.
Είναι μία πολύ καλή επαναληπτική άσκηση. Βλέποντας το σχήμα μου ήρθε στο μυαλό μία παρόμοια του Διονύση Μητρόπουλου.
ΘΕΜΑ Δ: Κύλινδρος σε τριγωνική βάση
Τώρα η μία βρήκε το ταίρι της καθώς εσύ τραβάς από κάτω και ο Διονύσης από πάνω.
Καλησπέρα σε όλους και σας ευχαριστώ. Θοδωρή χαίρομαι που σου άρεσε. Ακολουθώ την άλλη εκδοχή: "Αργία τέχνας κατεργάζεται", γιατί πάμε και για 2ο γύρο κλεισίματος σχολείων στην Αχαΐα… Έγινε και η διόρθωση.
Χρήστο δεν ήξερα την ανάρτηση του Διονύση Μητρόπουλου. Αν την είχα διαβάσει πιθανότατα δε θα ανέβαζα τη δική μου, αφού περιέχει μη λείο δάπεδο, συνθήκες μη ολίσθησης, ενεργειακές μετατροπές κ.λ.π. Στόχος μου ήταν μια άσκηση καθαρής Δυναμικής Στερεού και μάλιστα έγινε με αφορμή ερώτηση για το …σελοτέηπ κάποιας μαθήτριας (εξ ου και το σχόλιο).
Πρόδρομος και light μου φαίνεται δεν πάει…
Έχεις δίκιο, αν δε δοθεί η θέση του CM δεν λύνεται, εκτός αν είσαι Σπύρος και τη βρεις…
Νίκο κατάλαβα την ένστασή σου. Αν ασχοληθούμε μόνο με τη βάση, θα χρειαστούμε φυσικά τη δύναμη που δέχεται από τον άξονα, λόγω του δίσκου. Θεωρείς ότι δεν στέκει καθόλου η αναφορά ότι το σύστημα δε στρέφεται περί το CM; Δηλαδή σε ένα σύστημα δε μπορεί ένα μέλος του συστήματος να στρέφεται; Ας πούμε ότι έχουμε ένα αυτοκίνητο, που κινείται μεταφορικά. Οι ρόδες του, ο στροφαλοφόρος άξονας και διάφορα γρανάζια δε μπορούν να στρέφονται; Αν μελετήσω την ανατροπή του δε μπορώ να επικαλεστώ τις εξωτερικές ροπές; Πρέπει να ασχοληθώ μόνο με το σασί;