by 
Σε λείο οριζόντιο δάπεδο τοποθετούνται δύο κυλινδρικοί φλοιοί βαρών W1 και W2 με ακτίνες R και 2R αντίστοιχα, και πάνω τους τοποθετείται σανίδα βάρους W. Όλα τα βάρη είναι ίσα W1= W2= W. Το όλο σύστημα ισορροπεί.
Να υπολογισθούν:
Οι δυνάμεις που δέχεται η σανίδα από τους κυλίνδρους στα σημεία επαφής της Α και Β.
Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στο σημείο επαφής των κυλίνδρων.
Οι ελάχιστοι συντελεστές τριβής στα σημεία επαφής.
Δίνεται ότι: ημ2θ=2ημθ∙συνθ ,συν2θ=2〖συν〗^2 θ-1
Απαντήσεις σε word ΕΔΩ και σε pdf εδώ
αφιερωμένη σε απαιτητικούς υποψηφίους!
Από τον Κώστα Ψυλάκο μια ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ <a
εδώ
του αφιερώνω την ανάρτηση, σαν ελάχιστο δείγμα της ευχαρίστησής μου για την ενδελεχή μελέτη του!
Στο τέλος των απαντήσεων,έγραψα και τη λύση του Θανάση Βλάχου,τον οποίο ευχαριστώ .
Κώστα σ'ευχαριστώ για την ενδελεχή μελέτη σου στο θέμα που έθεσα!!
Κατόπιν και της τηλεφωνικής επικοινωνίας που είχαμε, και συζητήσαμε την ύπαρξη και άλλων λύσεων, πιστεύω ότι θα τις κάνεις!! Από την αρχή, πριν αλλάξω την εκφώνηση, θέτοντας το Ο σε τυχαία θέση και βγάζαμε αόριστο σύστημα, δεν σκεφτήκαμε ότι από μαθηματικής άποψης αυτό σηματοδοτούσε απειρία λύσεων.
Δεν το προχωρήσαμε. Εγώ είχα ''κολλήσει'' στο γεγονός ότι, θεωρούσα ότι το Ο (μέσο της ΑΒ), βρίσκεται στην κατακόρυφη που διέρχεται από το μέσο της Κ1Κ2 .
Κάτι που έβγαζε την Νο (δύναμη μεταξύ των κυλίνδρων στη διεύθυνση της διακέντρου) αρνητική!
Φυσικά, αφού η θέση αυτή είναι εκτός του πεδίου ορισμού της θέσης που πρέπει να έχει, προκειμένου να ισορροπεί το σύστημα!!
έτσι , συζητώντας με τον Διονύση τηλεφωνικά, έκανε την υπόδειξή του, που δεν ήταν τίποτε άλλο από την αρχική μου θέση που είναι και στην προμετωπίδα της ανάρτησης. Ασχολήθηκα με αυτό το σχήμα, και χωρίς να κάνω κάποιο λάθος στις πράξεις, έδωσα τη λύση που έχω .
Εσύ το προχώρησες παραπέρα, και μετά από την κουβέντα που κάναμε στο τηλέφωνο, όπου αναφέραμε την απειρία λύσεων που έχει το πρόβλημα αν δίνεται στην εκφώνηση η θέση του Ο,
και από ότι μου είπες, έβγαλες και την περιοχή που μπορεί να κινηθεί το Ο, ώστε να έχουμε ισορροπία!
Αναμένω να μου στείλεις τη λύση για να την αναρτήσω, ως γενική αντιμετώπιση του θέματος!
Να είσαι καλά.
Ο Κώστας Ψυλάκος έκανε μια ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ στο θέμα της άσκησης, πολύ ενδιαφέρουσα!!!
Δείτε την Εδώ
Σ'ευχαριστώ Κώστα.
Προδρομε να εισαι καλα !
Μας ζορισε πολυ το θεμα αυτο ….
Εχει ενδιαφερον να δει καποιος την αναλυση που εχει γινει μιας και η τελευταια λυση που προεκυψε βαζοντας το μεσον Ο της ραβδου να ειναι και μεσον του ΑΒ εμοιαζε καπως σαν "μαγική"
!
Φυσικα εχω κανει χρηση των δικων σου συμβολων για να μπορεσει καποιος να παρακολουθησει το ολο θεμα απο την αρχη .
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους της ιστοσελίδας! Κύριε Πρόδρομε η δική μου επίλυση είναι η εξής: αφού η σανίδα ισορροπεί, το βάρος της κατανέμεται ισόποσα στα σημεία επαφής Α και Β. Σε αυτά τα σημεία ασκεί κατακόρυφες δυνάμεις W/2. Βρίσκοντας τις ροπές αυτών των δυνάμεων ως προς τα σημεία επαφής των κυλίνδρων με το λείο δάπεδο, βρίσκουμε εύκολα ότι για να αντισταθμιστούν αυτές οι ροπές, πρέπει στο σημείο επαφής μεταξύ των κυλίνδρων να ασκηθούν δύο ίσες, αντίθετες, και κατακόρυφες δυνάμεις W/3. Αναλύοντας τες βρίσκουμε δύναμη συμπίεσης W/9, και δύναμη τριβής √8/9 W. Συντελεστής τριβής ίσος με √8=2,82… ή 2√2 όπως γράφετε εσείς κύριε Πρόδρομε. Μελετώντας την άσκησή σας κύριε Πρόδρομε, κατέληξα σε ένα συμπέρασμα, και θα ήθελα πολύ τη γνώμη όχι μόνο την δική σας, αλλά και κάθε άλλου φίλου. Το συμπέρασμά μου είναι για να ισορροπεί το σύστημα πρέπει το διάκεντρο να είναι κεκλιμένο. Για παράδειγμα στην συγκεκριμένη άσκηση σας, αν τοποθετήσουμε τον μικρό κύλινδρο πάνω σε ένα λείο σκαλοπάτι ύψους R ώστε το διάκεντρο μεταξύ των δύο κυλίνδρων να είναι οριζόντιο, (η σανίδα είναι κεκλιμένη), θεωρώ ότι είναι αδύνατο να επιτευχθεί ισορροπία του συστήματος.
Καλημέρα Θανάση. Πολύ καλή η σκέψη σου! Οι δυνάμεις στα Α και Β πρέπει να είναι κατακόρυφες και ίσες με w/2 , εφόσον το Ο είναι το μέσο της ΑΒ!! Μπράβο! Πολύ ενδιαφέρουσα λύση!!
Όμως δεν τη γράφεις αναλυτικά για να την παραθέσουμε εδώ, έτσι ώστε να είναι πιο προσιτή για κάποιον;
όσο για την άλλη πρότασή σου
για να ισορροπεί το σύστημα πρέπει το διάκεντρο να είναι κεκλιμένο. Για παράδειγμα στην συγκεκριμένη άσκηση σας, αν τοποθετήσουμε τον μικρό κύλινδρο πάνω σε ένα λείο σκαλοπάτι ύψους R ώστε το διάκεντρο μεταξύ των δύο κυλίνδρων να είναι οριζόντιο, (η σανίδα είναι κεκλιμένη), θεωρώ ότι είναι αδύνατο να επιτευχθεί ισορροπία του συστήματος.
είναι μια άλλη άσκηση, που θέλει να την αντιμετωπίσεις , μια νέα ανάλυση. Αν μπορείς να τη γράψεις και να την αναρτήσεις στο φόρουμ για συζήτηση, δεν έχω καμιά αντίρηση!
Ευχαριστώ για τη συμβολή σου στη συζήτηση αυτής της ανάρτησης.
Να είσαι καλά, καθώς και η οικογένειά σου!
Θανάση έγραψα τη λύση που πρότεινες στο ΤΕΛΟΣ της λύσης που έκανα, μαζί με τη ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ του Κώστα Ψυλάκου.
Δες την , όπως και όποιος θέλει!
Κύριε Πρόδρομε σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα καλά σας λόγια, και για την ενασχόλησή σας και την προσθήκη της επίλυσης που πρότεινα! Είναι μεγάλη τιμή για εμένα!! Δυστυχώς με το κινητό αφής δεν μπορώ να σχεδιάσω με ηλεκτρονικό τρόπο την επίλυση που είχα σκεφθεί. Να είστε πάντα καλά!!
Καλησπέρα Θανάση.
Όφειλα να τη γράψω, πρώτον για πλουραλισμό αντιμετώπισης ενός θέματος, και δεύτερον γιατί κάποιος δεν θα καταλάβαινε τη λύση σου χωρίς σχήμα και σχέσεις!
Υπάρχει και τρίτος λόγος,…τα παιδιά σου, που θα θέλουν την προσοχή σου.και την ενασχόλησή σου μαζί τους!
Ως προς το άλλο που έθεσες, αν βάλουμε τον μικρό κύλινδρο σε σκαλοπάτι, ..προσεχώς.
Από το μεσημέρι έχω λουμπάγκο,
Το ισχύον δεν .. ισχύει
και δεν μπορώ να καθίσω στον υπολογιστή, για αυτό και σου γράφω από το κινητό.
Να είσαι πάντα καλά.