by 
Σε λείο οριζόντιο δάπεδο τοποθετούνται δύο κυλινδρικοί φλοιοί βαρών W1 και W2 με ακτίνες R και 2R αντίστοιχα, και πάνω τους τοποθετείται σανίδα βάρους W. Όλα τα βάρη είναι ίσα W1= W2= W. Το όλο σύστημα ισορροπεί.
Να υπολογισθούν:
Οι δυνάμεις που δέχεται η σανίδα από τους κυλίνδρους στα σημεία επαφής της Α και Β.
Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στο σημείο επαφής των κυλίνδρων.
Οι ελάχιστοι συντελεστές τριβής στα σημεία επαφής.
Δίνεται ότι: ημ2θ=2ημθ∙συνθ ,συν2θ=2〖συν〗^2 θ-1
Απαντήσεις σε word ΕΔΩ και σε pdf εδώ
αφιερωμένη σε απαιτητικούς υποψηφίους!
Από τον Κώστα Ψυλάκο μια ΓΕΝΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ <a
εδώ
του αφιερώνω την ανάρτηση, σαν ελάχιστο δείγμα της ευχαρίστησής μου για την ενδελεχή μελέτη του!
Στο τέλος των απαντήσεων,έγραψα και τη λύση του Θανάση Βλάχου,τον οποίο ευχαριστώ .
Καλησπέρα σε όλους τους φίλους. Κύριε Πρόδρομε, ομολογώ ότι δεν έχω κατανοήσει την ισορροπία του συστήματος κυλινδρικοί φλοιοί – σανίδα. Σημειώνω εδώ ότι είδα την επίλυσή σας. Βασικά δεν έχω καταλάβει με ποιο τρόπο επιτυγχάνεται η συμπίεση των φλοιών μεταξύ τους. Σας αναλύω το σκεπτικό μου. Ας υποθέσουμε αρχικά ότι οι δύο κυλινδρικοί φλοιοί έχουν μια πολύ μικρή απόσταση μεταξύ τους (π.χ. 0,5 mm). Όπως είναι αναμενόμενο το βάρος της σανίδας σε συνδυασμό με την τριβή θα θέσει σε κύλιση τους φλοιούς, οι οποίοι όμως όσο και να προχωρήσουν, δεν θα πλησιάσουν, αλλά και ούτε θα απομακρυνθούν μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει προφανώς, ότι το σύστημα δεν έχει την τάση να συμπιέσει μεταξύ τους τους κυλινδρικούς φλοιούς ώστε να προκύψει μια αυτόματη πέδηση και ισορροπία. Ακόμα και να ακουμπούν μεταξύ τους, πως εξασφαλίζουμε ικανοποιητική συμπίεση; Μήπως πρέπει να εισάγουμε στο σύστημα προφόρτιση; Φανταστείτε ότι το δάπεδο του σχήματος είναι απόλυτα λείο, και στρώνουμε πάνω σε αυτό μια ελαστική μοκέτα. Ύστερα την τεντώνουμε και αφού τοποθετήσουμε πάνω της όλο το σύστημα, παύουμε να την τεντώνουμε. Τότε η τάνυσή της μεταφέρεται μέσω της τριβής στους κυλινδρικούς φλοιούς και τους συμπιέζει μεταξύ τους. Ελπίζω να καταλάβατε τι θέλω να πω.
Θανάση καλησπέρα. Αν οι κύλινδροι δεν εφάπτονταν αρχικά, και είχαν μια απόσταση μεταξύ τους, τότε η σανίδα θα ανάγκαζε τους κυλίνδρους να περιστρέφονται δεξιόστροφα και θα είχαμε κύλιση.
Όμως εδώ όλα τα σώματα εφάπτονται, και η σανίδα είναι σε κατάλληλη θέση (το μέσο της Ο δεν είναι στο μέσο της ΑΒ), και όταν αφήσουμε ελεύθερο το σύστημα, η σανίδα τείνει να θέσει σε κίνηση τον μεγάλο κύλινδρο, όμως αντιστέκεται ο μικρός γιατί στο σημείο Ζ επαφής τους, έχουμε αντίθετη φορά κίνησης. Έτσι αναπτύσσονται τριβές όπως τις έχω σχεδιάσει, με γαλάζιο στον Κ2, με μαύρο στον Κ1, και με κόκκινο στη σανίδα.
Υποτίθεται ότι η σανίδα τίθεται στην κατάλληλη θέση ως προς τους κυλίνδρους, ώστε να μην εκδηλωθεί κίνηση, αλλά ισορροπία. Μπορεί να γίνει! Πιστεύω να σε κατατόπισα!
Καλό βράδυ.
Καλημέρα κύριε Πρόδρομε και σας ευχαριστώ για την απάντησή σας. Γράφετε ότι οι κύλινδροι εφάπτονται μεταξύ τους, κι επειδή στο σημείο επαφής έχουμε αντίθετη φορά κίνησης, αναπτύσσονται τριβές. Ναι, αλλά όπως γνωρίζουμε η δύναμη τριβής εξαρτάται από το συντελεστή τριβής και από την δύναμη με την οποία πιέζονται μεταξύ τους τα τριβόμενα σώματα. Αν αυτή η δύναμη είναι μηδενική, τότε και η δύναμη τριβής θα είναι μηδενική παρόλο που έχουμε επαφή. Η απορία μου παραμένει: Με ποιο τρόπο επιτυγχάνεται η συμπίεση των κυλίνδρων μεταξύ τους; Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους τους Γιώργηδες και τις Γεωργίες!
Καλημέρα παιδιά.
Θανάση βλέπω στην προσομοίωση μια μικρή αρχικά μετακίνηση των κυλίνδρων προς τα αριστερά.
Έπειτα ισορροπία. Φαίνεται στην προσομοίωση που έστειλα σε προηγούμενη σελίδα.
Θανάση δες τη νέα λύση που έκανα.
Όπως είδες από το Ι.Ρ. του Γιάννη, υπάρχει ισορροπία, αρκεί να τοποθετηθεί το κέντρο βάρους της σανίδας στην κατακόρυφη που διέρχεται από το μέσο της Κ1Κ2.
Η νέα λύση έγινε γιατί το σύστημα των εξισώσεων που έβγαζα ήταν αόριστο (0=0)!!
Γι'αυτό σκέφτηκα το εξής: Το κέντρο βάρους των κυλίνδρων είναι στο μέσο της Κ1Κ2, αφού είναι ίσα τα βάρη. Το κέντρο βάρους της σανίδας πρέπει να βρίσκεται στην κατακόρυφη που περνά από το μέσο της Κ1Κ2. Υπολογίζω ακριβώς τη θέση του.
επίσης η συνισταμένη των Ν1 και Ν2 είναι κατακόρυφη και πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας του συστήματος, οπότε θα είναι Ν1=Ν2=1.5w .
Έτσι η συνισταμένη δύναμη θα είναι μηδέν ,καθώς και η συνισταμένη ροπή.
Ως προς αυτό που λες: Όλα τα σώματα είναι σε επαφή και το κέντρο της σανίδας ακριβώς στην κατακόρυφη που διέρχεται από το μέσο της διακέντρου. Μόλις αφήσουμε ελεύθερο το σύστημα, η σανίδα τείνει να κινηθεί προς τα κάτω, παρασύροντας τον Κ2 να στραφεί. Όμως εμφανίζεται τριβή λόγω της επαφής με τον Κ1, άρα εμφανίζεται τριβή μεταξύ τους, κι έτσι ισορροπούν όλα.
Αυτό που λέει ο Γιάννης, ότι έχουμε μια εκκίνηση αρχική, συμβαίνει γιατί δεν τοποθέτησε τη ράβδο ακριβώς όπως το περιγράφω.
Να είσαι καλά κι ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου!
Υ.Γ. ελπίζω να μην έχω κάποιο λάθος πράξεων! Ο τρόπος είναι εντάξει..
Καλημέρα κύριε Πρόδρομε και Γιάννη. Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας στο σχόλιο μου. Επιτρέψτε μου να πω ότι η διαίσθησή μου λέει ότι το σύστημα δεν μπορεί να σταθεί ακίνητο. Ο μόνος τρόπος που βλέπω είναι να θεωρηθεί ως λεία η μισή σανίδα που πατάει στον μικρό κύλινδρο.
Θανάση καλημέρα.
Μάλλον έχεις δίκιο!!
Με τη νέα λύση που έκανα, βγάζω ότι η δύναμη Νο στη διεύθυνση της διαμέτρου, είναι αρνητική!!!
Ποιό είναι το νόημα;
Ότι δεν υπάρχει ισορροπία;
Το Ι.Ρ. του Γιάννη, δείχνει ότι έχουμε ισορροπία, μετά από μιά μικρή κίνηση του συστήματος!!
Η λύση που έκανα στηρίχθηκε στο εξής:
Βρίσκω το κέντρο μάζας C του συστήματος και λέω: πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων Ν1, Ν2 που ασκεί το λείο δάπεδο στους κυλίνδρους, να διέρχεται από το C,
βγάζω ότι Ν1=Ν2=1,5w
και ότι Νο=-w/9<0
Αυτό τί σημαίνει; Ότι οι κύλινδροι έλκονται; Άτοπο!
Ζητώ τη ΒΟΗΘΕΙΑ των συναδέλφων για να εξηγηθεί το φαινόμενο!
Πού είναι το λάθος; Έκανα προσεκτικά όλες τις πράξεις, και βρήκα τα ίδια αποτελέσματα με τον Κώστα Ψυλάκο.
Αναμένω…
Υ.Γ. Θανάση ευχαριστώ για την επιμονή σου στην μή ισορροπία του συστήματος!!!
Επειδή το σύστημα των εξισώσεων ήταν δύσκολο, όλο και κάτι μου ξέφευγε και έβγαζα λάθος αποτέλεσμα. Τώρα τις κοίταξα πολύ και δεν βρήκα λάθος.
Κύριε Πρόδρομε ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια. Όμως ωφείλω να ομολογήσω ότι έκανα ένα λάθος. Έως τώρα θεωρούσα το δάπεδο ως μη λείο, ενώ εσείς είπατε ξεκάθαρα στην εκφώνηση του προβλήματος, ότι το δάπεδο είναι λείο. Οπότε θα χρειαστώ λίγο χρόνο για να ξαναμελετήσω την πολύ ενδιαφέρουσα άσκησή σας! Ευχαριστώ και πάλι!
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Βλέπω να βρίσκεσαι σε φάση προβληματισμού και ψαξίματος.
Είδα τη σκέψη σου για το κέντρο μάζας του συστήματος, την βρήκα εύλογη και έκανα το σχήμα, όπου Η το κέντρο μάζας των δύο κυλίνδρων και Ο το κέντρο μάζας (και μέσον) της σανίδας.
Αλλά τότε διαπίστωσα ότι εσύ έχεις πάρει σε άλλη θέση το Ο.
Γιατί όχι όπως στο σχήμα αυτό;
Καλησπέρα Διονύση. Ευχαριστώ για το σχόλιο και τον προβληματισμό που θέτεις!!
Θα το δοκιμάσω. Όμως δεν λες το σκεπτικό σου, που απ'ότι κατάλαβα από το σχήμα σου, θεωρείς την ΟΗ κάθετη στη ράβδο και το Ο μέσο της ΑΒ των σημείων επαφής της ράβδου με τους κυλίνδρους.
Θα το δοκιμάσω.
Καλό βράδυ.
Καλημέρα κύριε Πρόδρομε! Με μια δεύτερη ματιά άλλαξα γνώμη, και κατέληξα στο συμπέρασμα ότι το σύστημα ισορροπεί χωρίς πρόβλημα! Μόλις μου επιτρέψουν τα μωράκια μου, θα κάνω μια ανάλυση δυνάμεων, και θα σας αναφέρω τα όποια αποτελέσματα.
Διονύση ευχαριστώ!!!
Το θέμα λύθηκε. Κι αυτό με ένα σχήμα που έκανες, και το οποίο είναι το ΙΔΙΟ στην κορυφή της ανάρτησης, και με το οποίο είχα ξεκινήσει την αρχική επεξεργασία του!!
Και δυστυχώς αναθεώρησα.
Γιατί έκανα λάθος σε πράξεις! Δεν υπάρχει άτοπο, το σύστημα μπορεί να ισορροπήσει.
Βγαίνουν και ωραίες σχέσεις, με σχετικά δύσκολο σχήμα!
Υ.Γ. όσοι συνάδελφοι παρακολούθησαν τη ροή των εξελίξεων της λύσης της άσκησης από εμένα , ας δουν την τελική λύση που έδωσα. Αξίζει τον κόπο!
Να με συγχωρείτε που σας ταλαιπώρησα! Ένα λάθος πράξεων στοίχισε τόσο χρόνο
ενασχόλησής μου, μέχρι να καταλήξω στο σωστό.
Η αιτία που έγινε το λάθος, οφείλεται στα copy-paste που έκανα, και μερικές πράξεις αριθμητικές με το μυαλό, χωρίς να το γράφω σε χαρτί…
Να είστε όλοι καλά.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Χαίρομαι που βρέθηκε η λύση.
Η αλήθεια είναι ότι δεν είδα το αρχικό σου σχήμα, παρά μόνο αυτό που έβαζες το Ο στην κατακόρυφο που πέρναγε από το κ.μ. των δύο κυλίνδρων. Και αυτό έγινε όταν μιλήσαμε στο τηλέφωνο και μου είπες για το κ.μ. των τριών.
Τότε το μυαλό μου πήγε σε συμμετρίες και φαντάστηκα τη ράβδο σε συμμετρική θέση, με αποτέλεσμα να σχεδιάσω το σχήμα που ανέβασα… και το οποίο ήταν το ίδιο με το αρχικό σου!!!
ΤΕΛΟΣ ΚΑΛΟ
ΟΛΑ ΚΑΛΑ!!!
Καλημερα Προδρομε !
Μετα λοιπον απο αρκετο κοπο φτασαμε σε ενα τελικο αποτελεσμα !
Απο την αρχη ειχα κανει μια υποθεση οτι το μεσον Ο της ραβδου ειναι και μεσον της ΑΒ .
Ομως οπως μου ειχες πει δεν ηταν ετσι ….οποτε αρχισε το ταξιδι !
Η τυχαια τοποθετηση του μεσου της σανιδας αρχικα μας οδηγησε σε αοριστια ….
Στην προτελευταια λυση με το Ο να ειναι στην ιδια κατακορυφη με το Η βγαλαμε το Νο < 0 .
Η τελικη τοποθετηση του Ο μας οδηγησε σε λυση !
Παρακατω βασιζομενος στην τελευταια προυποθεση για την τοποθετηση του Ο συντομεύω καπως την λυση .
Βρισκω την προβολη του Ο στην ΔΕ που ειναι το Ο' δηλαδη υπολογιζω την θεση του Ο' πανω στην ΔΕ .
Στην συνεχεια εχω την ισορροπια των εξωτερικων δυναμεων (Ν1+Ν2=3W) και μετα Στ εξ(Δ) = 0 βρισκω τα Ν1 και Ν2.
Φυσικα απο την ισορροπια της σανιδας βρισκει κανεις τα Τ1 , Τ2 , Το που ειναι ισα καθως τα Ν3 και Ν4 .
Μετα απο το ΣFx (K1) = 0 βρισκει το Νο και ειμαστε ετοιμοι .
Με αφορμη αυτη την λυση αναρωτιεμαι υπαρχει αλλη τοποθετηση της σανιδας που εξασφαλιζει ισορροπια ?
Μηπως θα πρεπει το Ο' να ειναι μεταξυ του Θ και του Ε ?