by 
Έστω δυο συγκοινωνούντα δοχεία (1) και (2) σε οριζόντιο επίπεδο, που περιέχουν νερό. Συνδέονται με οριζόντιο σωλήνα στον πάτο που έχει πολύ μικρή διατομή.
Κάποια στιγμή το (1) έχει ύψος h και το (2) ύψος h’ ως προς το έδαφος.
Η ταχύτητα στον σωλήνα είναι:
α. υ=√2g(h-h’)
β. υ=√2g(h+h’)
γ. Κανένα από τα παραπάνω
Το νερό είναι ιδανικό και ισχύουν όλα τα κλασικά.
Γειά σου Σπύρο. Βλέπω να μπαίνεις δυνατά και στα Ρευστά!
Χωρίς να πιάσω χαρτί και μολύβι, απαντώ το (α).
Αν πάρουμε μια στοιχειώδη μάζα του υγρού στο σωλήνα σύνδεσης των δύο δοχείων, η δύναμη που δέχεται είναι
F=Δp•A=(ρgh-ρgh')•A=ρg(h-h')•A
W=F•δx=ρg(h-h')A•δx=ρg(h-h')•δV=δm•g•(h-h')=(1/2)δm•u^2
u=√{2g(h-h')
Δεχόμαστε ότι η στοιχειώδης μάζα ξεκίνησε από την ηρεμία.
Γεια σας κ.Πρόδρομε,
Και εγώ το (α) πιστεύω και αρχικά σκέφτηκα και εγώ με ενεργειακό τρόπο όπως εσείς.
Τελικά κατέληξα σε μια μαθηματικότερη απάντηση, αλλά τα αποτελέσματα συμφωνούν.
Ελπίζω να είστε καλά και ευχαριστώ για τον σχολιασμό!
Σπύρο, νομίζω ότι η ταχύτητα δεν είναι σταθερή, οπότε η πίεση δεν είναι ρgh.
Κοίτα εργασία του Ανδρέα Βαλαδάκη αυτές τις μέρες.Δεν ξέρω αν η μικρή διατομή
στον οριζόντιο σωλήνα επιβάλλει σχεδόν σταθερή ταχύτητα.
Καλησπέρα κ.Δημήτρη,
Ο λόγος που έγραψα για την μικρή διατομή είναι ακριβώς για να θεωρηθεί η ταχύτητα σταθερή. Αγνοώ μέχρι τώρα αν μπορούμε να θεωρήσουμε την ταχύτητα σταθερή. Αν όμως οι διάμετροι των δοχείων είναι αρκετοί ώστε να έχουν αμελητέα ταχύτητα (έτσι θεωρώ εδώ) με καλή προσέγγιση δεν θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε σταθερή ταχύτητα?
Ανεβάζω την σκέψη μου στο θέμα:
Καλησπέρα παιδιά.
Η απάντηση του Σπύρου είναι σωστή αν διατηρείται η ενέργεια.
Μια μάζα δm χάνεται από την επιφάνεια του (1).
Ίση μάζα εμφανίζεται στην επιφάνεια του (2).
Ίση μάζα μπαίνει στο (2) με ταχύτητα υ.
Απαιτούμε να διατηρείται η ενέργεια του συστήματος που αποτελούν τα δύο δοχεία και το νερό.
Τότε:
δm.g.h=δm.g.h΄ + 0,5,δm.υ^2=> η σχέση που έγραψε ο Σπύρος.
Ας προσέξουμε ότι δεν ανέμιξα πιέσεις, Μπερνούλι, Τορικέλι , φλέβες, ροές κ.λ.π. Το μόνο που υπέθεσα ήταν πως η είσοδος της μαζούλας δεν διαταράσσει τις ταχύτητες των παραμενόντων στο (1) μαζών. Αυτό είναι λογική υπόθεση.
Αν αναμίξουμε πιέσεις θα βρεθούμε να συζητάμε πόση είναι η πίεση στο περιβάλλον εισόδου και στο περιβάλλον εξόδου της μαζούλας.
Η συζήτηση αυτή είχε γίνει στο παρελθόν σε ανάρτηση του Μιχάλη Μιχαήλ.
Τότε μου φάνηκε χρήσιμη η γλώσσα της διατήρησης της ενέργειας.
Γιάννη, τι σημαίνει "αν διατηρείται η ενέργεια;"
Η διατήρηση που παίρνεις αναφέρεται σε ένα σωμάτιο ρευστού, που κινείται στο χώρο μόνο του, με την επίδραση μόνο του βάρους!!!
Πολύ προσέγγιση δεν πέφτει;
Και τι βγάζεις; (άσχετα αν χρησιμοποίησες Bernoulli ή όχι, όπως ο Σπύρος! Ο Σπύρος βέβαια απέδειξε ότι ισχύει ο Bernoulli και έβγαλε το ίδιο αποτέλεσμα… Άρα συμφωνείτε.
Προφανώς το σωματίδιο δεν κινείται μόνο του και βρίσκεται σε αλληλεπίδραση με όλο το υπόλοιπο ρευστό. Άλλωστε η ροή δεν είναι μόνιμη, έχουμε επιταχυνόμενη κίνηση και στο ΘΜΚΕ που οδηγεί στην (γενικευμένη) εξίσωση Bernoulli υπάρχει και άλλος προσθετέος.
Καλησπέρα κ.Γιάννη,
Θα διαβάσω την συζήτηση. Να διευκρινίσω ότι στην λύση που ανέβασα δεν έμπλεξα πιέσεις ώστε να μας επηρεάζει η χρονική-χωρική τους συνάρτηση, αλλά ως ρgh και ρgh' μπαίνουν οι δυναμικές ενέργειες ανά μονάδα όγκου.
Αυτό που θέλω να πω, είναι ότι ίσως η ενεργειακή λύση που έγραψε ο κ.Πρόδρομος, η οποία ήταν και αρχικά και η δική μου σκέψη, να θέλει περισσότερη διερεύνηση. Μπορεί το αποτέλεσμα να βγαίνει ορθό, αλλά πιστεύω ότι η πιέσεις δεν είναι σταθερές.
Αν βγάλουμε την συνάρτηση των πιέσεων, και έπειτα ολοκληρώσουμε την έκφραση, λογικά θα καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα…
Καλησπέρα κ.Διονύση,
Ίσως ο κ.Γιάννης να εννοεί κάτι τέτοιο:
Στο ίδιο συμπέρασμα νομίζω θα καταλήγαμε αν παίρναμε τις μεταβολές ενεργειών, όχι για σωμάτιο αλλά για τα κέντρα μάζας των ποσοτήτων στα δοχεία. Δύσκολη όμως διαδικασία….
Πήγα να φτιάξω το σχήμα για την συζήτηση, οπότε διάβασα για τα δύο μεγάλα δοχεία και το λεπτό σωλήνα, όπως στο σχήμα.
Αλλά τότε το προηγούμενο σχόλιό μου είναι άκυρο, αφού έχοντας στο μυαλό μου την πρωινή ανάρτηση του Ανδρέα, σκεφτόμουν επιταχυνόμενο υγρό.
Στο παραπάνω σχήμα όμως η ροή μπορεί να θεωρηθεί μόνιμη και η εξίσωση που δίνει είναι η α!
Δεν χρειάζεται ιδιαίτερη δουλειά Σπύρο.
Μια εξίσωση Bernoulli από την ψηλότερη επιφάνεια του αριστερού δοχείου στην έξοδο από το σωλήνα στο δεύτερο δοχείο..
Όχι δεν πήρα διατήρηση ενέργειας σε ένα σωμάτιο ρευστού.
Θυμήσου την τότε συζήτηση.
Πήρα διατήρηση ενέργειας σε όλο το σύστημα. Δοχείο (1), δοχείο (2) και υγρό.
Δεν είπα μια μάζα πηγαίνει από την επιφάνεια του (1) στην επιφάνεια του (2). Είπα:
Μια μάζα δm χάνεται από την επιφάνεια του (1).
Ίση μάζα εμφανίζεται στην επιφάνεια του (2).
Ίση μάζα μπαίνει στο (2) με ταχύτητα υ.
Τι σημαίνει "Αν διατηρείται η ενέργεια";
Αν η επίδραση του ιξώδους είναι αμελητέα εννοώ. Έστω κατά προσέγγισιν αμελητέα αν ο σωλήνας σύνδεσης δεν είναι πολύ στενός.
Η ροή είναι τόσο μόνιμη όσο μόνιμη είναι όταν αποδεικνύουμε το θεώρημα Τορικέλι.
Όμως ανάμιξα εγώ ροές, φλέβες κ.λ.π.;
Διατήρηση ενέργειας πήρα.
Σπύρο δεν εννοώ αυτό. Δεν εννοώ το ίδιο σωμάτιο ή στοιχείο ρευστού ή ίδια μαζούλα.
Κάποια μαζούλα χάνεται από κάπου και κάποια άλλη εμφανίζεται κάπου αλλού.
Μια τρίτη μαζούλα μπαίνει με μια ταχύτητα.
Αδιαφορώ για το ποια ταχύτητα είχε πριν μπει. Θα αντικατασταθεί από άλλη που θα αποκτήσει την ταχύτητα που είχε η μαζούλα που μπήκε.
Είναι πάρα πολύ απλό.