by 
Διαβάζοντας την ανάρτηση του Γιάννη 20 δεύτερα θέματα στα όρια (συγκεκριμένα το δεύτερο θέμα), το μυαλό μου πήγε σε ένα, τουλάχιστον διαισθητικά, μη αναμενόμενο αποτέλεσμα το οποίο είχα συναντήσει στο παρελθόν, σχετικά με το πώς συμπεριφέρεται η ελεύθερη επιφάνεια μίας οριζόντιας ομοιόμορφης ροής, όταν συναντά ένα εμπόδιο στον πυθμένα της.
Μία διόρθωση:
Αν α=0.02m και h=1m, τότε για f=0.5 (άρα V=1.5m/s) προκύπτει ότι b=-0.33a. Δηλαδή η ελεύθερη επιφάνεια πάνω από το εμπόδιο κατέρχεται κατά b=-0.007m.
Στάθη, υπέθεσε ότι ο πυθμένας είναι οριζόντιος, χωρίς εμπόδιο. Σ΄ αυτή την περίπτωση οι γραμμές ροής είναι παράλληλες. Αν στον πυθμένα υπάρχει ένα εμπόδιο οι γραμμές ροής πρέπει να το υπερβούν, άρα θα κάνουν μια καμπύλη τροχιά. Επειδή η διαδρομή στην καμπύλη είναι μεγαλύτερη απ΄ αυτή στην ευθεία, πρέπει η ταχύτητα του υγρού να είναι μεγαλύτερη σ΄ αυτές τις καμπύλες γραμμές ροής. Όμως, όσο πιο ψηλά ανεβαίνουμε από το εμπόδιο, η καμπυλότητα των γραμμών ροής μικραίνει. Κατά συνέπεια μικραίνει και η αύξηση της ταχύτητας σ΄ αυτές τις γραμμές. Αν η ελεύθερη επιφάνεια είναι σε ύψος h>>a, η καμπυλότητα των γραμμών ροής στην ελεύθερη επιφάνεια θα είναι σχεδόν 0. Άρα δεν θα υπάρχει μεταβολή στην ταχύτητα. Εσένα η ανάλυσή σου βασίζεται στην μεταβολή ταχύτητας των γραμμών ροής στην επιφάνεια. Θεωρείς ότι στην επιφάνεια η ταχύτητα ροής είναι όση και στον πυθμένα.
Το πρόβλημα είναι με την εξίσωση (1). Μακριά από το εμπόδιο, η παροχή μέσα από μια διατομή είναι το γινόμενο του εμβαδού της διατομής επί την ταχύτητα ροής που είναι ενιαία. Όμως, πάνω από το εμπόδιο, δεν βρίσκεται έτσι η παροχή. Η ταχύτητα ροής δεν είναι ίδια σ΄ όλη τη διατομή και η παροχή μόνο με ολοκλήρωση επί της διατομής μπορεί να υπολογιστεί. Για να γίνει αυτή η ολοκλήρωση πρέπει να ξέρεις την ταχύτητα σε κάθε ύψος πάνω από το εμπόδιο.
Νικο διάβασε τι γραφω: η εξίσωση Bernoulli εφαρμόζεται σε μια ρευματικη γραμμή της επιφάνειας. Δεν υποθετω τιποτα για την ροή πανω απο το εμπόδιο. Κάνουμε συνεχώς κύκλους!
Το πρόβλημα δεν είναι με την εξίσωση Bernouli αλλά με την εξίσωση (1). Θεωρείς ενιαία ταχύτητα πάνω από το εμπόδιο και υπολογίζεις την παροχή με βάση αυτή την ταχύτητα.
Νίκο καλησπέρα. Χαίρομαι που συμφωνούμε ότι η Bernoulli δεν αποτελεί πρόβλημα.
Για την εξίσωση της συνέχειας τώρα: Το προφίλ των ταχυτήτων το οποίο υιοθετεί το συγκεκριμένο μοντέλο, πάνω από το εμπόδιο, δίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Οι ταχύτητες υ ακριβώς πάνω από το κέντρο του, κατ' ανάγκην, συμμετρικού εμποδίου είναι οριζόντιες και ίσες κατά μέτρο μεταξύ τους, προφανώς διαφορετικές από την ταχύτητα V της αρχικά ομοιόμορφης ροής. Εξ' ού και η γραφή της εξίσωσης στην μορφή της σχέσης (1). Δεν υπάρχει καμία υπόθεση για τις ταχύτητες λίγο πριν και λίγο μετά το εμπόδιο.
Με άλλα λόγια οι ταχύτητες πάνω από το εμπόδιο δεν είναι συνάρτηση του ύψους πάνω από το εμπόδιο. Θεωρείς ότι είναι σωστή αυτή η υπόθεση;
Νίκο, στο μοντέλο του ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού και στην περίπτωση μικρού βάθους για την ροή στο κανάλι, ναι. Αλλά να πούμε τα πράγματα με το όνομά τους: Είναι απλά μία προσέγγιση (η οποία συχνά υιοθετείται), η οποία διευκολύνει τις πράξεις. Αλλά συμβαίνει το εξής: Μπορώ να άρω την προσέγγιση αυτήν και η ταχύτητα νε εξαρτάται από το βάθος. Τότε πρέπει βέβαια να στραφώ στις εξισώσεις Navier Stoke's…, αλλά το αποτέλεσμα ποιοτικά βγαίνει το ίδιο: βύθισμα στην υποκρίσιμη ροή και εξόγκωμα στην υπερκρίσιμη. Γι αυτό επιμένω στην ορθότητα της συγκεκριμένης λύσης.
Δέστε στην παρακάτω δνση για την αριθμητική λύση του προβλήματος. Τα αποτελέσματα συγκλίνουν νομίζω με τα γραφόμενα του Στάθη. (Χωρίς να σημαίνει ότι κάθε δημοσίευση είναι αλάνθαστη)
http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/publ/126/publn126p135-148.pdf
Στάθη, αν πάρεις τις εξισώσεις Navier-Stokes, ενδεχομένως το αποτέλεσμα να είναι ποιοτικά το ίδιο. Αλλά εσύ εξετάζεις την περίπτωση h>>a. Και στο νόμο Bernouli χρησιμοποιείς τη σχέση ταχυτήτων που προκύπτει από την (1). Εγώ πιστεύω ότι αν στον πυθμένα ενός βαθιού καναλιού υπάρχει ένα χαμηλού ύψους εμπόδιο, αυτό δεν επηρεάζει την ταχύτητα ροής στην επιφάνεια. Δηλαδή V=v. Αν αυτή η ισότητα είναι ακριβής, ο νόμος Bernouli δεν θα δώσει ούτε βαθούλωμα, ούτε εξόγκωμα. Αν είναι προσεγγιστική, μπορεί να υπάρχει είτε βαθούλωμα είτε εξόγκωμα αλλά θα έχουν ύψος ή βάθος <<a.
Δηλαδή Δημήτρη καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η λύση του προβλήματος είναι αρκετά πιο περίπλοκη από αυτή που μας έδωσε ο Στάθης. Ούτε τα αποτελέσματα στην επιφάνεια είναι πάντα ένα μικρό εξόγκωμα ή ένα μικρό βαθούλωμα.
Κατά τον δαίμονα εαυτού, Νίκο. Καλό βράδυ.
Δημήτρη ευχαριστώ για την παραπομπή, τώρα την είδα με προσοχή.
Τα συμπεράσματα είναι πολύ πιο γενικά από αυτά της παρούσης ανάρτησης και έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ειδικά στην υποκρίσιμη ροή.
Γενικά έχω δύο απορίες, οι οποίες δεν απαντώνται στην δημοσίευση (φαίνεται να καταλαβαίνουμε καλύτερα τα "μαθηματικά", παρά την "φυσική" του φαινομένου).
Αρχικά γιατί στις μικρές ταχύτητες εμφανίζονται κυμάνσεις στην ελεύθερη επιφάνεια πάνω από το εμπόδιο, ενώ στις μεγάλες ταχύτητες μία μόνον γεωμετρική κατασκευή η οποία μοιάζει με το εμπόδιο, στον πυθμένα; Ίσως έχει να κάνει με το ότι στην υποκρίσιμη ροή, η ταχύτητα διάδοσης των διαταραχών της πίεσης (κύματα πίεσης λόγω του εμποδίου) είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα της ροής.
Κατά δεύτερον τι ακριβώς γίνεται στην κρίσιμη ροή (F=1), πώς γίνεται η μετάβαση από την υποκρίσιμη στην υπερκρίσιμη ροή;