by 
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο σφαίρες Α και Β με μάζες m1=1kg και m2=4kg, δεμένες στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=75Ν/m, ο άξονας του οποίου ταυτίζεται με τον άξονα x, ενός ορθογωνίου συστήματος οριζοντίων αξόνων x,y. Σε μια στιγμή η σφαίρα Α δέχεται στιγμιαίο κτύπημα, με αποτέλεσμα να αποκτά οριζόντια ταχύτητα κάθετη στον άξονα του ελατηρίου (στην διεύθυνση y) μέτρου υ0=4m/s. Μετά από λίγο, τη στιγμή t1, η Α σφαίρα έχει ταχύτητα στην διεύθυνση x, μέτρου υ1=3m/s, όπως στο σχήμα. Για την στιγμή αυτή:
- α υπολογιστούν οι συνιστώσες ταχύτητας της Β σφαίρας στους άξονες x και y και στη συνέχεια να βρεθεί και η ταχύτητα της σφαίρας υ2.
- Να υπολογιστεί η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών.
- Να βρεθεί το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής της σφαίρας Α.
- Μια επόμενη στιγμή t2, το μέτρο της ταχύτητας της Α σφαίρας είναι υΑ=4m/s. Να βρεθεί η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της Β σφαίρας, τη στιγμή αυτή;
ή
Ένα μηχανικό σύστημα σε οριζόντια κίνηση
Ένα μηχανικό σύστημα σε οριζόντια κίνηση
Ένα μηχανικό σύστημα σε οριζόντια κίνηση
Καλημέρα και καλό μήνα σε όλους.
Στάθη, Χριστόφορε Πρόδρομε, Γιάννη (Μη), Χρήστο, Βαγγέλη σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τη συμμετοχή στο προβληματισμό.
Αν κάποιος ξύπνησε, όπως εγώ πριν λίγο και διάβασε τόσα σχόλια, προφανώς μη έχοντας καμιά διάθεση να κάνει μελέτη, ρίχνει μια ματιά και φεύγει με την εντύπωση:
-Την έκανε την πατάτα ο Διονύσης…
Ας κάνω λοιπόν μια προσπάθεια επανατοποθέτησης.
Υπάρχει κάποιο λάθος στο πρόβλημα;
Αν υπάρχει ας επισημανθεί, είτε δίνοντας κάποια προσομοίωση, είτε γράφοντας όσες σελίδες μαθηματικών θέλει κάποιος. Δεν νομίζω ότι έχει βρεθεί κάποιος λάθος.
Αφήσαμε λοιπόν τους στόχους που επιδιώκει η άσκηση και αρχίσαμε το κυνήγι μαγισσών:
-Ναι αυτό μπορεί να συμβεί, αλλά αν ήταν άλλη η σταθερά του ελατηρίου, θα είχαμε την ίδια εξέλιξη του φαινομένου και μετά από στροφή 90° θα είχαμε πάλι ταχύτητα 3m/s της Α σφαίρας;
Μα, δεν το υποστήριξα πουθενά αυτό. Ίσα – ίσα έγραψα παραπάνω ότι είχα φτιάξει και γω αρχείο i.p. και δοκίμασα κατά το στήσιμο της άσκησης. Δεν έγραψα τι έψαχνα! Έψαχνα την τιμή του k για να στέκουν τα δεδομένα…
Ούτε στην αρχική εκφώνηση έδωσα πότε συμβαίνει αυτό, ούτε και στο σχόλιο που έβαλα το πρόσθετο ερώτημα, ανέφερα κάτι τέτοιο. Έγραψα:
«Πώς επηρεάζονται οι τιμές των ταχυτήτων και η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος, από την σταθερά του ελατηρίου.»
Αν δηλαδή έχουμε τις ίδιες ταχύτητες, πώς οι παραπάνω τιμές επηρεάζονται από την σταθερά.
Για να διαπιστωθεί ότι η διατήρηση της ορμής επιβάλλει μια συγκεκριμένη απώλεια κινητικής ενέργειας, η οποία δεν καθορίζονται από το αν είναι μαλακό ή σκληρό το ελατήριο.
Φαίνεται ότι αυτό είναι αυτονόητο και παγκοίνως γνωστό…
Ας έρθουμε τώρα επί της ουσίας.
Πήρα το i.p. και μείωσα το k στην τιμή k=5Ν/m. Πήρα τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις για την ταχύτητα υx και την θέση x της Α σφαίρας.
Βλέπει κανείς, αυτό που κατά βάθος σκεφτόμαστε, ότι υπάρχει μια περιοδική κίνηση όπου σε κάθε περιστροφή η σφαίρα φτάνει στην ίδια θέση ή αποκτά την ίδια μέγιστη ταχύτητα υx;
Γιατί να δημιουργεί πρόβλημα η υπόθεση ότι «κάποια στιγμή η ταχύτητα της Α σφαίρας γίνεται …». Μια υπόθεση εργασίας είναι, η οποία, ακόμη και αν δεν μπορεί να συμβεί στην πράξη, σε τι ενοχλεί;
Μπήκε κάποιο ερώτημα προσδιορισμού θέσης, χρόνου ή κάτι ανάλογο;
Όσον αφορά Γιάννη τη λογική να πάμε στα άκρα το μοντέλο, δεν με βρίσκει καθόλου σύμφωνο.
Τι κάνεις; πρόσεξε:
Κάνεις το ελατήριο (το οποίο κύριο χαρακτηριστικό του είναι η ελαστικότητα) ράβδο (δηλαδή μηχανικό στερεό) και ζητάς να ταυτιστούν τα ευρήματα, από τα δύο μοντέλα.
Και επειδή τα δύο μοντέλα αποκλείει το ένα το άλλο, απλά αναδεικνύεις μια αντίφαση, με την οποία θα συμπεράνεις τι; Ότι είναι άκυρο το μοντέλο του ιδανικού ελατηρίου;
Η ενέργεια του ελατηρίου εξαρτάται από k και Δl. Όταν το ένα τείνει στο άπειρο το άλλο τείνει στο μηδέν. Ποιο το όριο του ½ k(Δl)2;
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση η άσκηση είναι εντελώς σωστή. Το είπα πολλές φορές. Δηλαδή:
Υπάρχει ελατήριο δεδομένου αρχικού μήκους και σταθεράς 75Ν/m τέτοιο ώστε η ταχύτητα της μικρής μάζας να είναι κάποια στιγμή οριζόντια και μέτρου 3m/s.
Η προσομοίωση του Μήτσου το έδειξε. Βρήκε μάλιστα και ποιο είναι το αρχικό μήκος. Είναι 3m.
Η πρόταση την οποία αρχικά δέχτηκα και τελικά δεν πιστεύω είναι άλλη:
Αν το ελατήριο έχει το ίδιο αρχικό μήκος και οιανδήποτε άλλη σταθερά, τότε κάποια στιγμή η ταχύτητα της μικρής μάζας θα είναι κάποια στιγμή οριζόντια και μέτρου 3m/s.
Δεν μιλώ ούτε για στροφή 90 μοιρών, ούτε για την ίδια στιγμή.
Πιστεύω (ουσιαστικά έχω δει) ότι όσο μειώνεται η σταθερά k τόσο μεγαλύτερο γίνεται το τελικό μήκος και τόσο μικρότερη η οριζόντια ταχύτητα, όταν την αποκτήσει.
Αυτό είναι φανερό στην προσομοίωση του Μήτσου. Αυτή σταματάει την πρώτη φορά που η ταχύτητα γίνεται οριζόντια.
(αλλάζουμε την σταθερά σε 5N/m και η οριζόντια ταχύτητα είναι 2,8m/s).
Αυτό με τις πολλές στροφές που λες Διονύση δεν μας πειράζει. Όσες στροφές και αν γίνουν αν η ταχύτητα είναι οριζόντια και 3m/s θα ξαναδούμε την ίδια εικόνα. Δεν θα την ξαναδούμε αν είναι μεν οριζόντια αλλά όχι 3m/s.
Οφείλω να πω ότι έκανα λάθος.
Διέγραψα την συνθήκη παύσης του Μήτσου και έβαλα σταθερά 5Ν/m.
Δεν χρειάστηκε παρά άλλη μια στροφή ώστε η ταχύτητα να γίνει 3m/s.
Ο Διονύσης έχει δίκιο. Κάποτε οι ταχύτητες θα πάρουν τις τιμές αυτές με άλλη σταθερά. Ο χρόνος και οι στροφές δεν μας ενδιαφέρουν.
Καλημέρα σε όλους.
Δεν νομίζω πως αμφισβητήθηκε ποτέ η ορθότητα της άσκησης. Η όλη συζήτηση έγινε για το ενδιαφέρον ερώτημα, αν μία μεταβολή της σταθεράς του ελατηρίου θα αλλάξει την ταχύτητα υ2, για δεδομένη τιμή της ταχύτητας υ1. Σε εμένα προσωπικά δεν είναι ξεκάθαρο το ότι σε κάποια στιγμή στο μέλλον οι ταχύτητες θα ξαναπάρουν τις ίδιες τιμές, για διαφορετική παραμόρφωση του ελατηρίου. Δεν μου φαίνεται παράλογο ή αδύνατο (το ip δείχνει ότι έτσι είναι), αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω.
Ίσως η εξήγηση να είναι δίπλα, στην ανάρτηση του Σπύρου.
Μια διερεύνηση στο πρόβλημα.
Τελικά έχει ψωμί.
Καλησπέρα Γιάννη.
Εγώ δοκιμάζοντας είχα πάρει την εικόνα:
Με αρχικό μήκος ελατηρίου 4m…
Καλησπέρα Διονύση.
Και με 14 μέτρα αρχικό μήκος καλή προσέγγιση βγαίνει. Δεν γνωρίζω την απόκλιση που θα έχουμε αν ξεφύγουμε από τα 3,23 μέτρα. Ακριβής λύση προϋποθέτει επίλυση τριτοβάθμιας εξίσωσης.
Πάντως η στροφορμή (ως προς το κέντρο μάζας) διατηρείται.