by 
Ας μου επιτραπεί η παρασπονδία, του να ανεβάσω ένα καθαρά μαθηματικό θέμα, σε έναν ιστότοπο φυσικής. Μου φάνηκε όμως εξαιρετικά ενδιαφέρον και σκέφτηκα να το μοιραστώ. Επιπλέον βρήκα και δύο χαλαρές συνδέσεις με την φυσική (κάπως πρέπει να δικαιολογηθώ):
- Δείχνει πόσο εύκολα καραδοκεί το λάθος στα μαθηματικά και στις εφαρμογές τους στις θετικές επιστήμες.
- Δεν το ήξερα, αλλά αθροίσματα αυτού του τύπου προκύπτουν και σε κάποιες θεωρητικές περιγραφές φυσικών φαινομένων.
Ίσως δεν κατάλαβα τι εννοείς και ενίσταμαι χωρίς λόγο.
Γιάννη δεν είχα δει το βίντεο, παρά μόνον το άρθρο στον πρώτο σύνδεσμο στην ανάρτηση. Εκεί είδα για πρώτη φορά τα αθροίσματα Cesaro, τα οποία στην συνέχεια έψαξα στο διαδίκτυο για να καταλάβω το άρθρο (για το οποίο μάλιστα γράφω ότι μάλλον για λόγους εντυπωσιασμού δεν είναι ξεκάθαρο). Δεν είχα ιδέα ότι εμπλέκεται και η συνάρτηση ζ στο παιχνίδι (και για την ώρα δεν καταλαβαίνω και πώς ακριβώς, είδα το βίντεο στα γρήγορα).
Αλλά επίσης δεν καταλαβαίνω τι σε προβληματίζει με όσα έγραψα. Προφανώς και το άθροισμα Α’ δεν ισούται με το 0.5, αλλά το όριο Α ισούται με το 0.5. Το ίδιο για τα αθροίσματα και όρια Β και Β’, καθώς και C και C’. Άρα σε κάθε μη πεπερασμένο άθροισμα, αντιστοιχεί όταν συγκλίνουν τα όρια, ένας αριθμός: ο αριθμητικός μέσος των αθροισμάτων των n πρώτων όρων κάθε σειράς, αν το n τείνει στο άπειρο.
Ένα μαθηματικό παιχνίδι είναι, τουλάχιστον μέχρι να δώ το βίντεο έτσι το εκλάμβανα. Θα το κοιτάξω πιο προσεκτικά για να δω τι ακριβώς εννοεί.
Στάθη πάλι δεν κατάλαβα. Όταν γράφουμε το άθροισμα 1+1/2+1/4+1/8+… το όριο δεν εννοούμε;
Όταν γράφουμε 1+2+3+4+…. το όριο δεν εννοούμε (άπειρο);
Δεν καταλαβαίνω αυτό που γράφεις:
Προφανώς και το άθροισμα Α’ δεν ισούται με το 0.5, αλλά το όριο Α ισούται με το 0.5.
Τα μαθηματικά παιγνίδια είναι ωραία. Από αυτά μου αρέσει ιδιαίτερα εκείνο που αποδεικνύεται ότι μια οξεία γωνία ισούται με μία αμβλεία.
Γιάννη και εγώ δεν καταλαβαίνω τι εννοείς. Μετά από όσα έγραψα, απαντάς ως αν να ισχυρίζομαι ότι 1-1+1-1+…=0.5.
Το όριο Α δεν είναι το άθροισμα Α’. Δεν μπορώ να πω κάτι περισσότερο, διάβασε πάλι το άρθρο.
Ναι σίγουρα σε μη συγκλίνουσες σειρές υπάρχει πρόβλημα. Ό,τι “αγγίζει” το άπειρο είναι δύσκολο να το σκεφτούμε και να το αντιμετωπίσουμε ..
Νομίζω ότι σε τέτοιες περιπτώσεις δεν μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη ισότητες που περιέχουν σειρές απείρων όρων. (Αν θυμάμαι καλά, το είχα ψάξει παλαιότερα…)
Καλησπέρα σε όλους. Πράγματι Γιάννη δε χωνεύεται αλλά η περιγραφή στο παρακάτω βίντεο μπορεί να βοηθήσει.
https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw
Καλησπέρα Σπύρο. Σίγουρα δεν είχα υπ’ όψιν μου σύμμορφους μετασχηματιμούς όταν αναρτούσα το παρόν. Και σίγουρα θέλει αρκετή δουλειά το βίντεο στο οποίο αναφέρεσαι. Ευχαριστώ, αλλά μάλλον με εβαλες σε μπελάδες…
Σπύρο καλησπέρα.
Μου μοιάζει ένα παιγνίδι που δεν μπορώ να ελέγξω. Αυτό σημαίνει πως πρέπει να αποδεχτώ το συμπέρασμα;
Πρέπει να δεχτούμε οτιδήποτε προκύπτει από κάτι τέτοιο;
Αν με παρόμοιους χειρισμούς εξαχθεί ότι 2=1 θα ψάχνουμε να βρούμε αν η απόδειξη είναι ορθή;
Δεν κατάλαβα αν το προηγούμενο βίντεο, στο οποίο παρέπεμψα, αποτελεί απάντηση.
Γιάννη θέλω να κάνω μία ακομη προσπάθεια να εξηγήσω πως το καταλαβαίνω: δεν νομίζω ότι μπορούμε να δεχτούμε ότι το άθροισμα των φυσικών ισούται με -1/12. Αλλά ότι υπάρχει ένας τρόπος να αντιστοιχίσουμε στο άθροισμα αυτό τον αριθμό -1/12. Αυτό νομιζω πως εννοεί το βίντεο. Ο δε τρόπος αντιστοίχισης είνια καθόλα νόμιμος λογικά.
Γιάννη και Στάθη ήρθα πρώτη φορά σε επαφή με το συγκεκριμένο θέμα πριν από περίπου 15 χρόνια μέσα από το βιβλίο “Η μουσική των πρώτων αριθμών” όπου παρουσιάζει εκλαϊκευμένα σε ένα μεγάλο μέρος του την συνάρτηση ζ και την υπόθεση Riemann. Σίγουρα δεν μπορούμε να κατανοήσουμε το 1+2+3+…=-1/12 ούτε και το 1+4+9+16+….=0 όταν το αντιμετωπίζουμε σαν άθροισμα στο R. Χωρίς να έχω κατανοήσει πλήρως το θέμα, το βίντεο που σας κοινοποίησα νομίζω ότι είναι αρκετά επεξηγηματικό και τουλάχιστον ξεκαθαρίζει ότι το -1/12 δεν είναι παρά η εικόνα της συνάρτησης ζ αν οριστεί στο μιγαδικό επίπεδο και επεκταθεί αναλυτικά στο “απαγορευμένο” ημιεπίπεδο Rez<1.
Στάθη επειδή έχεις δείξει ότι “το αντέχεις” και στο τέλος τα παρουσιάζεις και όμορφα, μακάρι να σε έβαλα σε φασαρίες….
Καλημέρα παιδιά.
Βρίσκω στη Βικιπαίδεια.
Αυτό με την παραβολή μπορώ να το καταλάβω.
Μπορείτε να δείτε και αυτό. https://www.youtube.com/watch?v=YuIIjLr6vUA
Τα εξηγεί πολύ καλά
Από Βόλφραμ:
Γιάννη καλημέρα
Προσπάθησα να βρω το άθροισμα στο Wolfram Cloud, με τη Mathematica και μου εμφάνισε τη συνάρτηση ζήτα όταν ζήτησα το όριο που γράφεις. Προφανώς δεν μπορούμε να περιμένουμε αποτέλεσμα -1/12 στο χώρο των πραγματικών αριθμών, μόνο στους μιγαδικούς μπορούμε να βρούμε κάτι.
Οπότε το -1/12 φαίνεται “παραπλανητικό” αν δεν εξηγήσουμε τι και πώς…
Υ.Γ. Πώς μπορώ να βάλω φωτογραφία σε σχόλιο; Θυμάμαι ότι ήταν κάπως…περίπλοκο, έχω καιρό βέβαια να το κάνω 😀
Γειά σου Κατερίνα.
Πηγαίνεις εδώ:
https://imgbb.com/
Πατάς το μπλε ορθογώνιο και ανεβάζεις την εικόνα.
Πατάς “Ανέβασμα”
Κάνεις κλικ στο εικονίδιο.
Δεξί κλικ στην εικόνα-> Αντιγραφή εικόνας.
Έπειτα γράφεις ένα σχόλιο και στο σημείο που θέλεις πατάς Ctrl+V.
Συμπληρώνεις το κείμενο και πατάς “Δημοσίευση”.